Probabilitate

Dado batean zenbaki bikoitia suertatzeko probabilitatea 3/6=0.5 da, probabilitatearen interpretazio klasikoaren arabera.

Interpretazio klasikoak probabilitatearen azterketarako gertakizun edo emaitza posible guztiak probabilitate berekoak izan behar direla ezartzen du. Interpretazio honen arabera, A gertakizun baten probabilitatea A gertatzen deneko emaitza guztien proportzioa da, lagin espazio edo emaitza posible guztien kopuruari buruz:

${\displaystyle P[A]={\frac {N_{A}}{N}}\,}$

Adibidez, seiko bat botata, zenbaki bikoitia (2, 4, edo 6) suertatzeko probabilitatea honela kalkulatzen da:

${\displaystyle P[bikoitia]={\frac {|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}}={\frac {3}{6}}=0.5}$

Jardunbide honen eragozpen gisa, gertakizun edo emaitza posible guztiek suertatzeko probabilitate edo aukera berdinak izan behar dituztela aipatu da. Errealitatean, ordea, egoera bati buruz gerta daitezkeen emaitzak ez dira probabilitate berekoak izaten edota nekeza da probabilitate bereko emaitzetara murriztea. Horrela, bere aplikazio-arloa zoria erabatekoa den kasuetara mugatze da, hala nola zori-jokoetan dago, non konbinazio guztiak probabilitate berekoak diren, jokoaren berdintasuna bermatzeko. Aldi berean, konbinatoria arloko teknikak erabiltzen ditu askotan, emaitza posibleak konbinazio ezberdineko emaitza konplexuagoetan bildu eta hauen kopurua zenbatu behar denean.

Probabilitatearen interpretazio honen ordezkari nagusia Pierre-Simon Laplace izan zen, Théorie analytique des probabilités bere liburuan interpretazio honen defentsa egiten du.

Galtonen taula probabilitateak erakusteko erabiltzen da. Ezkerreko gelaskan 2 pilota erori dira, guztira 30 jausi direlarik. Beraz, pilota bat ezkerreko gelaxkan geratzeko probabilitatea 3/20 dela zenbatets daiteke, probabilitatearen interpretazio frekuentzialaren arabera.

Interpretazio frekuentzialaren arabera, aztertzen den fenomenoaren emaitzak aldi askotan zehar jasotzen dira, esperimentatuz edo errealitatetik zuzenean datuak jasoz, probabilitatea gertakizunaren aldeko kasuen proportzioa edo maiztasun erlatiboa izango da. Adibidez, dadoaren emaitza bikoitia izateko probabilitatea emateko, dadoa 1000 aldiz bota eta horietatik 520 alditan bikoitia suertatu bada, emaitza bikoitia izateko probabilitatea 520/1000=0.52 dela adieraz daiteke. Saiakuntza kopurua zenbat eta handiagoa izan, orduan eta fidagarriagoa da probabilitatearen zenbatespena.

Probabilitatea interpretazio honi jarraiki egiten bada, saiakuntzak burutuz edo datuak jasoz, probabilitatearen balioa estimazio, zenbatespen edo hurbilketa bat izango da betiere, baina zenbat eta aldi gehiagotan bota orduan eta fidagarriagoa. Zenbatespena zuzena izan dadin, saiakuntzak beti egoera homogeneoetan errepikatu behar dira. Hala ere, datuen fidagarritasuna ez da erabatekoa izaten, faktore kontrolaezinak eta neurketa-arazoak direla medio. Egoera homogeneotan errepika ezin daitezkeen gertaerak ere badaude: talde batek futbol-partidu jakin bat irabazteko probabilitatea zenbatesteko, ezin da partidu berdina behin eta berriz kondizio berdinetan errepikatu. Muturrean, kasu bakarreko oztopoa izenekoa sortzen da, gertakari errepikaezinen probabilitateak 1 izango baitirateke (edo 0, azkenik gauzatu ez badira) interpretazio honi jarraiki betiere. Abantaila moduan, aipatu behar da interpretazio klasikoa baliatu ezin daitekeen egoera askotan erabil daitekeela; adibidez oker eginda dagoen dado bateko probabilitateak kalkulatzeko, interpretazio klasikoa desegokia da, alde guztiek ez baitute probabilitate berdina eta ondorioz, irtenbide gisa dadoarekin esperimentatzea besterik ez da geratzen emaitza bakoitzaren probabilitatea zenbatesteko.

Interpretazio frekuentzialaren bultzatzaileak izan ziren John Venn, Han Reichenbach eta Richard von Mises.

