Multzo ireki

ℝⁿ-ko Espazio euklidearraren U azpimultzoa irekia da baldin eta U-ko edozein x puntu emanda, existitzen bada Ɛ>0 non d(x,y)< Ɛ betetzen duten y ${\displaystyle \in }$ℝⁿ puntu guztiak U multzoan dauden.  Beste era batean esanez, ℝⁿ-ren U azpimultzoa irekia da baldin eta U multzoko puntu bakoitzaren ingurune bat U-ren parte bada.

Aurreko definizioa espazio metriko orokorretara heda daiteke.

Izan bedi (X,d) espazio metrikoa.  Esaten da U${\displaystyle \subseteq }$X multzo ireki bat dela baldin eta x ${\displaystyle \in }$U guztietarako existitzen bada bola ireki bat non B(x,Ɛ) ${\displaystyle \subseteq }$U den.

Orokorrean, espazio topologikoetan multzo irekiak ia edozer izan daitezke, aukera ezberdinekin espazio ezberdinak eratuz.

Izan bitez X multzoa eta ${\displaystyle \tau }$ bere azpimultzoen familia. Esaten da ${\displaystyle \tau }$ familia X-ren gaineko topologia dela baldin eta:

• ${\displaystyle X\in \tau ,\phi \in \tau }$ (${\displaystyle X}$ eta ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \tau }$-n daude)
• {${\displaystyle O_{i}}$} ${\displaystyle _{i\in I}}$${\displaystyle \subseteq \tau \Rightarrow \bigcup _{i\in I}O_{i}\in \tau }$ (${\displaystyle \tau }$-ko multzoen edozen bildura ${\displaystyle \tau }$-n dago)
• ${\displaystyle \{O_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq \tau \Rightarrow \bigcap _{i=1}^{n}O_{i}\in \tau }$ (${\displaystyle \tau }$-ko multzoen ebakidura finitua ${\displaystyle \tau }$-n dago)

${\displaystyle \tau }$ familiako multzoei multzo ireki deritze eta ${\displaystyle (X,\tau )}$ bikoteari, espazio topologiko.

Multzo irekien definizio topologikoak espazio metrikoen definizioa orokortzen du:  Espazio metriko batetik abiatuz gero eta multzo irekiak lehengo moduan definituz gero, orduan multzo ireki guztien familia espazio metrikoaren gaineko topologia bat da. Beraz, espazio metriko bakoitza, era naturalean, espazio topologiko bat da.  Hala ere, badaude espazio metrikoak ez diren espazio topologikoak.

Topologian, multzo itxia multzo irekiaren osagarriari deritzo. Formalkiago esanda, ${\displaystyle (X,\tau )}$ espazio topologiko bat emanda, ${\displaystyle F\subseteq X}$ multzo itxia da baldin eta soilik baldin ${\displaystyle X\setminus F}$ ${\displaystyle \tau }$ topologiako elementu bat bada, hau da, ${\displaystyle X\setminus F}$ irekia bada.