Osziladore harmoniko

Oszilazio harmonikoen posizio, abiadura eta energiaren grafikoa denboraren funtzioan.

Indar horren eraginez masak izango duen higidura lortzeko, Newtonen bigarren legea aplikatuko dugu:

$${\displaystyle F=ma\longrightarrow -kx=m{\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}.}$$

Bestela idatzita, ekuazio diferentzial hau dugu:

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {k}{m}}x(t)=0.}$$

Bigarren mailako ekuazio diferentzial horren soluzioa honako hau da:

$${\displaystyle x(t)=A\sin(\omega t+\varphi ),}$$

non ${\displaystyle x(t)}$ elongazioa (aldiune bakoitzean partikulak duen posizioa) den, ${\displaystyle A}$ oszilazioaren anplitudea (elongazio maximoa), ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ pultsazioa (edo maiztasun angeluarra), ${\displaystyle f}$ maiztasuna (frekuentzia), ${\displaystyle t}$ denbora (edozein alidune adierazten duena) eta ${\displaystyle \varphi }$ hasierako fasea (${\displaystyle t=0}$ aldiuneari dagokiona). Ohar modura diogun ezen hemen sinu funtzioa erabili dugula soluzioa adierazteko, baina berdin izango litzatekeela kosinu funtzioa erabiltzea. Hortaz, sinu (edo kosinu) funtzioa periodikoa denez, oszilazio harmonikoa ere periodikoa da.

Elongazioaren ekuazioa deribatuz zuzenean lor ditzakegu abiaduraren eta azelerazioaren balioak denboraren funtzioan:

$${\displaystyle v(t)={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}=A\omega \cos(\omega t+\varphi ),}$$

$${\displaystyle a(t)={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi )=-\omega ^{2}A.}$$

Formula horiek erakusten dutenez, bai abiaduraren eta bai azelerazioaren balioak etengabe ari dira aldatzen, betiere oszilazio harmonikoak osatuz.

Oszilazio harmonikoen kasuan, pultsazioa, periodoa eta maiztasuna (edo frekuentzia) oszilatzen ari den sistema fisikoaren konstanteak dira, sistema oszilakorraren parametroen araberakoak.

Zehazki esanda, pultsazioak partikularen masaren eta malgukiaren elastikotasun-konstantearen menpekotasuna du, era honetan adierazia:

$${\displaystyle \omega =2\pi f={\sqrt {\frac {k}{m}}}={\text{kte}}.}$$

Ondorioz, malgukiak masan eragindako higidura periodikoa da, oszilazioen periodoa honako hau izanik:

$${\displaystyle T={\frac {1}{f}}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.}$$

Osziladore harmonikoaren higidura espazio errealean eta higiduraren orbita fase-espazioan.

Osziladore harmonikoak aldiune jakin batean duen egoera erabat definiturik geratzen da partikularen posizioa eta abiadura ezagutuz gero. Aurreko adibideko osziladoreak askatasun-gradu bakarra duenez, posizioa parametro bakarraz adierazten da, ${\displaystyle x(t)}$ balioaz; bestalde, abiadura posizioaren deribatua da, hau da, ${\displaystyle v={\text{d}}x/{\text{d}}t}$.

Bi parametro horiek planoko koordenatu kartesiar gisa hartuz, osziladorearen fase-espazioa defini dezakegu. Horretarako, oszilazio harmonikoaren kasuan gorago adierazitako posizioa eta abiadura kontsideratuz, hau da,

$${\displaystyle x=A\sin(\omega t+\varphi ),}$$

$${\displaystyle v=A\omega \cos(\omega t+\varphi ),}$$

aldiune bakoitzean osziladoreari fase-espazioan dagokion puntu bat zehaztuko da, eta puntu horrek ibilbide bat osatuko du denboran zehar. Ibilbide horren ekuazio kartesiarra lortzeko, bi ekuazio horietatik ${\displaystyle t}$ aldagaia eliminatuz, ibilbidearen (edo orbitaren) ekuazioa lor dezakegu. Kalkuluak eginez, hauxe da osziladore hamonikoari dagokion ibilbidearen ekuazioa:

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{A^{2}}}+{\frac {v^{2}}{A^{2}\omega ^{2}}}=1.}$$

Hain zuzen, hori elipse baten ekuazioa da; alegia, osziladore harmonikoak orbita eliptikoa osatzen du fase-espazioan. Nolabait esateko, hori da osziladorearen fase-argazkia.

