Segida

Badira hainbat notazio desberdin, ikasketa alorraren arabera erabiltzen direnak. Normalean,${\displaystyle \{a_{n}\}}$ notazioa erabiltzen da, non ${\displaystyle a_{n}}$, gai orokor deritzona, segidako n. posizioko elementua den. ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ azpiindizeak elementu batek segidan hartzen duen posizioa adierazten du. Zenbaki bikoiti positiboen segida da adibideetako bat:

${\displaystyle \{a_{n}\}=2,4,6,8,10,12,...}$

Orduan,

${\displaystyle a_{1}=2,a_{2}=4,a_{3}=6,a_{4}=8,....}$

Segidetako elementuek ezarritako arau bati jarraitzen diote, eta segidako elementu oro gai arbitrario baten bidezko formula baten bitartez adieraz daiteke. Aurreko segidaren kasuan, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle a_{n}=2n}$ formularen bidez adieraz daiteke edozein elementu.

${\displaystyle 1}$ azpiindizetik hasi beharrean ${\displaystyle 0}$ azpiindizetik hasten diren segidak ere badaude; azken horiek matematika diskretuan eta konputazioan agertu ohi dira. Gai orokorra adierazteko, ${\displaystyle n}$ ez den beste aldagai bat erabil daiteke, horrela beste aldagai batzuekiko nahasketak saihesteko.

Notazio alternatiboak aurki daitezke literaturan, adibidez:

• ${\displaystyle (a_{n})=a_{1},a_{2},a_{3},...}$
• ${\displaystyle (a_{n})_{k=1}^{m}=a_{1},a_{2},...,a_{m}}$
• ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }=a_{1},a_{2},...}$

${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$segidaren errekurrentzia-erlazioa ${\displaystyle a_{n}}$ elementuak ezartzen du; azken hori aurreko ${\displaystyle {\displaystyle a_{0},\;a_{1},\;a_{2},\;...\;,\;a_{n_{0}-1}}}$gaien araberako funtzio bat da, non ${\displaystyle n\geq n_{0}}$. Segida bera da errekurrentzia-erlazio horren soluzioa, betiere haren elementuek erlazio hori betetzen badute edozein n baliotarako.

Algoritmo errekurtsiboek soluzioa ematen diote n tamainako problema bati. Fibonacci-ren segida da errekurrentzia bidezko segiden adibide on bat:

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}$.

Zenbaki-segidak zenbaki arruntetatik X zenbaki multzo batera doan aplikazio baten bitartez definitzen dira:

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{matrix}a:&\mathbb {N} &\to &X\\&n&\to &a_{n}.\end{matrix}}}}$

${\displaystyle X=\mathbb {N} }$ multzoa aukeratuta, Fibonacci-ren segida lor dezakegu. Oro har, zenbaki-segidak ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ koeremua dute. Edozein kasutan, ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ notazio orokorra erabili ohi da, edo azpiindizeak zenbaki osoak direla ulertutzat ematen bada, orduan ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$ notazioa erabil daiteke.

Askotan, segidari ematen zaion izena aplikazioaren koeremuarekin lotuta dago. Adibidez, ${\displaystyle a}$ -ren irudia zenbaki arrazionalen parte bada, hau da, ${\displaystyle {\dfrac {x}{y}},y\neq 0}$ motakoa, zenbaki arrazionalen segida esaten zaio. Gauza bera gertatzen da zenbaki irrazionalekin, arruntekin, osoekin, aljebraikoekin,eta transzendentalekin.

${\displaystyle \{a_{n}\}}$ r luzerako segida finituak irudiak S multzo batean baditu, funtzio hau definitzen da:

${\displaystyle f:\{1,2,3,...,r\}\longrightarrow S}$

eta, kasu horretan, ${\displaystyle a_{n}=f(n)}$ berdintza betetzen da. Esaterako, 10 baino txikiagoak diren zenbaki lehenek osatzen duten 4 luzerako segida finituari (2,3,5,7) ${\displaystyle f:\{1,2,3,4\}\longrightarrow \mathbb {P} }$ funtzioa dagokio, non ${\displaystyle \mathbb {P} }$ zenbaki lehenen multzoa den. f-k honako balioak hartzen ditu:

${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5,f(4)=7.}$

${\displaystyle \{a_{k}\}}$ segida infinituak irudiak S multzoan hartzen baditu, honako funtzioa definitzen da:

${\displaystyle f:\mathbb {N} \longrightarrow S.}$

Kasu horretan ere, ${\displaystyle a_{n}=f(n)}$ berdintza betetzen da.

