Mekanika klasiko

Isaac Newton.

Liburu honetan, Newtonek hiru legetan oinarritu zituen higidurari buruzko printzipioak: lehena, inertziaren legea; bigarrena, indarraren eta azelerazioaren legea, eta hirugarrena, akzio-erreakzioaren legea. Lege horiek erabat bereizi ziren ordura arte fenomeno horiek azaltzeko eginiko legeetatik, Newtonek adierazpen matematiko zehatzen bidez eman baitzituen. Izan ere, ordurako asmatua zuen kalkulu diferentziala, eta erabilia zuen bere legeetan. Horretaz, aipatu beharra dago Leibniz-ek (1646-1716) eginiko lana ere, aldi bertsuan biek ala biek garatu baitzituzten legeak ondo ulertzeko eta kalkuluak egiteko guztiz beharrezkoak ziren deribatu eta integral kontzeptuak.

Newtonek momentu linealaren eta momentu angeluarraren kontserbazioen printzipioak ere adierazi zituen. Horrez gain, Newton lehena izan zen grabitazioaren formulazio matematikoa proposatzen, grabitazio unibertsalaren legea emanez. Horren bidez aztertu ahal izan zuen eguneroko objektuen higidura eta baita zeruko objektuenak ere, bereziki azalpen teoriko egokia emanez Keplerrek planeten higidurari buruz emaniko legeei. Lorpen horiek guztiak kontuan izanik, XVII. mendearen bukaerarako ezarrita geratu ziren mekanika klasikoaren oinarriak.

Joseph Louis Lagrange.

William Rowan Hamilton.

Newton eta gero, mekanika klasikoa bai fisika eta bai matematikaren ere, garrantzitsuenetako bat bilakatu zen. Nolanahi ere, edukia eta printzipioak mantenduz,  XVIII eta XIX. mendeetan zehar zenbait birformulazio berri egin ziren, hainbat motatako problema ebazteko bidea ireki zutenak. Horien artean bereziki aipagarriak dira honako biak: batetik, 1788an Joseph Louis Lagrange-k (1736-1813) eginikoa, zeina mekanika lagrangearra deitu ohi den; hurrengo mendean, 1833an, hori ere beste era batera birformulatu zuen William Rowan Hamilton-ek (1805-1865) gaur egun mekanika hamiltondarra izenarekin ezagutzen dena. Nolabait esateko, horiekin osatuta geratu zen mekanika klasikoa analisi matematikoaren ikuspuntutik; horregatik arlo horri mekanika analitikoa ere baderitzo.

Albert Einstein.

Max Planck.

Hemeretzigarren mendearen azken hamarkadetan, fenomeno fisiko berri batzuk ezin izan ziren azaldu mekanika klasikoaren bidez. Lehenengo arazoak elektromagnetismoarekin hasi ziren, presezki argiaren abiadurari buruz. Problema horren soluzioa Einstein-en (1879-1955) erlatibitate bereziaren teoriarekin argitu ziren, XX. mendearen lehenengo hamarkadan. Nolanahi ere, gaur egun sarritan teoria hori ere mekanika klasikoaren partetzet hartzen da

Bigarren zaitasun bat termodinamikaren arlotik etorri zen, zeinean entropia kontzeptua ondo definitu gabeko magnitudea baitzen. Gorputz beltzaren erradiazioa ezin esplika zitekeen kuantu[1] izeneko kontzeptu berria erabili gabe. Hain zuzen ere, esperimentua maila atomikora iristean, mekanika klasikoak ezin zuen azalpen egokirik eman atomoen energia-maileei buruz, ezta efektu fotoelektrikoari buruz ere. Horretan funtsezkoak izan ziren Planck-en (1858-1947) eta Einstein-en lanak. Horiek irekitako bidetik, XX.mendeko hirugarren hamarkadan, Schrödinger-en (1887-1961) eta Heisenberg-en (1901-1976) lanei esker, mundu atomikoan gertatzen diren fenomeno fisikoak aztertzeko mekanika berri bat sortu zen: mekanika kuantikoa.