Interpretazio subjektibotik, probabilitatea gertakizun baten gauzatzeari buruzko sinesmen-maila edo zenbatespen subjektibo bat da, gertakizunaren aldeko eta aurkako faktoreak kontutan hartuz, pertsona zentzudun baten aldetik. Adibidez, futbol-talde batek hurrengo partidua irabazteko probabilitatea finkatzean, pertsona batek partiduaren emaitza eragiten duten faktore guztiak aztertu eta neurtu ondoren (jokatuko duten jokalariak, aurkaria zein den, azken partiduetako joera, ...), irabazteko probabilitatea 0.7 dela zenbatesten du. Ikuspegi hau estatistika bayestarrean da nagusi eta Frank P. Ramsey filosofoak eta Bruno de Finetti eta Leonard Jimmie Savage matematikariek defendatu dute besteak beste.

Dado bat bi aldiz bota ondoren, emaitza posible guztiak erakusten dituen taula.

Probabilitate-kalkuluaren garapena zori-jokoen azterketarekin abiatu zuen XVII. mendean. Gerora ere, mus, poker eta bestelako karta eta dado-jokoak probabilitate-ebazkizunak planteatzeko erabili dira eta, ikasleen artean ere, probabilitate-kalkuluaren oinarrizko erregelak erakusteko aproposak dira. Batzuetan, ordea, zori-jokoetako probabilitateen azterketa oso konplexua izan daiteke. Probabilitateei buruzko ebazkizun klasiko asko zori jokoei buruzkoak dira gainera, Chevalier de Méré pertsonaiak planteaturiko puntuen ebazkizuna esaterako.

Adibidez, dado bat bi aldiz botatzen bada, emaitza posibleak 6×6=36 dira, ondoko taulan erakusten den bezala. 36 emaitza hauek guztiak probabilitate berekoak dira eta beraz, probabilitatearen interpretazio klasikoa erabil daiteke horiekin, Laplaceren erregelaren bitartez.

Zenbatekoa da dado bat bi aldiz botata 7 lortzeko probabilitatea?

36 kasuetatik 7 emaitza 6 alditan agertzen da. Beraz, 7 lortzeko probabilitatea 6/36=0.16 da.

Zenbatekoa da 4 puntu ez lortzeko probabilitatea?

Aurkako gertakizuna erabiliz: ${\displaystyle P[\ {\overline {4}}\ ]=1-P[4]=1-(3/36)=33/36}$

Zenbatekoa 4 baino gutxiago edo 9 baino gehiago lortzeko probabilitatea?

Bi gertakizunak (4 baino gutxiago eta 9 baino gehiago) bateraezinak direnez, probabilitateak batura egiten dira:

${\displaystyle P[p<4\cup p>9]=P[p<4]+P[p>9]=3/36+6/36=9/36}$

Zenbatekoa da bikoitia edo 7 baino gehiago lortzeko probabilitatea?

2, 4, 6, 8, 8, 9, 10, 11 eta 12 emaitzen probabilitateak batuz kalkula daiteke probabilitatea, baina baita ere ebaketaren erregela erabiliz bateragarriak diren gertakizunetarako:

${\displaystyle P[(p\ bikoitia)\cup (p>7)]=P[p\ bikoitia]+P[p>7]-P[(p\ bikoitia)\cap (p>7)]=18/36+15/36-9/36=24/36}$

Zenbatekoa da lehenengo aldian 6 eta bigarren aldian 4 baino gehiago lortzeko probabilitatea?

Gertakizun independenteak direnez, probabilitateak biderkatu egiten dira:

${\displaystyle P[(p_{1}=6)\cap (p_{2}>4)]=1/6\times 2/6=2/36}$

Zenbatekoa da 7 puntu baino gehiago suertatu direla jakinda, 10 puntu lortu izanaren probabilitatea?

${\displaystyle P[(p=10/p>7)={\frac {P[(p=10)\cap (p>7)]}{P[p>7]}}={\frac {P[p=10]}{P[p>7]}}={\frac {\frac {3}{36}}{\frac {15}{36}}}={\frac {3}{15}}}$

Populazio batetik lagin bat atera eta ondorengo azterketan, interesgarria da lagin bakoitza suertatzeko probabilitatea zehaztea.

