Reissner eta Nordströmen metrika

Metrika lortzeko Einstein-Maxwellen eremu ekuazioen soluzio estatiko, asintotikoki lau eta esferikoki simetrikoa bilatzen da. Einsteinen ekuazioak ondorengoak dira;

${\displaystyle G^{\mu \nu }=8\pi G\cdot T^{\mu \nu },}$

non ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ energia-momentu tentsorea den. Karga gabeko eremu batean honela definitzen dena;

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,,}$

Tentsore honen heina zero denez Ricciren eskalarra nulua izango da eta ondorioz Einsteinen ekuazioen baliokidearekin lan egin dezakegu;

${\displaystyle R^{\mu \nu }=8\pi G\cdot T^{\mu \nu }.}$

Gainera, ${\displaystyle F_{\mu \upsilon }}$ Maxwell-en tentsoreak karga gabeko Maxwell-en ekuazioak bete behar ditu

${\displaystyle \nabla _{\mu }F^{\mu \alpha }=0,}$

${\displaystyle \partial _{[\mu }F_{\nu \rho ]}.}$

Simetria esferikoa betetzen dela onartu denez (t,r,θ,Φ) koordinatu sistema erabili daiteke eta estatikotasuna kontuan hartuz hurrengoa da metrika;

${\displaystyle ds^{2}=-A(r)c^{2}dt^{2}+B(r)dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2},}$

non ${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+sin^{2}\theta d\varphi ^{2}}$ angelu solidoaren infinitesimala den.

${\displaystyle F_{\mu \nu }=E(r){\begin{bmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}},}$

Maxwellen lehen ekuazio identikoki betetzen da eta bigarren ekuazioa aplikatuz

${\displaystyle E=K{\frac {\sqrt {AB}}{r^{2}}}.}$

Asintotikoki laua izatea eskatzen denez infinituan ${\displaystyle A,\ B\rightarrow 1,}$ eta ${\displaystyle E={\frac {K}{r^{2}}}.}$ q kargako partikula baten eremu Coulomb-dar klasikoa berreskuratu nahi izanez gero ${\displaystyle K=q}$ aukeratu behar da.

Azken emaitza Einsteinen ekuazioetan ordezkatuz, ${\displaystyle A''}$ ezabatu ondoren, geratzen diren baldintzen artean ${\displaystyle AB'+A'B=(AB)''=0}$ dago. Ondorioz ${\displaystyle AB=konst}$ eta infinituan ${\displaystyle AB\rightarrow 1}$. Beraz, r guztietarako,

${\displaystyle B={\frac {1}{A}}.}$

Baldintza hauekin hurrengo aukeraketa egin dezakegu:

${\displaystyle A=1-{\frac {\tilde {K}}{r}}+{\frac {Gq^{2}}{c^{4}r^{2}}}.}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}+{\frac {r_{q}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}+{\frac {r_{q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2},}$[6][7][8]

non ${\displaystyle r_{S}={\tilde {K}}={\frac {8\pi G}{c^{2}}}}$ Schwarzschilden erradioa eta ${\displaystyle r_{q}^{2}\equiv {\frac {Gq^{2}}{c^{4}}}}$ diren, ${\displaystyle q}$ gorputzaren karga elektriko osoa izanik. Q karga (edota ${\displaystyle r_{q}}$) desagertzen den limitean Schwarzschilden metrika berreskuratzen da. Gainera, Newtonen grabitateren teoria klasikoa berruskuratu dezakegu ${\displaystyle r_{s}/r\rightarrow 0}$ limitean. ${\displaystyle r_{s}/r\rightarrow 0}$ eta ${\displaystyle r_{q}/r\rightarrow 0}$ limitean erlatibitate bereziko Minkowskiren metrika berreskuratzen dugu.[6]

Masa r koordenatuaren funtzioan aldatzen da. Masa efektiboa M infinituko masa baino txikiagoa da. Izan ere, eremu elektrikoak masa dauka baliokidetasunaren printzipioaren arabera.[9]

${\displaystyle M(r)=M-Q^{2}/2r}$

Izan bedi hurrengo koefizientea;

${\displaystyle A=1-{\frac {2m}{r}}+{\frac {q^{2}}{r^{2}}}={\frac {Q}{r^{2}}}}$

non

${\displaystyle {\frac {Q}{r^{2}}}=r^{2}-2mr+q^{2}.}$

Q kuadratikoaren diskriminantea ${\displaystyle \Delta =m^{2}-q^{2}}$ da.[6]

Denboraren zabalkuntza grabitazionala hurrengo moduan adierazten da gorputzaren inguruan;

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}},}$

ihes abiadura lokalarekin hurrengo eran erlazionatzen dena;

${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}.}$

Christofellen ikurrak

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{s}}}\right)\qquad \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \varphi \}}$

hurrengo adierazpenak dakarzkite[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{tr}^{t}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr)}}\\[6pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma _{rr}^{r}&={\frac {Q^{2}-Mr}{Q^{2}r-2Mr^{2}+r^{3}}}\\[6pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{r}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\theta r}^{\theta }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\sin \theta \cos \theta \\[6pt]\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}}$

Ikur hauen bidez proba partikula baten geodesikoa lor daiteke.[15][16]

