Multzo lausoren eragiketa

Hemendik aurrera, idazkera erraztearren, ${\displaystyle x}$ elementuaren ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ eta ${\displaystyle \mu _{B}(x)}$ multzokidetza-mailak ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle B}$ multzo lausoetan ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ idatziko dira, argi dagoenean zer diren.

Goiko ${\displaystyle o}$ funtzioak osagarri lausoak defini ditzan hurrengo bi axiomak bete behar ditu:

o1 axioma, Mugalde-baldintza multzo zurrunen osagarriekin bateragarria izateko.

${\displaystyle o(0)=1}$ eta ${\displaystyle o(1)=0}$

o2 axioma, Monotonotasuna ziurtatzekoa.

${\displaystyle a,b\in [0,1]}$ guztientzat, ${\displaystyle a<b}$ bada, orduan ${\displaystyle o(a)\geq o(b)}$

Edozein osagarri lausok (multzo lauso baten osagarriak) bete behar ditu lehenengo bi axioma hauek; multzo zurrunekin erabiliz gero multzo zurrunen osagarriak lortzeko eta intuizioak elementu baten multzokide-maila multzo batean handituz gero, haren multzo osagarrian txikitu edo, gutxienez, berdin geratu behar dela esaten digulako.

Badaude funtzio osagarrientzat desiragarriak diren beste ezaugarri batzuk, eskatuz gero osagarrien kopurua murrizten dutenak; desiragarrienen artean askotan eskatzen diren hurrengo biak daude.

o3 axioma, Jarraitutasuna ziurtatzekoa.

${\displaystyle o}$ funtzio jarraitua da.

o4 axioma, Inboluzioa ziurtatzekoa.

${\displaystyle o}$ inbolutiboa da eta, beraz, edozein ${\displaystyle a\in [0,1]}$rentzat ${\displaystyle o(o(a))=a}$ da.

Osagarri estandarrez gain hurrengo osagarriak ere, proposatu dira:

Sugeno motakoak:

${\displaystyle o(a)=o_{\lambda }(a)=(1-a)/(1+\lambda a)}$

${\displaystyle \lambda }$ parametroaren ibiltartea ${\displaystyle \lambda \in (-1,\infty )}$ delarik.

${\displaystyle \lambda =0}$ denean Sugenoren osagarriak eta osagarria estandarrak berdinak dira.

Yager motakoak:

${\displaystyle o(a)=o_{w}(a)=(1-a^{w})^{1/w}}$

${\displaystyle w}$ parametroaren ibiltartea ${\displaystyle w\in (0,\infty )}$ izanik.

${\displaystyle w=1}$ denean Yagerren osagarriak eta osagarria estandarrak berdinak dira.

Goiko ${\displaystyle e}$ funtzioak ebakidura lauso bat defini dezan hurrengo lau axiomak bete behar ditu:

e1 axioma, Mugalde-baldintza, multzo zurrunen ebaketarekin bateragarria izateko.

${\displaystyle e(1,1)=1;e(0,1)=e(1,0)=e(0,0)=0}$

e2 axioma, Monotonotasuna ziurtatzrkoa.

${\displaystyle a\leq b}$ eta ${\displaystyle c\leq d}$ badira, orduan ${\displaystyle e(a,c)\leq e(b,d)}$

e3 axioma, Trukakortasuna ziurtatzekoa

${\displaystyle e(a,b)=e(b,a)}$

e4 axioma, Elkarkortasuna) ziurtatzekoa.

${\displaystyle e(a,e(b,d))=e(e(a,b),d)}$

Lau axioma horiek betetzen dituzten funtzio guztiak mugatuta daude hurrengo ezberdintzekin:

${\displaystyle e_{min}(a,b)\leq e(a,b)\leq \min(a,b)}$

non${\displaystyle \quad e_{min}(a,1)=a,\quad e_{min}(1,b)=b\quad }$ eta beste kasu guztietan ${\displaystyle \quad e_{min}(a,b)=0\quad }$ diren.

Batzuetan desiragarriak diren beste axioma batzuk ere bete ditzan eskatzen da. Gehien eskatutakoen artean hurrengo biak daude:

e5 axioma, Jarraitutasuna ziurtatzekoa.

${\displaystyle e}$ funtzio jarraitua da.

e6 axioma, Idenpotentzia ziurtatzekoa-

${\displaystyle e(a,a)=a}$

Ebaketa estandarra da jarraitua eta idenpotentea den ebaketa bakarra; aurreko sei axiomak betetzen dituen ebaketa bakarra.