Estatistikan ohikoa populazio bateko ezaugarriak zenbatesteko lagin bat erauzi eta aztertzea. Lagin jakin batek populazioaren adierazgarri den neurtzeko, lagin hori suertatzeko probabilitatea kalkulatu behar da. Laginaren erauzketa edo laginketa bi eratara egin daiteke: itzuleraz, aldi bakoitzean populaziotik aukeratutako elementua hurrengo elementua atera baino populaziora itzultzen denean; eta itzulerarik gabe, aldi bakoitzean populaziotik aukeratutako elementu hurrengo aldietarako aparte jartzen denean.

Adibidez, herri batean 60 emakumezko eta 40 gizonezko bizi dira. Zenbatekoa da 3 pertsona zoriz aukeraturik lehenengo biak emakumezko eta hirugarrena gizonezko suertatzeko probabilitatea, laginketa itzuleraz egiten bada?

Laginketa itzuleraz egiten bada, ateratako pertsonen sexuen artean erabateko independentzia dago eta, beraz, ez da kontuan hartu behar probabilitateak kalkulatzean aurretik zer gertatu den (adibidez, 1e: lehenengo pertsona emakumezkoa):

${\displaystyle P[1e\cap 2e\cap 3g]=60/100\times 60/100\times 40/100}$

Zenbatekoa da 3 pertsonetan 2 emakumezko eta gizonezko bat suertatzeko probabilitatea?

2 emakumezkoak eta gizonezkoa edozein ordenatan atera daitezke, beraz, eta aurreko probabilitatea ordena posible adina batu behar da. Permutazioak erabiliz,

${\displaystyle P[e=2,g=1]=60/100\times 60/100\times 40/100\times 3!/2!1!}$

Zenbatekoa da 3 pertsona zoriz aukeraturik lehenengo biak emakumezko eta hirugarrena gizonezko suertatzeko probabilitatea, laginketa itzulerarik gabe egiten bada?

Aurretik gertatutakoa kontuan hartu behar da, dependentzia dago alegia, aldi bakoitzean bi sexuetako kopuruak ezberdinak baitira:

${\displaystyle P[1e\cap 2e\cap 3g]=P[1e]\times P[2e/1e]\times P[3g/1e\cap 2e]=60/100\times 59/99\times 40/98}$

Zenbatekoa da 3 pertsonetan 2 emakumezko eta gizonezko bat suertatzeko probabilitatea?

Ordena posibleen probabilitateen batura eginez edo koefiziente binomialak erabiliz kalkula daiteke:

${\displaystyle P[1e\cap 2e\cap 3g]=60/100\times 59/99\times 40/98\times 3!/2!1!={\frac {{40 \choose 2}{60 \choose 1}}{100 \choose 3}}}$

Zenbatekoa da aukeratutako bigarren pertsona emakumezkoa izateko probabilitatea?

Probabilitate hau lehenengo pertsona nolakoa suertatu den ezberdina denez, probabilitate osoaren teorema baliatu behar da:

${\displaystyle P[2e]=P[(1e\cap 2e)\cup (1g\cap 2e)]=60/100\times 59/99+40/100\times 60/99}$

Ohikoa da estatistikan gertakizunei hasierako probabilitate subjektiboak esleitu eta ondoren, jasotako datuetan oinarrituz, hasierako probabilitateak hauek zehaztea. Prozesua Bayesen teorema jarraituz garatzen da eta zientziako arlo askotan erabiltzen da.

Adibidez, 3 pilota gorri eta 7 beltz dituen ontzi bat hartuko da. Lehenengo pilota bat erauzi eta kolorea begiratu gabe, bigarren pilota atera eta gorria dela ikusten da. Zenbatekoa da lehenengo pilota beltza izateko probabilitatea?

Bestelako informaziorik gabe, hasiera batean, lehenengo pilota beltza izateko probabilitatea 7/10 da. Bigarren pilota gorria izateak bigarrenean gorria ateratzeko aukerak handiagoak direla erakusten du eta horretarako lehenengo pilota beltza izan beharko litzateke. Bayesen teorema garatuz (B: jasotako ebidentzia, bigarren pilota gorria dela alegia):

${\displaystyle A_{i}\,}$	${\displaystyle P(A_{i})\,}$	${\displaystyle P(B|A_{i})\,}$	${\displaystyle P(A_{i})\times P(B|A_{i})\,}$	${\displaystyle P(A_{i}|B)\,}$
1.a=beltza	7/10=0.7	3/9	21/90	(21/90)/(27/90)=0.77
1.a=gorria	3/10=0.3	2/9	6/90	(6/90)/(27/90)=0.23
GUZTIZKO	1		27/90	1

Horrela, lehenengo pilota beltza izateko probabilitatea hasierako 0.7tik ebidentziak aldatutako 0.77ra gehitzen da, intuizioarekin ados.