Riemannen kurbadura-tentsore

Formalki, Riemannen barietate bakoitzerako kurbadura-tentsorea formula honen bidez definitzen da:

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w}$

Beste era batera, Riemannen kurbadura tentsorea Christoffelen ikurren bidez ere horrela definitzen da:

${\displaystyle R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }\equiv \Gamma _{\sigma \nu ,\mu }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \mu ,\nu }^{\rho }+\Gamma _{\lambda \mu }^{\rho }\Gamma _{\sigma \nu }^{\lambda }-\Gamma _{\lambda \nu }^{\rho }\Gamma _{\sigma \mu }^{\lambda }}$

Aurreko adierazpenetan komak deribatu arrunta adierazten du: ${\displaystyle f_{,\nu }={\frac {\partial f}{\partial x^{\nu }}}}$

Minkowskiren metrikan (kurbadurarik gabekoa) Riemannen tentsoreak balio hauek hartzen ditu:

• Koordenatu kartesiarretan ( ${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$) : ${\displaystyle \Gamma \equiv 0}$ eta ${\displaystyle \Gamma ,\equiv 0}$ ${\displaystyle \Longrightarrow R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }=0}$ (metrika konstantea)
• Beste edozein koordenatutan: ${\displaystyle R_{\mu '\nu '\rho '}^{\lambda '}={\frac {\partial x^{\lambda '}}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{\mu '}}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial x^{\nu '}}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial x^{\rho '}}}R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }=0}$ baina ${\displaystyle \Gamma \neq 0}$

Hortik ondorioztatzen da barietatea laua bada, Riemannen tentsorea beti adieraz daitekeela koordenatu sistema batean zeinetan nulua den. Gainera, tentsorea denez, beste edozein koordenatu sisteman nulua izango da.

Garraio paraleloa 2 dimentsioko espazio euklidearrean

Suposatuz espazio euklidearreko bektorea begizta baten inguruan paraleloan mugitzen dela (modulua eta norabidea aldatu gabe), jatorrizko posiziora itzuli ondoren berriro hasierako bektorea berreskuratuko da. Hala ere, hori ez da Riemannen barietate orokor guztietan betetzen. Horregatik, Riemannen kurbadura-tentsoreak zuzenean neurtzen ditu kurbadura horiek Riemannen barietate orokorrean. Aurrekoa hobeto ulertzeko kontsidera dezagun hurrengo kasua. 2 dimentsioko espazio euklidearrean, bektore batek norabidea eta modulua aldatu gabe ibilbide itxi bat egingo duela suposatuko dugu. Horrela, irudiko begizta itxian, A→B→C→D ibilibidea egin ondoren, amaierako bektorea eta hasierako bektorea berdinak dira, eta ondorioz ez da bektorearen norabidea aldatzen. 3 dimentsioko espazio bat kontsideratzen badugu ordea, gainazal esferiko bat esate baterako, bi puntu desberdinetako bektoreak ez dira paraleloak izango, bektoreak plano tangenteetan daudelako. Horrenbestez, bira osoa eman ondoren hasierako eta amaierako bektoreak desberdinak izango dira.

Garraio paraleloa 3D-ko gainazal batean

Matematikoki, izan bedi x_t Riemannen M barietateko kurba bat. Kurba horretan zeharreko garraio paraleloa τ_xt:T_x0M → T_xtM moduan adieraziko da. Garraio paraleloa deribatu kobariantearekin horrela erlazionatzen da kurban zehar edozein Y bektore espaziorako:

${\displaystyle \nabla _{{\dot {x}}_{0}}Y=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(Y_{x_{0}}-\tau _{x_{h}}^{-1}\left(Y_{x_{h}}\right)\right)=\left.{\frac {d}{dt}}\left(\tau _{x_{t}}Y\right)\right|_{t=0}}$

Suposa dezagun X eta Y trukakorrak diren bi bektore espazio direla. Espazio bakoitzak x₀-ren inguruan parametro bakarreko difeomorfismoen talde bat sortzen du. Edozein t aldiuneko X eta Y-ren fluxuen bitarteko garraio paraleloak τ_tX eta τ_tY moduan idatziko dira. Horrela, Z ∈ T_x0M bektorearen tY, sX, −tY, −sX aldeko kuadrilateoaren inguruko garraio paraleloa horrela idatzi daiteke:${\displaystyle \tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z}$