Horrela, mekanika klasikoaren erabileraren mugak argi geratu ziren mundu atomikoan. Labur esanda, mekanika klasikoa oso teoria praktikoa da, maila atomikoan ez dauden energia txikiko partikulen higidura aztertzeko; alegia, mekanika kuantikoa erabiltzea beharrezkoa ez denean.

Mekanika klasikoan erabiltzen diren erreferentzia-sistemek hiru osagai nagusi dituzte: koordenatu-sistema, behatzailea eta erlojua. Horien bidez zehazten da une oro partikularen posizioa.

Kontuan izanik partikulak gure inguruko espazioan higitzen direla, lehenik espazioko puntuak kokatzeko erreferentzia-sistema bat beharko dira. Horretarako, espazioko puntu arbitrario bat aukeratzen da, sistemaren jatorria deitu ohi dena, eta ${\displaystyle O}$ sinboloaz adierazten dena. Puntu horretan zentraturik, koordenatu-sistema bat definituko da, behaketa eta neurketa guztiak sistema horretan egiteko. Mekanika klasikoaren espazioa hiru dimentsioko espazio euklidearra dela kontsideratzen da, eta horregatik jatorriarekin batera sistemak hiru ardatz koordenatu izango ditu.

Mekanika klasikoan erabili ohi den erreferentzia-sistemaren osagaiak: koordenatu-sistema, behatzailea eta erlojua.

Erreferentzia-sistema osoan presente dagoen behatzaile berezi bat dagoela kontsideratzen da, ${\displaystyle B}$, higiduran dabilen partikularen neurketa espazio-denboralak egiteko: batetik, partikula dagoen puntutik ardatz koordenatuekiko distantziak eta, bestetik, puntu bakoitzean zein aldiunetan dagoen. Bestela esanda, bere erlojua erabiliz, behatzailea gai izango da edozein ${\displaystyle t}$ aldiunetan partikula non dagoen zehazteko, aldiune horretan partikulari dagozkion hiru koordenatuak, ${\displaystyle (x,y,z)}$, neurtuz. Zer esanik ez, hiru osagai horiek denboraren funtzio izango dira: ${\displaystyle x(t),y(t),z(t)}$. Beste hitz batzuekin esateko, behatzaile hori "omnipresentea" —toki guztietan dago— eta "ahalguztiduna" —edozer egiteko gai— dela imajinatuko dugu.

Ohar bat egin behar da mekanika klasikoan erabiltzen diren "denbora" eta "espazioko geometria" kontzeptuen izaerari buruz. Erlatibitatearen teoria sortu aurreko garaietan, denbora kontzeptu absolutua zela onartzen zen. Alegia, onartzen zen ezen partikula beraren historiako bi aldiuneren artean igarotako denbora-tartea berbera zela edozein bi erreferentzia-sistematko bi behatzaileentzat; hots, mekanika klasiko ez-erlatibistan denbora absolutua da. Era berean, mekanika klasiko ez-erlatibistan onartzen da espazioaren geometria euklidearra dela.

HIgiduran zehar eginiko neurketa espazio-denboral horien bidez, behatzaileak unibertsoko objektuen higidurei erreferentzia-sistema horretan hainbat magnitude mekaniko definitu ahalko ditu. Jarraian, mekanika klasikoan ohikoak diren zenbait magnituderen definizioa azalduko da.

Aurreko atalean aipatutako erreferentzia-sisteman, partikularen posizio-bektorea definitu ohi da lehenik. Era geometrikoan, definizioz, aldiune bakoitzean sistemaren ${\displaystyle O}$ jatorritik partikula dagoen ${\displaystyle P}$ puntura doan ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}$ bektorea partikularen posizio-bektorea da, eta ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ sinboloaz adierazi ohi da. Partikula higitzen ari bada, posizioa aldatuz doa, eta ondorioz posizio-bektorea denboraren funtzioa izango da:

$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}(t).}$$

Bektore hori honelaxe adieraz daiteke osagai kartesiarren bidez:

$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=x(t){\boldsymbol {i}}+y(t){\boldsymbol {j}}+z(t){\boldsymbol {k}}.}$$

Behin posizio-bektorea definituz, funtzio horien deribazioz beste bi magnitude defini daitezke, abiadura eta azelerazioa.