Ebakidura estandarraz gain hurrengo ebakidurak ere, proposatu dira:

Yager motakoak:

${\displaystyle e(a,b)=e_{w}(a,b)=1-\min[1,((1-a)^{w}+(1-b)^{w})^{1/w}]}$

${\displaystyle w}$ parametroaren ibiltartea ${\displaystyle w\in (0,\infty )}$ delarik.

${\displaystyle w=\infty }$ denean Yagerren ebakidura eta ebakidura estandarra berdinak dira

${\displaystyle \operatorname {Lim} \limits _{w\rightarrow \infty }[1-\min {[1,((1-a)^{w}+(1-b)^{w})^{1/w}]]}=\min(a,b)}$ delako.[2] .

Schweizer & Sklar motakoak:

${\displaystyle e(a,b)=e_{p}(a,b)=\max(0,a^{-p}+b^{-p}-1)^{-1/p}}$

${\displaystyle p}$ parametroaren ibiltartea ${\displaystyle p\in (-\infty ,\infty )}$ izanik.

Goiko ${\displaystyle u}$ funtzioak bildura lauso bat defini dezan hurrengo lau axiomak bete behar ditu:

u1 axioma, Mugalde-baldintza, multzo zurrunen bilketarekin bateragarria izateko.

${\displaystyle u(0,0)=0;u(0,1)=u(1,0)=u(1,1)=1}$

u2 axioma, Monotonotasuna ziurtatzekoa.

b ≤ d implies u(a, b) ≤ u(a, d)

u3 axioma, Trukakortasuna ziurtatzekoa.

${\displaystyle u(a,b)=u(b,a)}$

u4 axioma, Elkarkortasuna ziurtatzekoa

${\displaystyle u(a,u(b,d))=u(u(a,b),d)}$

Lau axioma horiek betetzen dituzten funtzio guztiak mugatuta daude hurrengo ezberdintzekin:

${\displaystyle \max(a,b)\leq u(a,b)\leq u_{max}(a,b)}$

non${\displaystyle \quad u_{max}(a,0)=a,\quad u_{max}(0,b)=b\quad }$ eta beste kasu guztietan ${\displaystyle \quad u_{max}(a,b)=1\quad }$ diren.

Batzuetan desiragarriak diren beste axioma batzuk ere bete ditzan eskatzen da. Gehien eskatutakoen artean hurrengo biak daude:

u5 axioma, Jarraitutasuna ziurtatzekoa.

${\displaystyle u}$ funtzio jarraitua da.

u6 axioma, Idenpotenzia ziurtatzekoa.

${\displaystyle u(a,a)=a}$

Bilketa estandarra da jarraitua eta idenpotentea den bilketa bakarra; aurreko sei axiomak betetzen dituen bilketa bakarra.

Bildura estandarraz gain hurrengo bildurak ere, proposatu dira:

Yager motakoak:

${\displaystyle u(a,b)=u_{w}(a,b)=\min[1,(a^{w}+b^{w})^{1/w}]}$

${\displaystyle w}$ parametroaren ibiltartea ${\displaystyle w\in (0,\infty )}$ delarik.

${\displaystyle w=\infty }$ denean Yagerren bildura eta bildura estandarra berdinak dira[2]

${\displaystyle \operatorname {Lim} \limits _{w\rightarrow \infty }}$ ${\displaystyle \min {[1,(a^{w}+b^{w})^{1/w}]}=\max(a,b)}$ delako.

Schweizer & Sklar motakoak:

${\displaystyle u(a,b)=u_{p}(a,b)=1-\max[0,(1-a)^{-p}+(1-b)^{-p}-1]^{1/p}}$

${\displaystyle p}$ parametroaren ibiltartea ${\displaystyle p\in (-\infty ,\infty )}$ izanik.

h1 axioma, Mugalde-baldintzak.

${\displaystyle h(0,0,...,0)=0\quad }$ eta ${\displaystyle \quad h(1,1,...,1)=1}$

h2 axioma, Monotonotasuna ziurtatzekoa.