${\displaystyle \{a_{n}\}}$ segida baten azpisegida edo segida partziala jatorrizko segidaren elementu batzuk ezabatzean sortzen den segida da; betiere ezabatu ez diren elementuen posizio erlatiboa aldatu gabe. Adibidez, zenbaki positibo bikoitiez osatutako segida (2,4,6...), (1,2,3...) zenbaki arrunten segidaren azpisegida bat da. Elementu batzuen posizioa aldatu egiten da beste batzuk ezabatzen direnean. Hala ere, horien posizio erlatiboa mantendu egiten da.

Formalki, ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$segida baten azpisegida${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ motakoa da, non ${\displaystyle \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ zenbaki oso positiboen segida hertsiki gorakorra den. Segida bakar baterako hainbat azpisegida ezberdin lor daitezke.[1]

Segida monotonoetan, gai baten eta hurrengoaren arteko diferentzia beti da zeinu berekoa. Gorakorrak edo beherakorrak izan daitezke.[2]

Segida gorakorretan ${\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}}$ desberdintza gertatzen da; hau da, elementu bakoitza hurrengoaren berdina edo txikiagoa da. Horien artean, segida konstanteak ere badaude. ${\displaystyle a_{n}<a_{n+1}}$ desberdintasun hertsia betetzen denean, aldiz, segida hertsiki gorakorra dela esaten da.

Segida beherakorrek ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$ desberdintza betetzen dute, eta hertsiki beherakorrak dira ${\displaystyle a_{n}>a_{n+1}}$ denean.

Segida bornatuen artean hiru kasu bereiz daitezke:

• ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ segida goitik bornatuta egongo da M zenbaki erreal bat existitzen bada ${\displaystyle \{a_{n}\}\leq M}$ betetzen duena edozein n baliotarako.
• ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ segida behetik bornatuta egongo da N zenbaki erreal bat existitzen bada ${\displaystyle \{a_{n}\}\geq N}$ betetzen duena edozein n baliotarako.
• Aurreko bi kasuak aldi berean gertatzen direnean, segida bornatua da.

${\displaystyle \{a_{n}\}}$ zenbaki errealen segida batek ${\displaystyle L}$rantz konbergitzen du, baldin eta: ${\displaystyle \forall \epsilon >0}$, ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ existitzen da, zeinetarako ${\displaystyle {\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon }}$ betetzen den ${\displaystyle \forall n\geq N}$rako.[3]

Aldiz, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ zenbaki konplexuen segida bada, oraindik ere aurreko definizioa erabil daiteke, eraldaketa txiki batekin. Kasu horretan, ${\displaystyle |\cdot |}$ modulu arrunta erabili beharrean, konplexuen modulua erabili behar da: ${\displaystyle {\displaystyle |z|={\sqrt {z^{*}z}}}}$ .

${\displaystyle \{a_{n}\}}$ espazio metriko bateko puntuen segida bada, berriz, definizioa berrerabil daiteke. Betiere, ${\displaystyle {\displaystyle |a_{n}-L|}}$ adierazpena ${\displaystyle {\displaystyle {\text{dist}}(a_{n},L)}}$ espresioarekin ordezkatzen bada. Azken horrek ${\displaystyle a_{n}}$ eta ${\displaystyle L}$ balioen arteko distantzia adierazten du.

${\displaystyle \{a_{n}\}}$ eta ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ segidak konbergenteak badira, hurrengo segiden limitea existitzen da, eta honela kalkula daiteke:[3]

• ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}}$
• ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}},\forall c}$
• ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}}$
• ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}},\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$ bada
• ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}}$, ${\displaystyle \forall p>0}$.

Bestalde,

• ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$ bada edozein ${\displaystyle n\geq N}$tarako, orduan, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}.}$[oh 1]
• (Squeeze teorema)

${\displaystyle \{c_{n}\}}$ segida batek ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$ betetzen badu ${\displaystyle n\geq N}$rako, eta ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$ baldin bada, ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ konbergentea da eta ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L.}$

• Segida bat bornatua eta monotonoa bada, konbergentea da.
• Segida bat konbergentea da baldin eta soilik baldin haren azpisegida guztiak konbergenteak badira.

