Oinarri (aljebra)

Zorn-en lema erabiliz, ikus daiteke bektore-espazio guztiek oinarribat dutela. Espazio bektorial batek oinarri bat baino gehiago izan dezakeen arren, betetzen da espazio bektorial bereko bi oinarrik kardinaltasunbera dutela. Hala, kardinaltasun horri espazio bektorialaren dimentsioa deituko zaio.

Zornen lemaren ondorioz, ondoko beste propietate batzuk ditugu:

• Espazio bektoriala sortzen duen sistema orok base bektoriala du.

• Bektore-espazio batean linealki independentea den multzo orooinarri batera zabal daiteke.

1. Oinarriak multzo ordenatuak dira. Hau da, nahiz eta eremu bektorial bera sortzen duten {a,b,c} eta {b,a,c} -k, oinarriak ez dira berdinak.
2. ${\displaystyle V}$ dimentsio finituko espazio bektoriala bada, bere oinarri guztiak finituak izango dira eta elementu kopuru bera izango dute
3. ${\displaystyle v}$ bektore bat eta ${\displaystyle V}$espazio bektorial baten ${\displaystyle \beta }$ oinarri bat emanda, ${\displaystyle v}$ bektorea ${\displaystyle \beta }$ oinarriko elementuen konbinazio lineal gisa idazteko modu bakarra dago, hau da, bektore batek oinarri batean duen irudikapena bakarra da.
4. Aurreko behaketatik ondorioztatzen da oinarriak ez direla bakarrak. Oro har, bektore-espazio baterako infinitu oinarri egon ohi dira. Adibidez, ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$ espazioa badugu, bere oinarri sinpleena ondokoa da:

${\displaystyle {\mathcal {\beta }}=\{(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\}}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$-ren oinarri kanoniko deritzo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$-ko beste oinarri batzuk, adibidez:

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {\beta }}'=\{(2,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\}\\{\mathcal {\beta }}''=\{(1,1,1);(1,1,0);(1,0,0)\}\\{\mathcal {\beta }}'''=\{(504,0,0);(0,7,0);(0,0,1/2)\}\end{cases}}}$

Oro har, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$-ren oinarri guztiak linealki independenteak diren ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$-ko hiru bektorez osatuta egongo dira.

Lehen aipatu dugun bezala,  espazio bektorial batean oinarri desberdinak har daitezke. Demagun, ${\displaystyle \beta }$  eta ${\displaystyle \beta '}$ ${\displaystyle V}$-ren bi oinarri direla, baina zer erlazio dago ${\displaystyle \beta }$-rekiko eta ${\displaystyle \beta '}$-rekiko ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$-ko bektore baten koordenatuen artean? Galdera honi erantzun ahal izateko, matrizeak erabiliko ditugu, eta horregatik koordenatuak zutabe-matrize bezala idatziko ditugu. Horrela ${\displaystyle v=(x_{1},...,x_{n})_{\beta }}$ baldin bada, eta ${\displaystyle X={\binom {x_{1}}{x_{n}}}}$ bada, ${\displaystyle X}$  ${\displaystyle \beta }$ oinarriarekiko ${\displaystyle v}$-ren koordenatuen zutabea da. Beraz, ${\displaystyle \beta =(v_{1},...,v_{n})}$ bada,${\displaystyle v=(x_{1},...,x_{n})_{\beta }=x_{1}v_{1}+...+x_{n}v_{n}=(v_{1}...v_{n}){\binom {x_{1}}{x_{n}}}}$  da, edo beste modu batean, ${\displaystyle v=(v_{1}...v_{n})X}$.