Reissner-Nordströmen zulo beltz

Eskualde hauek deskribatzeko ezinbestekoa da Reissner-Nordströmen metrika erabiltzea. Einstein-Maxwellen erlatibitate orokorreko ekuazioen soluzio estatikoa dena. Metrika hau ondorengo eran adierazten da:

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}{\Biggl (}1-{\frac {R_{S}}{r}}-{\frac {R_{Q}^{2}}{r^{2}}}{\Biggr )}^{-1}dt^{2}-{\Biggl (}1-{\frac {R_{S}}{r}}-{\frac {R_{Q}^{2}}{r^{2}}}{\Biggr )}^{-1}dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}}$

• t , r , ${\displaystyle \theta }$ , ${\displaystyle \phi }$ koordenatuak dira, non t ${\displaystyle \in }$ (- ${\displaystyle \infty }$ , + ${\displaystyle \infty }$) , r ${\displaystyle \in }$ (0, + ${\displaystyle \infty }$) , ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \in }$ [0, ${\displaystyle \pi }$ ] eta ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \in }$ [0, ${\displaystyle 2\pi }$ ] ;
• ${\displaystyle M}$ eta ${\displaystyle Q}$ masa eta karga dira ;
• c argiaren abiadura da ;
• ${\displaystyle R_{S}}$ Schwarzschilden erradioa da, ${\displaystyle R_{S}=2GM/c^{2}}$ bezala definitzen dena ;
• ${\displaystyle R_{Q}}$ erradio bat da, ${\displaystyle R_{Q}^{2}=GQ^{2}/4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}$ bezala definitzen dena, non ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ hutseango permitibitate dielektrikoa eta ${\displaystyle G}$ Newtonen konstantea diren ;
• ${\displaystyle d\Omega }$ angelu solidoa da, koordenatu esferikoen angeluekin lortura duena ${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\operatorname {sen} ^{2}\theta d\phi ^{2}}$ formularen bidez ;

Metrika hau erabiliz Einstein-Maxwellen ekuazioak ebatziz zulo beltzaren bi erradio nagusiak lor daitezke, hau da, singularitatearen eta horizonte bakoitzaren arteko distantziak. Hauek lortzeko formula ondorengoa da:

${\displaystyle r=r_{\pm }={\frac {G}{c^{2}}}{\Biggl (}M\pm {\sqrt {M^{2}-{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}G}}}}{\Biggr )}}$

• ${\displaystyle r_{+}}$ gertaeren horizontearen erradioa da, hau da, singularitatearen eta gertaeren horizontearen arteko distantzia,
• ${\displaystyle r_{-}}$ Cauchyren horizontearen erradioa da, hau da, singularitatearen eta Cauchyren horizontearen arteko distantzia,

Reissner-Nordströmen zulo beltzaren portaera eta propietateak aztertzeko orduan oso garrantzitsua da bere masaren eta karga elektrikoaren arteko erlazioa ezagutzea, honek emango baitu horizonteen inguruko informazioa. Honen arabera, hiru erlazio mota existitzen dira:

• ${\displaystyle \left\vert Q/2{\sqrt {\pi \varepsilon _{0}G}}\right\vert <<M}$: Schwarzschilden zulo beltzaren oso antzekoa da, baina bi gertateren horizonte izanik bakarra beharrean.
• ${\displaystyle M=\left\vert Q/2{\sqrt {\pi \varepsilon _{0}G}}\right\vert }$: Bi horizontzeek bakarrean bat egiten dute, singularitatea inguratzen duen horizonte jarraia eratuz.
• ${\displaystyle M<\left\vert Q/2{\sqrt {\pi \varepsilon _{0}G}}\right\vert }$: Suposatzen da kasu hau naturan existitzen ez dela, ez baita ohikoa karga elektriko netoa eta faktore horren arteako zatiketa gorputzaren masa totala baino handiagoa izatea. Kasu honetan gainera, horizonteak desagertu egiten dira singularitatea begi-bistan utziz.

Azken kasua ezin daiteke Unibertsoan existitu Roger Penrose matematikariak 1965 urtean proposaturiko zentsura kosmikoaren hipotesiarekin kontraesanean dagoelako, honen arabera singularitate biluziak ez baitira existitzen.

Teoria supersimetriko bat erabiliz gero, korden teoria edo supergrabitatea esate baterako, zulo beltz baten masa eta karga Bogomol'nyi-Prasad-Sommerfield desberdintzarengatik erlazionatuta daude. Ezberdintza honek ondorengoa adierazten du:

• ${\displaystyle M\geq \left\vert Q\right\vert }$

Honek singularitate biluzien existentzia deuseztatzen du. Masa eta karga berdinak direneko kasuan zulo beltzak izan dezakeen masa minimoa izango du, eta kasu honetan zulo beltz kritikoa daukagu. Hala ere, nahiz eta supersimetria oso elementu garrantzitsua izan fisika teorikoaren hainbat arlotan, oraindik ez da esperimentalki frogatua izan, beraz, ezin daiteke zulo beltz supersimetrikoak existitzen direla aurresan ziurtasun osoz.