Simetria esferikoa dela eta, beti hautatu daiteke koordinatu sistema proba-partikula plano batean aurkitzeko moduan. Hori dela eta, θ erabiliko dugu φ-ren ordez. Dimentsio gabeko unitate naturaletan ${\displaystyle G=M=c=K=1}$ q kargako partikula baten higidura

${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ \Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_{k}}}$

da eta ondorioz,

${\displaystyle {\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}}$

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2}}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta }}^{2}}{r}}+{\frac {qQ(r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}}$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\ {\dot {\theta }}\ {\dot {r}}}{r}}.}$

Kontuan hartu deribatu guztiak denbora propioarekiko direla, ${\displaystyle {\dot {a}}={\frac {da}{d\tau }}.}$

Higidura konstanteak ${\displaystyle S(t,{\dot {t}},r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},\varphi ,{\dot {\varphi }})}$-rekin lortzen dira, hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzioa dena,[17]

${\displaystyle {\dot {t}}{\dfrac {\partial S}{\partial t}}+{\dot {r}}{\frac {\partial S}{\partial r}}+{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial \theta }}+{\ddot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}+{\ddot {r}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {r}}}}+{\ddot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0}$

Lehenago aipatutako bigarren deribatuak ordezkatu ondoren metrika bera ekuazio diferentzialaren soluzioa da,

${\displaystyle S_{1}=1=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}.}$

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0}$

Ekuazio banangarriak momentua angeluar erlatibista ematen digu,

${\displaystyle S_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta }}.}$

Hirugarren konstantea energia espezifikoa (energia geldiuneko masaran unitateko) da[18]

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}=0}$

${\displaystyle S_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac {qQ}{r}}.}$

${\displaystyle S_{2}}$ eta ${\displaystyle S_{3}}$, ${\displaystyle S_{1}}$-en ordezkatuz ekuazio erradiala lortzen da,

${\displaystyle c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}$

Berriro ere ${\displaystyle S_{2}}$-rekin biderkatuz eta integratuz

${\displaystyle c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}$

Proba partikularen eta infinituan kokatuta dagoen behatzailearen arteko denboraren dilatazioa

${\displaystyle \gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}}$

da.

${\displaystyle v^{i}}$ 3-abiadura lokalaren osagai kontrabarianteak eta ${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$lehen deribatuak ${\displaystyle {\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}}}$-ren bidez erlazionatzen dira eta honela ezartzen dira hasierako baldintzak;

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.}$

Proba-partikularen energia orbital espezifikoa

${\displaystyle E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ}{r}}}$

eta momentu angeluar erlatibo espezifikoa

${\displaystyle L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

higiduraran konstatnte mantentzen diren kantitateak dira. ${\displaystyle v_{\parallel }}$ eta ${\displaystyle v_{\perp }}$abiadura lokalaren osagai erradial eta tangentziala dira, hurrenez hurren, beraz, abiadura lokala

${\displaystyle v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2rM}{E^{2}r^{2}}}}}$

izango da,

Grabitazio kuantikoaren zenbait alderditan, Reissner-Nordströmen metrikak zuzenketa kuantikoak behar ditu. Honen adibide da, Barvinsky eta Vilkovisky-k eremuen teorien hubilketa.[19][20][21][22] Bigarren ordeneko kurbaduran, Einstein-Hilberten akzio klasikoa termino lokal eta ez-lokalekin batzen da:

${\displaystyle \Gamma =\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,{\bigg (}{\frac {R}{16\pi G_{N}}}+c_{1}(\mu )R^{2}+c_{2}(\mu )R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+c_{3}(\mu )R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg )}-\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\bigg [}\alpha R\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R+\beta R_{\mu \nu }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu }+\gamma R_{\mu \nu \rho \sigma }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg ]},}$

non ${\displaystyle \mu }$ energia eskala den. Alde batetik, ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ eta ${\displaystyle c_{3}}$ koefizienteen balio zehatza ezezaguna da, izan ere, grabitazio kuantikoaren teoria ultra-morearen naturan oinarritzen dira. Bestalde, ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ eta ${\displaystyle \gamma }$ koefizienteak kalkulagarriak dira.[23] ${\displaystyle \ln \left(\Box /\mu ^{2}\right)}$ operadorea integral baten bidez adierazi daiteke

${\displaystyle \ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)=\int _{0}^{+\infty }ds\,\left({\frac {1}{\mu ^{2}+s}}-{\frac {1}{\Box +s}}\right).}$

Akzioaren termino berriek soluzio klasikoaren aldaketa bat dakarkate. Kuantukoki zuzendutako Reissner–Nordström metrika, ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G^{2})}$ ordeneraino, Campos Delgado-k aurkeztu zuen:[24]

${\displaystyle ds^{2}=-f(r)dt^{2}+{\frac {1}{g(r)}}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2},}$

non

${\displaystyle f(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {32\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\bigg [}c_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-{\frac {3}{2}}\right){\bigg ]},}$

${\displaystyle g(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {64\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\Big [}c_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-2\right){\Big ]}.}$

• Charged Black Holes: The Reissner-Nordström Geometry
• Reissner - Nordstrom Solution II, Cosmic Censorship conjecture
• Reissner-Nordstrom Metric Derivation | Solving The Maxwell-Einstein Equations