Adierazpen horrek T_x0M espazio tangentean Z bektorea hasierako posiziora itzultzeko garraio paraleloaren porrota adierazten du. Azkenik, s, t → 0 limitea hartuz, honako adierazpen infinitesimala lortzen dugu:

${\displaystyle \left.{\frac {d}{ds}}{\frac {d}{dt}}\tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z\right|_{s=t=0}=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)Z=R(X,Y)Z}$

Adierazpen horretan ${\displaystyle R}$ Riemannen kurbadura-tentsorea da.

Minkowskiren metrika koordenatu kartesiarretan honela idazten da:

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

Koordenatu hauetan metrika konstantea denez, kurbadura eta konexioa nuluak dira. Koordenatu esferikoak erabiltzen badira:

${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi }$

${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi }$

${\displaystyle z=r\cos \theta }$

Koordenatu aldaketa horrekin, metrikak honako itxura hau du:

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \ d\varphi ^{2})}$

Hala ere, koordenatu hauetan konexioa nulua ez bada ere, kurbadurak nulua izaten jarraitzen du. Izan ere, Minkowskiren espazioa laua denez, kurbadura nulua izango da koordenatu guztietarako, eta ondorioz kurbadura-tentsorea nulua izango da Minkowskiren espazio-denborako edozein gertaerarako.

Christoffelen ikurren propietateak kontuan izanda, Riemannen kurbadura-tentsorearen definiziotik honako propietate hauek ondorioztatu daitezke:

${\displaystyle R^{\lambda }{}_{\mu \nu \rho }=-R^{\lambda }{}_{\mu \rho \nu }}$

${\displaystyle R^{\lambda }{}_{\mu \nu \rho }+R^{\lambda }{}_{\rho \mu \nu }+R^{\lambda }{}_{\nu \rho \mu }=0}$

Aurretik definituriko kurbadura-tentsorearen forma kobariantea honako hau da:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }={\frac {1}{2}}(g_{\mu \sigma ,\nu \rho }-g_{\nu \sigma ,\mu \rho }+g_{\nu \rho ,\mu \sigma }-g_{\mu \rho ,\nu \sigma })+\Gamma _{\lambda \mu \sigma }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \rho }-\Gamma _{\lambda \mu \rho }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }}$

Simetriaren eraginez, kurbadura-tentsore kobarianteak propietate hauek betetzen ditu:

1. Antisimetria lehenengo bi indizeak trukatzean: ${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }=-R_{\mu \nu \sigma \rho }}$
2. Antisimetria azkenengo bi indizeak trukatzean: ${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }=-R_{\nu \mu \rho \sigma }}$
3. Bianchiren lehenengo identitatea: ${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }=R_{\rho \sigma \mu \nu }=R_{\nu \mu \sigma \rho }}$
4. Bianchiren bigarren identitatea: ${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }+R_{\mu \sigma \nu \rho }+R_{\mu \rho \sigma \nu }=0}$ ⇔ ${\displaystyle R_{ab[cd;e]}=0\;}$

${\displaystyle x_{0}^{\mu }}$ puntu baten inguruko sistema inertzial lokalean metrikaren deribatuak eta konexioak nuluak direnez eta ${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$, hauxe dugu puntu horretan:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho$ ;\lambda }=R_{\mu \nu \rho \sigma ,\lambda }=\Gamma _{\mu \nu \sigma ,\rho \lambda }-\Gamma _{\mu \nu \rho ,\sigma \lambda }=\Gamma _{\mu \nu \sigma ,\rho \lambda }-\Gamma _{\mu \nu \rho ,\lambda \sigma }} eta hortaz, puntu horretan ${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma$ ;\lambda }+R_{\mu \nu \lambda \rho ;\sigma }+R_{\mu \nu \sigma \lambda ;\rho }=0} (adierazpen tentsorial hau koordenatu eta puntu guztietan beteko da: lotura diferentziala)

Ricciren kurbadura tentsorea Riemannen tentsorearen lehenengo eta hirugarren indizeen kontrakzio bat eginez definitzen da. Tentsore hau Riemannen tentsorearen kasu partikular bat da eta 3 dimentsioko espazioko kurbadura adierazten du.