${\displaystyle \{a_{n}\}}$ segida Cauchyren segida dela esaten da hurrengo baldintza hau betetzen baldin badu: ${\displaystyle r>0}$ zenbaki erreal positibo bat emanda, eta ${\displaystyle p,q>n_{0}\in \mathbb {N} }$ hartuta, ${\displaystyle |a_{p}-a_{q}|<r}$.[4]

Zenbaki errealen kasuan, Cauchyren segida orok limite baterantz konbergitzen du. Propietate horrek analisi errealaren emaitza garrantzitsu bat dakar: segiden konbergentziarako Cauchyren karakterizazioa.

Izan bedia {a_n}_n€N zenbaki errealen segida. {a_n}_n€N Cauchyren segida dela diogu baldin eta ;

${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N}$ :\forall n,m\geq n_{0}\left\vert a_{n}-a_{m}\right\vert <\epsilon }

Izan bedia {a_n}_n€N zenbaki errealen segida.

{a_n}_n€N konbergentea ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ {a_n}_n€N Cauchyrena

${\displaystyle \Longrightarrow }$) Izan bedi ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=l}$ eta har dezagun ${\displaystyle \epsilon >0}$ edozein. Orduan existitzen da ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ non, ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ guztietarako ${\displaystyle \left\vert a_{n}-l\right\vert <{\frac {\epsilon }{2}}}$.

Izan bitez ${\displaystyle n,m\geq n_{0}}$.

${\displaystyle \left\vert a_{n}-a_{m}\right\vert =\left\vert a_{n}-l+la_{m}\right\vert \leq \left\vert a_{n}-l\right\vert +\left\vert a_{m}-l\right\vert <{\tfrac {\epsilon }{2}}+{\tfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon }$

beraz {a_n}_n€N Cauchyrena da.

${\displaystyle \Longleftarrow }$) Orain suposatzen dugu {a_n}_n€N Cauchyrena dela. Ikus dezagun bornatua dela.

Izan bedi ${\displaystyle \epsilon =1}$. {a_n}_n€N Cauchyrena denez, existitzen da ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ non ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ guztietarako,${\displaystyle \left\vert a_{n}-a_{n0+1}\right\vert \leq 1}$ den. Orduan ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ guztietarako, ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq \left\vert a_{n}-a_{n0+1}\right\vert +\left\vert a_{n0+1}\right\vert <1+\left\vert a_{n0+1}\right\vert }$.

${\displaystyle K=\max[\left\vert a_{1}\right\vert ,\left\vert a_{2}\right\vert ,...,\left\vert a_{n0}\right\vert ,\left\vert a_{n0+1}\right\vert +1]}$ {a_n}_n€N segidaren borne bat da, hau da, ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq K}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ guztietarako, beraz {a_n}_n€N bornatua da.

Orain, Bolzano-Weierstrassen teoremaren arabera existitzen da ${\displaystyle \{a_{nk}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ {a_n}_n€N segidaren azpisegida konbergentea. Izan bedi ${\displaystyle l=\lim _{n\to \infty }a_{nk}}$ eta kontsidera dezagun ${\displaystyle \epsilon >0}$ edozein.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{nk}=l\Longleftrightarrow \exists n_{0}\in \mathbb {N}$ :\forall k\geq n_{1}\left\vert a_{nk}-l\right\vert <{\tfrac {\epsilon }{2}}}

{a_n}_n€N Cauchyrena ${\displaystyle \Longleftrightarrow \exists n_{2}\in \mathbb {N}$ :\forall n,m\geq n_{2}\left\vert a_{n}-a_{m}\right\vert <{\tfrac {\epsilon }{2}}}

Izan bedi ${\displaystyle n_{0}=\max\{n_{1},n_{2}\}}$. ${\displaystyle k\geq n_{0}}$ guztietarako ${\displaystyle n_{k}\geq k}$ denez

${\displaystyle \left\vert a_{k}-l\right\vert \leq \left\vert a_{k}-a_{nk}\right\vert +\left\vert a_{nk}-l\right\vert <{\tfrac {\epsilon }{2}}+{\tfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon }$

Beraz, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=l}$ da.

Urdinez dagoen funtzio honen limitea n infinitua da infiniturantz doanean. n minus infiniturantz doanean, aldiz, minus infinitu izango da.

Kalkuluan badira konbergentziaren definizio esplizitua betetzen ez duten baina arbitrarioki luzatzen diren segidak (noranzko positiboan zein negatiboan). Orduan, bi kasu bereiz daitezke:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$ bada, segidak infiniturantz konbergitzen duela edo dibergentea dela esaten da. Adibide ona da ${\displaystyle a_{n}=n}$ segida.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$ bada, segidak infinitu negatiborantz konbergitzen duela edo dibergentea dela esaten da.