Definizioz, abiadura izeneko magnitude fisikoa posizio-bektorearen denborarekiko deribatua da:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\equiv {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}.}$$

Hortaz, bektore bat da, ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ sinboloaz adierazi ohi dena eta erreferentzia-sistemako osagai kartesiarren bidez honelaxe idazten dena:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {k}}={v_{x}}{\boldsymbol {i}}+{v_{y}}{\boldsymbol {j}}+{v_{z}}{\boldsymbol {z}},}$$

Abiadura-bektorearen modulua hauxe da:

$${\displaystyle v={\sqrt {{v_{x}}^{2}+{v_{y}}^{2}+{v_{z}}^{2}}}.}$$

Abiaduraren moduluari lastertasuna ere esaten zaio batzuetan. Ohar gisa diogu inguruko hizkuntzetan ere bi hitz erabiltzen direla abiadura-bektorea eta bere mdulua bereiziz praktikan; adibidez, ingelesez lehenari "velocity" eta bigarrenari "speed" esaten zaie.

Unitateei dagokienez, posizioa metrotan neurtzen denez, abiaduraren unitatea ${\displaystyle {\text{m/s}}}$ da, edo gauza bera dena, ${\displaystyle {\text{m s}}^{-1}.}$

Mekanika klasikoan gorputz oro materia-kantitate bat zeina masa deritzon magnitudearen bidez neurtzen den eta ${\displaystyle m}$ sinboloaz adierazten den. Partikula puntualaren masa eta abiadura batera kontsideraturik, beste magnitude fisiko bat definitzen da, momentu lineala, era honetan:

$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}\equiv m{\boldsymbol {v}}.}$$

Agerikoa denez, momentu lineala magnitude bektoriala da, ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ sinboloaz adierazten da eta abiaduraren norabide bera du. SI sistemako momentu linealaren unitatea ${\displaystyle {\text{kg m s}}^{-1}}$ da.

Abiadura-bektoretik azelerazio deritzon magnitudea eratortzen da. Hain zuzen ere, azelerazioa abiaduraren denborarekiko deribatua da eta ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ sinboloaz adierazten da:

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\equiv {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}.}$$

Osagai kartesiarretan emanik honelaxe adieraziko da:

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}v_{x}}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {{\text{d}}v_{y}}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {{\text{d}}v_{z}x}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {k}}.}$$

Bestalde, abiaduraren aurreko definizioa kontuan izanik, era honetan adieraz daiteke azelerazioa posizio-bektorearen denborarekiko bigarren deribatuaren bidez:

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {k}}.}$$

Nazioarteko SI sisteman, azelerazio-unitatea ${\displaystyle {\text{m s}}^{-2}}$ da.

Kasu batzuetan, azelerazioaren denborarekiko hirugarren ordenako deribatua ere erabiltzen da. Magnitude fisiko horri jerk deritzo ingelesez eta gainazelerazioa euskaraz eta, definizioz, balio hau du posizio, abiadura eta azelerazioaren funtzioan:

$${\displaystyle {\boldsymbol {j}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {a}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{3}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{3}}}.}$$

Gainazelerazioa bektorea da, ${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$ sinboloaz adierazten da eta SI sisteman ${\displaystyle {\text{m s}}^{-3}}$ unitatean neurtzen da.

${\displaystyle S'}$ sistema inertziala ${\displaystyle V}$ abiadura konstantez higitzen ari da ${\displaystyle S}$ sistema inertzialarekiko.