${\displaystyle \underbrace {R_{\mu \nu }} _{\text{Ricci}}\equiv \underbrace {R^{\lambda }{}_{\mu \lambda \nu }} _{\text{Riemann}}=g^{\lambda \sigma }\underbrace {R_{\lambda \mu \sigma \nu }} _{\text{Riemann}}}$

Kurbadura-tentsorearen antisimetriaren ondorioz, ${\displaystyle R_{\lambda \mu \nu }^{\lambda }=0}$ da, baina, Ricciren tentsorearen kasuan ${\displaystyle R_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \lambda \nu }^{\lambda }}$ simetrikoa da: ${\displaystyle R_{\mu \nu }=R_{\nu \mu }}$

Horrez gain, Ricciren tentsoretik abiatuz kurbadura-eskalarra ere lor daiteke:

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=R^{\mu }{}_{\mu }=R_{\mu }{}^{\mu }}$

Ricciren tentsoreaz baliatuz, Einsteinen tentsorea definitu daiteke: ${\displaystyle G^{\mu \nu }\equiv R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg^{\mu \nu }}$

Einsteinen tentsorea simetrikoa da eta kontserbatu egiten da: ${\displaystyle G^{\mu \nu }=G^{\nu \mu }}$ , ${\displaystyle G_{;\nu }^{\mu \nu }=0}$

Izan bedi n>3 dimentsioko Riemannen barietate bat. Kasu horretan, kurbadura-tentsorea bi ataletan banatu daiteke. Lehenengo zatiak Ricciren kurbaduraren menpekotasuna izango du eta bigarren zatia Weylen tentsorea izango da. Horrela, (0,4) moduko Riemannen kurbadura-tentsorea R bada:

${\displaystyle R=s/2n(n-1)g\circ g+(Ric-sg/n)\circ g/(n-2)+W}$

Adierazpen horretan Ric Ricciren (0,2) moduko tentsoreari dagokio, s kurbadura eskalarra da, W Weyl-en tentsorea da eta g letrak (0,2) moduko tentsore metrikoa adierazten du. Horrez gain, g o g adierazpenak Kulkarni-Nomizu deritzon bi tentsoreen produktua da. Matematikoki bi tentsoreen Nulkarni-Numizu produktua horrela adierazten da:

${\displaystyle h\circ k(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})=h(v_{1},v_{3})k(v_{2},v_{4})+h(v_{2},v_{4})k(v_{1},v_{3})-h(v_{1},v_{4})k(v_{2},v_{3})-h(v_{2},v_{3})k(v_{1},v_{4})}$

Bestalde, Weylen tentsorearen osagaiak Riemannen kurbadura tentsoretik, Ricciren tentsoretik eta kurbadura eskalarretik abiatuz kalkula daitezke:

${\displaystyle C_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}s~g_{a[c}g_{d]b}}$

Adierazpen horretan, ${\displaystyle R_{abcd}}$ Riemannen tentsorearen osagaiak dira, ${\displaystyle R_{ab}}$ Ricciren tentsorearen osagaiak dira eta s Ricciren kurbadura eskalarra da. Gainera, [] notazioak tentsore baten zati antisimetrikoa adierazten du.

Kurbadura konstantearen kasurako, Weylen tentsorea nulua da. Horrez gain, kurbadura konstantea dela esango da, baldin eta soilik baldin W=0 bada, hau da, Weylen tentsorea nulua bada, eta Ricciren tentsoreak Ric=s/n adierazpena badu.

1. O'Neill, Barrett. (1983). Semi-Riemannian geometry : with applications to relativity. Academic Press ISBN 0-12-526740-1. PMC 8708965. (Noiz kontsultatua: 2021-05-07).
2. Aguirregabiria, Juan Mari. (2017). Grabitazioa eta Kosmologia. UPV/EHU ISBN 978-84-9860-710-9..

• Erlatibitate orokorra
• Ricciren kurbatura tentsorea
• Einsteinen tentsorea
• Christoffelen ikurrak
• Metrika
• Geodesikoak
• FRLW metrika
• Deribatu kobariantea