Edozein ${\displaystyle \quad (a_{i}\mid i\in \mathbb {N} _{n})\quad }$ eta ${\displaystyle \quad (b_{i}\mid i\in \mathbb {N} _{n})\quad }$ bikoterentzat, non ${\displaystyle \quad a_{i}\in [0,1]\quad }$ eta ${\displaystyle \quad b_{i}\in [0,1]\quad }$ diren, ${\displaystyle \quad i\in \mathbb {N} _{n}\quad }$ guztientzat ${\displaystyle \quad a_{i}\geq b_{i}\quad }$ bada ${\displaystyle \quad h(a_{i}\mid i\in \mathbb {N} _{n})\geq h(b_{i}\mid i\in \mathbb {N} _{n})}$

Nahiz eta funtsezkoak ez izan hurrengo axiomak betetzea ere, eskatzen zaie askotan elkartze-eragiketei.

h3 axioma, Jarraitutasuna ziurtatzekoa

${\displaystyle h}$ funtzio jarraitua da.

h4 axioma, Simetrikotasuna ziurtatzekoa.

${\displaystyle \mathbb {N} _{n}}$ren edozein ${\displaystyle p}$ permutaziorako ${\displaystyle h(a_{i}\mid i\in \mathbb {N} _{n})=h(a_{p(i)}\mid i\in \mathbb {N} _{n})}$

Orain arte ikusi ditugun ebaketak eta bilketak bi eragigaiko elkartze-eragiketak dira baina, bai ebaketak eta bai bilketak elkarkorrak direnez, aise zabaldu ahal dira haien definizioak eragigairen edozein kopururako. Beraz ebaketak eta bilketak haien emaitzak gorago ikusi diren mugen artean dituzten elkartze-eragiketak dira.

Azken lau axioma hauek ez dute muga haiek jartzen eta badira batezbestekoak lortzeko eragiketak deitutako elkartze-eragiketak ebaketek eta bilketek eman ezin dituzten emaitzak ematen dutenak.

Ikusitako hiru elkartze-eragiketa moten emaitzen arteko mugak hurrengoak dira:

${\displaystyle i_{min}(a_{1},a_{2}...a_{n})\leq }$ EBAKIDURAK ${\displaystyle \leq \min(a_{1},a_{2}...a_{n})\leq }$ BATEZBESTEKOAK ${\displaystyle \leq \max(a_{1},a_{2}...a_{n})\leq }$ BILDURAK ${\displaystyle \leq \ u_{max}(a_{1},a_{2}...a_{n})}$

Ba dago batezbesteko orokortuak izena ematen zaion batezbestekoak lortzeko eragiketen mota bat ebakiduren eta bilduren arteko tarte osoa hartzen duena eta hurrengo funtzioez osatuta dagoena.

${\displaystyle h_{\alpha }(a_{1},a_{2},...,a_{n})=\left({\dfrac {a_{1}^{\alpha }+a_{2}^{\alpha }+...+a_{n}^{\alpha }}{n}}\right)^{1/\alpha }}$

${\displaystyle \alpha }$ parametroa ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} (\alpha \neq 0)}$ izanik.

${\displaystyle \alpha }$ 1 denean batezbesteko aritmetikoa lortzen da

${\displaystyle h_{1}(a_{1},a_{2},...,a_{n})={\dfrac {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}}}$

${\displaystyle \alpha }$ 2 denean batezbesteko koadratikoa lortzen da

${\displaystyle h_{2}(a_{1},a_{2},...,a_{n})={\sqrt {\dfrac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}{n}}}}$

${\displaystyle \alpha }$ -1 denean batezbesteko harmonikoa lortzen da

${\displaystyle h_{-1}(a_{1},a_{2},...,a_{n})={\dfrac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+{\dfrac {1}{a_{2}}}+...+{\dfrac {1}{a_{n}}}}}}$

eta ${\displaystyle \alpha }$ 0-ra hurbiltzen denean batezbesteko geometrikoa lortzen da[2]

${\displaystyle h_{0}(a_{1},a_{2},...,a_{n})=(a_{1}.a_{2}...a_{n})^{1/n}}$

Elkartzen diren multzoen garrantzien arteko ezberdintasunak kontuan hartu gura badira ${\displaystyle h_{\alpha }}$ oraindik gehiago orokortu ahal da hurrengo funtzioa erabiliz batezbesteko orokor haztatuak emateko.

${\displaystyle h_{\alpha }(a_{1},a_{2},...,a_{n};w_{1},w_{2},...,w_{n})=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}a_{i}^{\alpha }\right)^{1/\alpha }}$

bertan ${\displaystyle w_{i}}$ pisuek ${\displaystyle \quad w_{i}\geq 0(i\in \mathbb {N} _{n})\quad }$ eta ${\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\quad }$ baldintzak bete behar dituztela.