Penrose diagrama

Minkowskiren espazio baten diagrama konforme bat irudikatzeko, haren metrika laua koordenatu esferikoetan adieraz dezakegu, eta r eta t koordenatuek estalitako azpibarietatera mugatu. Koordenatu hauek tarte infinitua hartzen dute. Tarte mugatu bat bete dezaten lortzeko lehen saiakera koordenatu berriak erabiltzea izango litzateke: T=arctg(t) eta r=arctg(r). Baina horrek ez luke lortuko gure diagramako argi-konoak 45º-tan mantentzea. Hori lortzeko, koordenatu-aldaketa hirukoitza egiten da:

• Lehenik eta behin, koordenatu nuluetara aldatzea : ${\displaystyle u=t-r}$ , ${\displaystyle v=t+r}$.
• Horien gainean honako aldaketa egiten dugu: ${\displaystyle U=\arctan u}$ eta ${\displaystyle V=\arctan v}$.
• Azkenik, koordenatuetara hauetara itzultzen gara: ${\displaystyle T=V+U}$ eta ${\displaystyle R=V-U}$.

${\displaystyle ds^{2}={1 \over \omega (T,R)^{2}}(-dT^{2}+dR^{2}+\sin ^{2}(R)d\Omega ^{2})}$ non ${\displaystyle \omega =\cos T+\cos R}$ den.

Metrika honen ordez, g₀ deituko duguna, Penrose diagraman ω²g₀ metrika konformea irudikatuko dugu. Koordenatuek ${\displaystyle -\pi <R+T<\pi }$ eta ${\displaystyle -\pi <R-T<\pi }$ tarteak hartzen dituztenez, diagramak diamante baten forma edukiko du (edo triangelu forma R positiboa izatearen baldintza gehituz gero).

Azpiko irudian zulo beltz estatiko (errotaziorik gabekoa) bati dagokion Schwarzschilden espazio baten irudikapena agertzen da. «${\displaystyle u}$» izeneko koordenatu bertikala denborazkoa da, eta «v» koordenatu horizontala, berriz, espaziala. Penrosen diagrama konformea da, hau da, genero nuluko geodesikak (argi-lerroak) erdi-lehen eta bigarren erdibitzaile «altuei» dagozkiela.

Kruskal-en koordenatu sistematik eratorritako sistema honetatik honakoa lortzen da:

${\displaystyle ds^{2}={32M^{3} \over r}{e^{-r \over 2M}(-du^{2}+dv^{2}) \over {4\cos ^{2}({u+v \over 2})}\cos ^{2}({u-v \over 2})}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}(\theta )d\phi ^{2})}$

Schwarzschild-en espazio-denbora baten Penrose-n diagrama. Ardatz horizontalak v koordenatu espaziala adierazten du, eta bertikalak u denborazko koordenatua (Minkowski-ren espazioko koordenatu nuluekin ez dira nahastu behar).

Diagrama, orduan, θ eta Φ bi koordenatu esferikoen abstrakzioz eginda dago. Geodesiko nuluek (${\displaystyle ds^{2}=0}$) mugatutako argi-konoak ${\displaystyle du^{2}=dv^{2}}$ erlazioari dagozkie; orduan, ${\displaystyle u=v}$ edo ${\displaystyle u=-v}$, hau da, lehen eta bigarren erdibitzaileak dira.

Ezkerretik abiatuta, bi zuzenek, lehen eta bigarren erdibitzaileek, dibergitzen dute: beheko zuzenak, ${\displaystyle I-}$ izenekoa, «iraganeko infinitua» adierazten du, eta hortik datoz mugikor guztiak infinituki urrunetik; goiko zuzena, ${\displaystyle I+}$, «etorkizuneko infinituari» dagokio, eta zulo beltz batetik gero urruntzen diren mugikor guztiak nora doazen adierazten du. Bi zuzen horizontal eta paraleloek singularitatea adierazten dute (iraganetik etorkizunerako pasartean), ${\displaystyle r=0}$-n kokatuta. Diagrama hau simetrikoa da bertikalarekin duen erlazioaren arabera. Lerro etenean, zulo beltz baten horizontea irudikatuta dago (unitate konbentzionaletan), ${\displaystyle r=2M}$-tan.