Mekanika klasikoan eraikuntza funtsezkoak dira erreferentzia-sistema inertzialak. Sistema hauek Newtonen lehenengo legean aipatzen den inertziaren printzipioaren baliokideak dira. Printzipio horrek dioenez, kanpotik inolako elkarrekintzaren eraginpean ez dauden gorputz materialek —"partikula askeak" deritze— beren abiaduran irauteko joera adierazten dute: «Partikula askeak abiadura konstantez higitzen dira erreferentzia-sistema inertzialetan». Hau da, partikula askeen azelerazioa nulua da sistema inertzialetan. Printzipio hori da Newtonen lehenengo legearen muina; horregatik, inertziaren legea ere esaten zaio.

Mekanika newtondarrean, bi sistema inertzialen arteko erlazio zinematikoak Galileoren transformazioaren bidez adierazten dira. Adibide sinple baten bidez jarraian ikusiko dugunez, oso modu errazean lortuko ditugu zein diren erlazio horiek. Eskuinaldeko irudiko adibidean, ${\displaystyle S'}$ sistema ${\displaystyle V}$ abiadura konstantez higitzen ari da ${\displaystyle S}$ sistemaren ${\displaystyle Ox}$ norabidean. Gainera kontsideratuko dugu, gauzak errazteko, hasierako aldiunean bi sistemen jatorriak puntu berean egon direla eta bi erlojuek ordu berbera markatu dutela: ${\displaystyle t=t'=0}$. Beraz, erlazio hau dago partikula puntualak bi sistema horietan dituen posizio-bektoreen artean:

$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {V}}t.}$$

Erlazio hori bi sistemetako osagai kartesiarretan bananduta idatzirik:

$${\displaystyle {\begin{cases}x'=x-Vt\\y'=y\\z'=z\end{cases}}}$$

Bestalde, kontuan harturik denbora absolutua dela, eta bi behatzaileen erlojuak sinkronizaturik daudela,

$${\displaystyle t'=t}$$

ere idatz ditzakegu. Lau erlazio zinematiko horiek osatzen dute Galileoren transformazioa, modu trinkoagoan era honetan idatzi ohi dena:

$${\displaystyle {\begin{cases}x'=x-Vt\\y'=y\\z'=z\\t'=t\end{cases}}}$$

Galileoren transformazioan oinarrituz, adibide gisa, partikula baten abiadurak eta azelerazioak bi sistemetan dituzten balioen arteko erlazioa kalkula daiteke.

$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {V}}t\rightarrow {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}'}{{\text{d}}t'}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}-{\boldsymbol {V}},}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}'={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {V}}.}$$

Horrek esan nahi du bi erreferrentzia-sistema inertzialetatik abiadura desberdinak neurtzen direla. Abiadura beraz, magnitude erlatiboa da, erreferentzia sistema bakoitzaren araberakoa. Nolanahi ere adierazen hori berriro denborarekiko deribatuz, eta erreferentzia-sistema inertzialekelkarrekiko duten abiadura konstantea dela kontuan izanik, emaitza hau lortzen da azelerazioen balioei dagokienez:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}'={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {V}}\rightarrow {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}'}{{\text{d}}t'}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}\rightarrow {\boldsymbol {a}}'={\boldsymbol {a}}.}$$

Labur esanda, erreferentzia-sistema guztietatik azelerazioaren balio berbera neurtzen da. Gertaera hau funtsekoa da Newtonen bigarren legearen garrantzia ulertzeko.

Indar izeneko magnitude mekanikoaren definizioa Newtonen bigarren legearekin dago erlazionatuta. Magnitude honek masadun partikula batean eragiten ari den elkarrekintzaren intentsitatea adierazten du, kontuan izanik elkarrekintzak partikularen abiaduraren modulua edota norabidea aldarazten duela. Bestela esanda, indar baten eragipean dagoen gorputzak azelerazioa jasaten du. Hain zuzen, horixe da Newtonen bigarren legearen muina, ${\displaystyle m}$ masadun partikula puntualaren kasuan honelaxe adierazten dena era matematikoan:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}.}$$

Indarra magnitude bektoriala da, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ sinboloaz adierazten da eta azelerazioaren norabide bera dauka. SI sistemako indar-unitatea ${\displaystyle {\text{kg m s}}^{-2}}$ da.