Aurreko kasuetan sistema fisikoaren oszilazio askeak aztertu ditugu, malgukiak eginiko indarra bakarrik kontsideraturik, baita oszilazio indargetuetan marruskadura ere kontuan harturik. Oszilazio indargetuetan ikusi dugunez, denbora pasatu ahala oszilazioen anplitudea txikiagotuz doa, azkenean anulatu arte. Kasu horretan sistemak modu iraunkorrean oszilatzen irautea nahi badugu, indar sinusoidal bat egin beharko diogu sistemari kanpotik. Horrela oszilazio harmoniko behartuak ( edo bortxatuak) lortuko ditugu.

Ikus dezagun eskematikoki nola gertatzen den hori. Demagun kanpotik indar sinusoidal hau egiten diogula sistema oszilakorraren masari:

$${\displaystyle F_{\text{k}}=F\sin \omega t,}$$

Oszilazio behartuak anplitude handiena dute kanpo-indarrak erresonantzia-maiztasun izatean.

non indarraren ${\displaystyle \omega }$ pultsazioa edozein den (ez du zertan sistemaren ${\displaystyle \omega _{0}}$ pultsazio propioa izan). Higiduraren ekuazio diferentziala hauxe izango da:

$${\displaystyle m{\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}+b{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}+kx=F_{\text{k}}\sin \omega t.}$$

Ekuazio diferentzial hori inhomogeneoa da, eta beraren soluzio orokorrak bi termino ditu: sistema homogeneoaren ekuazio orokorra gehi sistema inhomogeneoaren soluzio partikular bat.

• Sistema homogeneoaren soluzioa oszilazio indargetuena, hots,  parte iragankor (edo trantsitorio) bat da, denbora pasatu ahala nulu bihurtzen dena.
• Sistema inhomogeneoaren soluzioa parte iraunkorra da, kanpo-indarrari dagokiona: horiexek dira oszilazio behartuak, kanpo-indarraren pultsazioz gertatzen direnak.

Oszilazio behartuen anplitudea kanpoko indarraren pultsazioaren eta sistema oszilakorraren pultsazio propioaren arteko erlazioaren araberakoa da. Kanpo-indarraren aprobetxamendurik egokiena bi pultsazio horiek berdinak direnean gertatzen da: ${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$ denean. Kasu horretan sistema erresonantzian dagoela esaten da, eta horregatik pultsazio propioari dagokion  maiztasunari erresonantzia-maiztasuna (edo erresonantzia-frekuentzia deritzo).

Mota desberdinetako higidura oszilakorrak gertatzen dira higidura nolakoa den arabera, hala nola translaziozko oszilazioa, pendularra, biraketazkoa…

Horrelakoak dira malgukien eragina jasaten duten masak, dela norabide horizontalean oszilatzen dutenean (goian aztertu duguna bezalakoak) zein norabide bertikalean. Kasu batean zein bestean, malgukiaren elastikotasun-mugen barnean gertatzen direnean, higidurak harmonikoak dira lehenengo hurbilketan. Oreka-posiziotik alde bietara, masaren posizioa denboraren arabera adierazten duen funtzioa sinu funtzioa (edo kosinu funtzioa) da. Hortaz, higidura periodikoa da eta, gainera, periodoak ez du anplitudearen menpekotasunik, baizik eta soilik du sistemaren inertziaren (alegia, ${\displaystyle m}$ masaren) eta malgukiaren elastikotasun-konstantearen (${\displaystyle k}$) menpekotasuna, honelaxe adierazia:

$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.}$$

Pendulu sinplearen higidura eta fase-espazioko argazkia.

Translazio-osziladore mekanikoen artean, aipamen berezia merezi du pendulu sinpleak. Penduluak askatasun-gradu bakarra du, eta aldagai modura bertikalaren eta penduluaren hariaren arteko angelua hartzen da: ${\displaystyle \theta }$ angelua.  Hauxe da masari angelu horren funtzioan dagokion energia potentziala:

$${\displaystyle V(\theta )=mgl(1\cos \theta ),}$$

non ${\displaystyle g}$ grabitatearen azelerazioa eta ${\displaystyle l}$ penduluaren luzera diren.

Pendulu sinplearen energia potentzialaren hurbilketa parabolikoa, angelu txikietan.

Angelu txikietako hurbilketan (hurbilketa parabolikoan), energia potentziala

$${\displaystyle V(\theta )\approx {\frac {1}{2}}mgl\theta ^{2}}$$

  da. Hurbilketa hori alboko irudian adierazita dago, eta bertan ikusten denez, egokia da oszilazio-angelu txikien kasuan, parabola eta sinusoideak ia berdinak baitira; kasu horretan, higiduraren ekuazio diferentziala oszilazio harmonikoari dagokion berbera da. Horrek esan nahi du ezen, oszilazio txikien kasuan, pendulu sinplean osziladore harmonikoa dela, zeinaren periodoa honako hau den:

$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}.}$$

Tortsio-pendulu baten eskema grafikoa.

