Reductio ad absurdum

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ irrazionala dela frogatzeko, kontrakoa suposatuko dugu; hau da, 2 zenbaki arrazionala dela. Definizioz, zenbaki arrazionalak bi zenbaki osoen zatiketa gisa adieraz daiteke. Beraz:

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}$, ${\displaystyle p,q\in \mathrm {Z} /q\neq 0}$ (non p eta q zenbaki osoak diren, q≠0 izanik)

Orokortasunik galdu gabe, suposatu daiteke p eta q positiboak (biak negatiboak diren kasuan nahikoa izango litzateke biak -1-arekin biderkatzea) eta elkarrekiko lehenak direla, hau da, ez dutela faktore komunik (fakture komunak izango bazuten, hauek sinplifikatuz zatiki laburtezin batekin geldituko ginateke). Jarraian, berdintzaren bi aldeak karratura jasota ondorengo adierazpena lortuko genuke:

${\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}}$

Bi aldeak ${\displaystyle q^{2}\,\!}$-arekin biderkatuz:

${\displaystyle 2q^{2}=p^{2}\,\!}$

${\displaystyle 2q^{2}\,\!}$ adierazpena zenbaki bikoitia denez, p ere bikoitia dela ondorioztatzen da (izan ezean, ${\displaystyle p^{2}\,\!}$ ez litzateke bikoitia izango, eta beraz ez zen berdintza beteko). ${\displaystyle p=2n\,\!}$ izanik, non ${\displaystyle n\,\!}$ zenbaki oso bat den, aurreko adierazpenean ordezkatuz horrela geldituko litzateke:

${\displaystyle 2q^{2}=(2n)^{2}=4n^{2}\,\!}$

Berdintzaren bi aldeak 2-arekin zatituz sinplikatu egingo litzateke:

${\displaystyle q^{2}=2n^{2}\,\!}$

Aurreko arrazoiketa bera aplikatuz, ${\displaystyle 2n^{2}\,\!}$ zenbaki bikoiti bat denez, ${\displaystyle q^{2}\,\!}$ bikoitia izango da eta beraz baita ${\displaystyle q\,\!}$ ere.

Laburbilduz, p eta q bikoitiak direnez, gutxienez faktore komun bat izango dute, 2. Hori ordea hasieran suposatutakoaren kontrakoa da, izan ere, jatorrizko hipotesiaren arabera p eta q zenbaki osoek ez zuten faktore komunik. P eta q elkarrekiko lehenak izatearen aukeraketa orokortasunik galdu gabe eginda zegoenez, hau da, konkretuki kasu hori aztertzea kasu orokorra aztertzearen baliokidea denez, eta ondoren egindako arrazoiketa zuzena denez, horrek ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ zenbaki arrazionala ez izatea inplikatzen du. Hori dela eta, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ zenbaki irrazionala dela frogatu da.

Zenbaki lehenen multzoa infinitua dela frogatzen duen demostraziorik zaharrena Euklidesek gauzatu zuen absurdura eramatean datzan frogabideaz baliatuz.

Horretarako, frogatu nahi dugunaren kontrakoa suposatuko dugu: Zenbaki lehenak ez dira infinituak. Modu honetan esan daiteke n zenbaki lehen ditugula.

Zenbaki lehenen multzoa horrela adieraziko dugu:

${\displaystyle P=p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{n}}$

Jarraian ondorengo zenbakia hartzen da:

${\displaystyle m=p_{1}\cdot p_{2}\cdot ...\cdot p_{n}+1}$ non ${\displaystyle m}$ zenbaki lehen guztien biderkadurari bat gehituz hartzen duen balioa den.

Hasiera batean ${\displaystyle m}$ ez da zenbaki lehen bat izango, ez baita egongo zenbaki lehenen multzoan. Beraz, 2 zenbaki lehenen edo gehiagoren deskonposizio bezala adierazi ahalko litzateke.

Hala ere, ${\displaystyle m}$ edozein zenbakirekin zatituz gero, hondarra 1 lortuko genuke. Hori dela eta, ${\displaystyle m}$-ren zatitzailea den beste zenbaki lehen bat existitu behar da ${\displaystyle P}$ zenbaki lehenen multzoan ez dagoena.

Kontraesan horren bidez lortu dugu frogatzea hasieran suposatutakoa ez dela egia, eta beraz, zenbaki lehenen multzoa infinitua dela.

Proposizioa frogatzeko hipotesitzat kontrako ideia suposatuko dugu: Existitzen da 0 baino handiago den zenbaki arrazional minimo bat. Hau da, existitzen da zenbaki arrazional positibo bat zein ziurtatu dezakegun existitu daitekeen txikiena dela. Zenbaki hori ${\displaystyle k}$ bezala definituko dugu.

Orain, har dezagun:

${\displaystyle x={\dfrac {k}{2}}}$ non ${\displaystyle x}$ arrazional positiboa den.

Modu horretan, ${\displaystyle x}$-k ${\displaystyle k}$ definitzen duten baldintzak beteko lituzke baina ${\displaystyle k}$ baino txikiagoa izango da.

Horrela, kontraesan batera iritsi gara, izan ere, hasieran suposatu dugu ${\displaystyle k}$ existitzen den txikiena dela.

Beraz, frogatu dugu ez dela existitzen zenbaki arrazional minimo bat 0 baino handiagoa dena.