Beste modu batera ere adieraz daiteke indarra momentu linealaren funtzioan. Preseski azelerazioa abiaduraren deribatua dela kontuan izanik, masa konstantea duen objektuaren kasuan, honelaxe idatz daiteke indarraren balioa:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}(m{\boldsymbol {v}})}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {p}}}{{\text{d}}t}}.}$$

Kasu batzuetan, objektuaren masa aldatuz joaten da denboran zehar. Esate baterako, adibidez espazio-ontzi baten masa txikitu egiten da aireratzerakoan propultsagailuak askatzean. Horrelakoetan, era horretan erabili behar da Newtonen legea.

Newtonen bigarren legean aipatzen den indarra jatorri desberdinetakoa izan daiteke. Hiru multzo nagusietan bil daitezke indarrak: distantziarako indarrak, ukipen-indarrak eta inertzia-indarrak:

Eguneroko bizitzako makromunduan ezagutzen ditugun bi elkarrakzio nagusien ondorioz sortuak: elkarrekintza grabitatorioa eta elkarrekintza elektromagnetikoa.

• Grabitazio-indarra. Jadanik XVII. mendearen bigarren partean, Newtonek eginiko lanari esker, finkaturik geratu zen grabitazio-indarraren izaera. Grabitazio unibertsalaren legearen arabera, masadun gorputz orok indar erakarle bat jasaten du beste edozein gorputzetatik, dagoen lekuan dagoela, elkarrekintza grabitatorioak irismen infinitua baitu. Beste elkarrekintzekin konparatuz intentsitatez oso txikia den arren, masa oso handien kasuan izugarri handia da, hala nola Eguzkiaren eta Lurraren artekoa, indar horri esker ari baikara biraka Eguzkiaren inguruan.

• Indar elektromagnetikoa. Partikula elektrikoek jasaten duten interakzioa da, atomoen eta molekulen arteko aldaketen eragile nagusia. Indar honek ere distantzia infiniturainoko helmena du, baina indar grabitatorioa ez bezala, kontuan izan behar da karga elektrikoa bi motatakoa dela (negatiboa eta positiboa), eta halaber, eremu elektrikoa eta eremu magnetikoa izan behar direla kontuan. Batetik, ${\displaystyle q}$ karga elektrikoa daukan partikula geldi dagoenean, ${\displaystyle q{\boldsymbol {E}}}$ balioko indar elektrostatikoa  jasaten du, ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ eremu elektrikoaren kausaz. Baina partikula hori ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ abiaduraz higitzen badabil, eremu magnetikoaren eragina ere jasaten du, ${\displaystyle q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}}$ indarra hain zuzen, ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ hori indukzio magnetikoa izan. Bi eremuon eragina batera kontsideratuz, partikulak Lorentz-en indarra  jasaten du, ${\displaystyle q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})}$ formulaz kalkulatzen dena.

Distantziarako indarrak direla eta, ohar bat egin behar da oinarrizko indar nuklearrei dagokienez. Indar nuklear bortitzak da atomoen nukleoa elkartuta mantentzen du, protoiak eta neutroiak elkarrekin bilduz, baina oso distantzia laburretara baino ez du eragiten; hain zuzen ere, nukleoen barrukoa da. Era berean, indar nuklear ahula ere atomoen nukleoaren barnekoa da desintegrazio erradioaktiboaren arduraduna izanik. Ahul esaten zaio aurrekoa baino ${\displaystyle 10^{13}}$ aldiz txikiagoa delako. Nolanahi ere, mekanika klasikoan indar hauek ez dira kontuan hartzen, nukleoen barnekoak direlako.