Osziladore hauek honako egitura dute: batetik, goialdean euskarri finko bat zeinean loturik eta bertatik esekirik tortsio-kable bat dagoen eta, bestetik, kablearen behealdean zurrunki itsatsiriko hagaxka horizontal bat, zeinaren  bi muturretan balio bereko bi masa dauden kokatuta, distantzia berera eta tortsio-kablearekiko simetrikoki jarririk. Tortsio-kablea altzairuzko hari bat izaten da, tortsionatua izatean indar-pare bat sortzen duena tortsiorik gabeko oreka-posiziorantz, indar-parearen modulua tortsio-angeluaren proportzionala izanik, kablearen elastikotasun-mugen barnean egonez gero, hau da:

$${\displaystyle \tau =C\theta ,}$$

bertan ${\displaystyle C}$ hori tortsiozko elastikotasun-konstantea izanik. Gauzak horrela, elastikotasun-mugen barnean tortsioaren ondoriozko indar-pareak sorturiko biraketa-higidura harmonikoa da.

${\displaystyle LC}$ zirkuitu elektrikoaren eskema

Osziladore elektrikoen kasuan, oszilatzen ari den magnitudea posizio mekanikoa ez den bestelako magnitude bat izan daiteke, hala nola karga elektrikoa edo korronte elektrikoa. Adibide modura ${\displaystyle LC}$ eta ${\displaystyle LCR}$ zirkuituetan gertatzen diren karga elektrikoaren oszilazio harmonikoak aipatuko ditugu.

Elektrozinetikan, ${\displaystyle LC}$ zirkuitua deritzo osagai hauek dituen zirkuitu teorikoari: batetik, bobina (edo haril) ideal bat, perfektuki induktiboa dena (hots, ${\displaystyle L}$ balioko induktantzia eta erresistentzia elektriko nulua), eta, bestetik, kondentsadore bat (${\displaystyle C}$ balioko kapazitatea duena), dipoloak erabat linealak dituena.

LC zirkuituaren diagrama animatua

Hasierako aldiunean kondentsadoreak ${\displaystyle q_{\text{m}}}$ karga badu, zirkuitua aske uztean, deskargatzen hasiko da bobinan zehar. Deskarga horren eboluzioa ekuazio diferentzial honen arabera gertatzen dira:

$${\displaystyle L{\frac {{\text{d}}^{2}q}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {1}{C}}q=0.}$$

Alegia, oszilazio mekaniko harmonikoen ekuazioaren analogoa da, baina magnitude fisikoa eta sistemaren parametroak aldatuz, hau da, elongazioaren ordez kondentsadorearen karga elektrikoa jarriz (${\displaystyle x\rightarrow q}$), masaren ordez induktantzia (${\displaystyle m\rightarrow L}$), eta elastikotasun-konstantearen ordez kondentsadorearen kapazitatea (${\displaystyle k\rightarrow C}$). Oszilazio propioaren bidez idatziz, honelaxe geratuko da ekuazioa

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}q}{{\text{d}}t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}q(t)=0,}$$

bertan ${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$ izanik; Ekuazio hori oszilazio harmonikoei dagokiena da, eta beraren soluzioa, honako hau:

$${\displaystyle q(t)=q_{\text{m}}\sin(\omega _{0}t+\varphi ).}$$

Alegia, zirkuituko karga elektrikoaren oszilazioak harmonikoak dira.

${\displaystyle LCR}$ zirkuituaren eskema.

Zirkuitu errealetan kontuan izan behar da kableen erresistentzia elektrikoa, zeren hori dela-eta energia elektrikoa galtzen da etengabe, kargen korrontea izatean, Joule efektua tarteko. Kasu horretan hauxe da sistemaren eboluzio denborala deskribatzen duen ekuazio diferentziala hauxe izango da:

$${\displaystyle L{\frac {{\text{d}}^{2}q}{{\text{d}}t^{2}}}+R{\frac {{\text{d}}q}{{\text{d}}t}}+{\frac {1}{C}}q=0.}$$

Ekuazio hau oszilazio harmoniko indargetuen ekuazioaren analogoa da. Agerikoa denez, hango marruskaduraren terminoaren analogoa erresistentzia elektrikoarena da (${\displaystyle b\rightarrow R}$); logikoa da hori, biek energiaren galeraren sorburu baitira. Zer esanik ez, oszilazio indargetuen sailkapena oszilazio mekaniko indargetuen sailkapenaren analogoa da.