Koordenatu kartesiar

Dimentsio bakarreko espazioan Kartesiar koordenatu sistema aukeratzeak, zuzeneko puntu bat, jatorria O zuzena bi zuzenerditan mozten duena, luzera unitate eta zuzenaren orientazioa aukeratzea dakar. Honela P puntu bakoitza jatorriarekiko duen distantziak zehazten du, zeinu positiboarekin P zuzenerdi positibotik hartu bada eta zeinu negatiboarekin zuzenerdi negatiboarekin hartu bada.

Bi dimentsioko koordenatu sistema kartesiarra

Kartesiar koordenatu sistema bi dimentsiotan bi ardatz perpendikularrek osatzen dute, ardatz hauen ebaki puntuari jatorria deritzogu.

Planoko edozein P punturako zuzenki bat marrazten da ardatz bakoitzarekiko elkarzuta dena, zuzenkiak ardatza ebakitzen duen posizioa zenbaki bezala interpretatzen bada, zenbaki hauek P puntuaren koordenatu kartesiarrak dira.

Hiru dimentsioko koordenatu sistema kartesiarra

Hiru dimentsiotako espazio baterako kartesiar koordenatu sistema zuzenki ordenatu hirukote batek osatzen du. Zuzen hauek puntu berdinean ebakitzen dute elkar (jatorrian) eta binaka perpendikularrak dira.

Espazioko edozein P punturako izan bedi P barne duen eta ardatzekiko perpendikularra den hiperplanoa eta hartu zenbaki gisa hiperplanoak ardatza mozten duen posizioa. Orduan, P puntuaren kartesiar koordenatuak hiru zenbaki horiek dira aukeratutako ordenean.

${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ planoko bi punturen arteko distantzia euklidearra honela definitzen da:

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$

Hau Pitagorasen teoremaren bertsio kartesiarra da. Hiru dimentsioko espazioa, ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})}$ puntuen arteko distantzia honela definitzen da:

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}}$

Azkeneko formula hau Pitagorasen teorema bi aldiz erabilita lor daiteke.

Planoko ${\displaystyle (x,y)}$ puntu oro ${\displaystyle (a,b)}$ bektore batez mugitu nahi bada ${\displaystyle (x\prime ,y\prime )}$ puntu bat emanez, adierazpen matematikoa honakoa da:

${\displaystyle (x\prime ,y\prime )=(x+a,y+b)}$

Planoko ${\displaystyle (x,y)}$ puntu oro ${\displaystyle \theta }$ angelu batez biratu nahi bada ${\displaystyle (x\prime ,y\prime )}$ puntu batez ordezkatuz, aplikazio horren adierazpen matematikoa honakoa da:

${\displaystyle x\prime =xcos(\theta )-ysin(\theta )}$

${\displaystyle y\prime =xsin(\theta )-ycos(\theta )}$

${\displaystyle (x,y)}$ puntu baten koordenatuak badira, ${\displaystyle (-x,y)}$ bere y ardatzarekiko islapena den puntuaren koordenatuak dira. Antzeko era batean, ${\displaystyle (x,-y)}$ bere x ardatzarekiko islapena den puntuaren koordenatuak dira. Era orokorrago batean, puntu baten x ardatzarekiko ${\displaystyle \theta }$ angelua sortzen duen zuzenarekiko islapenak emandako puntuaren koordenatu berriak ${\displaystyle (x\prime ,y\prime )}$ honela lor daitezke:

${\displaystyle x\prime =xcos(2\theta )+ysin(2\theta )}$

${\displaystyle y\prime =xsin(2\theta )-ycos(2\theta )}$

Beraz, ${\displaystyle (x\prime ,y\prime )=(xcos(2\theta )+ysin(2\theta ),xsin(2\theta )-ycos(2\theta ))}$.

Koordenatu transformazioak adierazteko bete era bat dira transformazio afinak. Transformazio afinetan dimentsio bat gehitzen da eta puntu guztiek 1 balioa hartzen dute dimentsio gehigarri honetarako.Honela ${\displaystyle (b_{1},b_{2})}$ zentzuan egindako translazioak A matrizearen azken zutabean adieraz daitezke.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}&b_{1}\\A_{3}&A_{4}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}}$=${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\prime \\y\prime \\1\end{pmatrix}}}$

Transformazio afinak erabilita euklidear transformazio askoren konposizioa errazten da modu erraz batean transformazio bakoitzari dagokion matrizea besteaz biderkatuta.

Euklidear transformazioa ez den transformazio afinetako bat homotezia da. Homotezia baten bitartez forma geometriko bat handiago edo txikiago bilakatu daiteke m proportzio batean. Honako hau forma geometrikoaren puntu guztien koordenatu kartesiarrak ${\displaystyle m\in \Re }$ positibo batekin biderkatuz lortzen da.

${\displaystyle (x\prime ,y\prime )=(mx,my)}$

${\displaystyle m>1}$ denean forma geometrikoa handiago bilakatzen da eta ${\displaystyle m<1}$ forma geometrikoa txikiago bilakatzen da, halako homoteziei kontrakzio esaten zaie literatura matematikoan.