Bi gorputz solidok elkar ukitzen daudenean, akzio-erreakzioaren printzipioa betetzen duten indarrak egiten dizkiote elkarri. Honela, ${\displaystyle A}$ gorputzak ${\displaystyle B}$ gorputzari ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ indarra egiten badio, ${\displaystyle B}$ gorputzak ${\displaystyle -{\boldsymbol {F}}}$ indarra egiten dio ${\displaystyle A}$ gorputzari. Oro har, ukipen-indarrak bi osagaitan banatu ohi dira: indar normala (ukipen-gainazalaren perpendikularra) eta indar tangentziala (ukipen-gainazalaren tangentziala). Indar normala sortzen da ukipen-gainazalean gorputz bakoitzak besteari egiten dion konpresioaren kausaz, eta indar tangentziala bi gainazalen arteko marruskaduraren kausaz.

Bestalde, solidoak fluido baten barnean higitzen ari direnean, kontuan hartu behar dira bestelako ukipen-indarrak ere: Arkimedesen indarra eta biskositatearen kausazko marruskadura-indarrak ere.

Erreferentzia-sistema ez-inertzialeko behatzaileak gorputz baten dinamika aztertzean Newtonen legeak modu egokian aplikatzeko, sistema inertzialekiko duen azelerazioaren ondorioz, kontuan eduki behar dira sistema inertzialetan agertzen ez diren indar batzuk. Indar horiei inertzia-indarrak edo indar irudikariak deritze. Mota desberdinetako inertzia-indarrak daude: indar zentrifugoa, Coriolisen indarra eta azelerazio angeluarraren ondoriozkoa.

Partikularen ibilbideko bi punturen artean F indarrak eginiko lanaren definizioa.

Partikularen ibilbideko bi punturen artean F indarrak eginiko lanaren definizioa honelaxe gauzatzen da. Lehenik, partikulak ${\displaystyle P}$ puntutik aurrera eginiko desplazamendu infinitesimala, ${\displaystyle {\text{d}}{\boldsymbol {r}}}$, kontsideratuko dugu. Honelaxe definituko dugu lan infinitesimala:

$${\displaystyle {\text{d}}W={\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}=F{\text{d}}s\cos {\theta },}$$

non ${\displaystyle \theta }$ ibilbidearen norabide ukitzailearen eta indarraren norabidearen arteko angelua den eta ${\displaystyle {\text{d}}s=\left\vert {\text{d}}{\boldsymbol {r}}\right\vert }$ izanik.

Definizio horretan oinarriturik, honelaxe kalkulatzen da ibilbideko ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle B}$ puntuen artean ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ indarrak eginiko lana:

$${\displaystyle W_{AB}=\int _{A}^{B}{\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}=\int _{A}^{B}Fv\cos {\theta }{\text{d}}t.}$$

Alegia, ${\displaystyle A}$-tik ${\displaystyle B}$-ra guztira eginiko lana tarteko lan infinitesimal guztien batura da, hots, lan infinitesimal guztien integral kurbilineoa ibilbideko puntu guztietan zehar. Lana magnitude eskalarra da, ${\displaystyle {\text{M L}}^{2}{\text{T}}^{-2}}$ dimentsioduna eta SI sisteman lan-unitatea joule deitzen da, ${\displaystyle {\text{J}}}$ sinboloaz adierazten da eta balio hau du: ${\displaystyle {\text{1 J}}={\text{1 kg m}}^{2}{\text{s}}^{-2}}$.

Oro har, fisikan potentzia deritzo sistema fisiko batean eginiko lanaren eta denboraren arteko zatidurari. Bestela esanda, potentzia «denbora-unitatean eginiko lana» da. Beraz, potentzia kalkulatzeko, egindako lanaren eta horretan pasaturiko denboraren arteko zatiketa egin behar da. Bereziki, mekanika klasikoan potentzia mekanikoa erabiltzen da, indar batek eginiko lan zein bizkortasunez gertatzen den adierazteko.

