Progresio geometriko

Matematikan, $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,$ zenbaki segida batek segida geometriko edo progresio geometriko bati jarraitzen diola esaten da segidako ondoz ondoko zenbakien zatiketa, $r={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}$ alegia, konstante bat denean. $r\,$ konstanteari arrazoi deritzo. Segida geometriko bateko $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\,$ erako batuketa bati serie geometriko deritzo. Serie aritmetiko-geometrikoak ere badaude, segida geometriko bateko gaien batuketaz kalkulatzen direnak. Serie geometrikoen batura kalkulatzeko integrala ere erabil daiteke, termino orokorra integratuz n parametroari buruz.

Hazkundea geometriko bat: 3 zelulak 2na zelula kutsatzen dute aldi batean; hurrengo aldian, 3×2=6 zelulek 2na zelula kutsatzen dute; horrela, guztira 3, 6, 12, ... zelula kutsatzen dira aldi bakoitzean, segida geometriko bati jarraiki, 3, 3×2=6 ; 3×2²=12. Guztira kutsatutako zelula kopurua serie geometriko bat da: 3+6+12.

Adibidez, honako hau 2 arrazoi duen segida geometrikoa da : 3, 6, 12, 24, 48, 96, ... Aldi berean, 3+6+12+24+48+96 batuketa serie geometrikoa da.

Segida geometriko baten n-garren gaia formula honi jarraiki kalkulatzen da:

a_{n}=a_{1}\times r^{n-1}\,

Serie geometriko baten batura honako formula honen bitartez kalkulatzen da, $a\,$ lehenengo batugaia, $r\,$ arrazoia eta $n\,$ batugai-kopurua izanik:

S_{g}(n;a,r)=a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}

Adibidez:

S_{g}(6;3,2)=3+6+12+24+48+96=3\times {\frac {1-2^{6}}{1-2}}=192

Serie geometriko baten arrazoia baturatik ere kalkula daiteke, batura zati batu egiten den gai kopuua eginez:

r={\frac {S_{g}(n;a,r)}{n}}

Historia

Mesopotamiako Garai Dinastiko Goiztiarran egindako buztinezko taulatxo batean, MS 3047, 3 oinarria duen eta 1/2 biderkatzailea duen progresio geometriko bat agertzen da. Uste da Shuruppak hiriko sumertar taula bat zela. Babiloniako matematikako progresio geometrikoaren adibide ezagun bakarra da[1].

Euklidesen Elementuen VIII eta IX liburuek progresio geometrikoen analisia egiten dute, adibidez biko potentziak, eta hainbat propietate ematen dituzte[2].

Serie geometrikoaren formularen frogapena

$a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ segida geometriko baterako bi batuketa hauek definitzen dira:

S_{g}(n;a,r)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\,

S_{g}(n;a,r)r=a_{1}r+a_{2}r+\cdots +a_{n}r=a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}+a_{n}r\,

Bi batuketa horien kenketa egiten bada:

S_{g}(n;a,r)-S_{g}(n;a,r)r=a_{1}-a_{n}r\,

S_{g}(n;a,r)(1-r)=a_{1}-a_{1}r^{n-1}r=a_{1}-a_{1}r^{n}=a_{1}(1-r^{n})\,

S_{g}(n;a,r)=a_{1}{\frac {1-r^{n}}{1-r}}\,

Erreferentziak

(Ingelesez) A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts. doi:10.1007/978-0-387-48977-3. (Noiz kontsultatua: 2022-05-30).
Euclid; Heath, Thomas Little. (1956). The thirteen books of Euclid's Elements. New York, Dover Publications ISBN 978-0-486-60088-8. (Noiz kontsultatua: 2022-05-30).

Ikus, gainera

Progresio aritmetiko

Kanpo estekak

Progresio geometrikoak, Gizapedian.
3. DBH. PROGRESIO GEOMETRIKOAK: ARRAZOIA ETA GAI OROKORRA bideoa youtuben.

Datuak: Q173523

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] (Ingelesez) A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts. doi:10.1007/978-0-387-48977-3. (Noiz kontsultatua: 2022-05-30).

[2] Euclid; Heath, Thomas Little. (1956). The thirteen books of Euclid's Elements. New York, Dover Publications ISBN 978-0-486-60088-8. (Noiz kontsultatua: 2022-05-30).