Gorputz puntual batean indar batek ${\displaystyle \Delta t}$ denbora-tartean egindako lana ${\displaystyle \Delta W}$ bada, denbora-tarte horretan egindako batez besteko potentzia honelaxe definitzen da:

$${\displaystyle P_{\text{m}}={\frac {\Delta W}{\Delta t}}.}$$

Bestalde, aldiuneko potentzia definitzeko ${\displaystyle \Delta t}$ denbora-tartea zerora hurbiltzean batez besteko potentziak duen balio limitea kalkulatuko da:

$${\displaystyle P(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta W}{\Delta t}}={\operatorname {d} \!W \over \operatorname {d} \!t},}$$

hau da, aldiuneko potentzia batez besteko potentziaren denborarekiko deribatua da, ${\displaystyle t}$ aldiunean. Bestalde, definizio horretan ${\displaystyle {\text{d}}W={\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}}$ dela kontuan izanik,

$${\displaystyle P={\boldsymbol {F}}\cdot {\operatorname {d} \!{\boldsymbol {r}} \over \operatorname {d} \!t}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}.}$$

Alegia, aldiuneko potentziaaldiune horretan partikulan egiten ari den indarraren eta partikularen abiaduraren artekobiderkadura eskalarra da.

Potentzia mekanikoa magnitude eskalarra da eta ${\displaystyle P}$ sinboloaz adierazten da. Nazioarteko SI sisteman, potentzia-unitateari watt deritzo euskaraz eta ${\displaystyle {\text{W}}}$ sinboloaz adierazten da. Izen hori James Watt ingeniariaren omenez eman zitzaion, lurrun-makinan hobekuntza nabariak egin zituelako. Dena den, watt unitatea joule segundoko (${\displaystyle {\text{J s}}^{-1}}$) unitatearen baliokidea da: ${\displaystyle {\text{1 W}}={\text{1 J/s}}}$.

Lan magnitudean oinarriturik, beste magnitude mekaniko interesgarri bat defini daiteke: energia zinetikoa. Horretarako, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ indarrak eginiko lanaren definizioan kalkulu matematiko sinpleak egingo ditugu, honelaxe:

$${\displaystyle W_{AB}=\int _{A}^{B}{\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}=\int _{A}^{B}m{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}\cdot {\boldsymbol {v}}{\text{d}}t=m\int _{A}^{B}{\boldsymbol {v}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {v}}={\frac {1}{2}}m\int _{A}^{B}{\text{d}}({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}),}$$

$${\displaystyle W_{AB}={\frac {1}{2}}mv_{B}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{A}^{2}.}$$

Emaitza horretan oinarriturik honelaxe definitzen da partikulak puntu bakoitzean duen energia zinetikoa:

$${\displaystyle E_{\text{k}}\equiv {\frac {1}{2}}mv^{2}.}$$

Definizio hori onarturik, honelaxe interpreta daiteke aurreko emaitza: «Indar batek partikula batean eragitean bi punturen artean eginiko lanak partikularen energia zinetikoaren gehikuntza sortzen du». Era honetan idatz daiteke:

$${\displaystyle W_{AB}=E_{{\text{k}}B}-E_{{\text{k}}A}=\Delta E_{{\text{k}}AB}.}$$

Partikula askok osatutako gorputzen kasuan, energia zinetikoa partikula bakoitzaren energia zinetikoen batura da. Energia zinetikoa ere magnitude eskalarra da, ${\displaystyle E_{\text{k}}}$ sinboloaz adierazten da, eta lanaren dimentsio eta unitate berberak ditu.

Matematikaren ikuspuntutik hitz eginez, esan behar da lanaren definizioan integral kurbilineoa egin behar dela; hau da, integrala partikularen ibilbidea jarraituz kalkulatu behar dela. Horregatik, oro har, ibilbide bat hartu edo beste bat hartu, emaitza desberdina izan daiteke. Hala ere, naturan badira ezaugarri berezia duten indar batzuk: indar kontserbakorrak. Horien kasuan, ibilbidea edozein izanik, baina hasierako eta amaierako puntuak berdinak izanez gero, beti lortzen da emaitza berbera. Horrelakoak dira indar-eremu kontserbakorrak, eta kasu horretan, indarrak egiten duen lana ${\textstyle E_{\text{p}}=(x,y,z)}$ funtzio eskalar batek hasierako ${\displaystyle A}$puntuan eta bukaerako ${\displaystyle B}$ puntuan dituen balioen arteko kendura

$${\displaystyle W=\int _{A}^{B}{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}=E_{{\text{p,}}A}-E_{{\text{p,}}B}.}$$

Funtzio eskalar horri energia potentziala deritzo. Energia potentziala ere magnitude eskalarra da, ${\displaystyle E_{\text{p}}}$ sinboloaz adierazten da eta lanaren eta energia zinetikoaren dimentsio eta unitate berberak ditu.

Eremu grabitatorioa kontserbakorra da, eta horregatik partikulak eremu grabitatorioan higitzen ari direnean grabitazio-indarrak eginiko lana puntu bakoitzeko energia potentzialaren bidez kalkula daiteke. Lurreko eremu grabitatorioan partikulari dagokion energia potentziala fomula honen bidez kalkula daiteke, lehenego hurbilketa batean:

$${\displaystyle E_{\text{p}}=mgh,}$$

non ${\displaystyle g}$ grabitazioaren azelerazioa den eta ${\displaystyle h}$ puntuaren posizioari dagokion altuera diren.

Indar-eremu kontserbakorren kasuan, energia mekanikoa osoa deritzo energia zinetikoaren eta energia potentzialaren baturari:

$${\displaystyle E=E_{\text{k}}+E_{\text{p}}={\frac {1}{2}}mv^{2}+E_{\text{p}}({\boldsymbol {r}}).}$$

Hain zuzen, aurreko bi ataletan ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ indarrak ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle B}$ puntuen artean eginiko ${\displaystyle W_{AB}}$ lanaren bi adierazpenak berdinduz,

$${\displaystyle W_{AB}=E_{{\text{k}}B}-E_{{\text{k}}A}=E_{{\text{p}}A}-E_{{\text{p}}B},}$$

$${\displaystyle E=E_{{\text{k}}A}+E_{{\text{p}}A}=E_{{\text{k}}B}+E_{{\text{p}}B}={\text{kte}}.}$$

Emaitza honek adierazten duenez, indar eremu-kontsebakorren kasuan energia mekaniko osoak balio berbera du puntu guztietan. Emaitza horri energia mekanikoaren kontserbazioaren printzipioa deritzo.

Mekanika klasikoa Newtonen legeetatik harago ere badoa, puntu partikulak ez diren gorputzen higidura konplexuak azalduz. Momentu angeluarraren kalkulua orain arte erabilitako ideia berriak erabiltzen da.

Lehen aipatu bezala, mekanika klasikoan Newtonen legeez aparte badira beste bi formulaketa garrantzitsu: Lagrangen mekanika eta Hamiltonen mekanika. Newtonen mekanikaren baliokideak dira, baina batzuetan buruketak ebazteko lagungarriagoak izan daitezke. Lagrange eta Hamiltonen mekanikak bai eta beste aro berriko formulazioak indar kontzeptua erabili ordez, energia bezalako beste adierazpen fisikoak erabiltzen dituzte sistema mekanikoak deskribatzeko.

Gorago esan bezala, mekanika klasiko eta newtonianoa momentu erlatibista

${\displaystyle {\frac {m_{0}v}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ (momentu erlatibista)

m_0v bezala hartzen du eta beraz bakarrik balio du partikularen abiadura argiaren abiadura baino askoz txikiago denean (zatiketaren beheko parteak bat balolerantza doanean).

Adibidez, ziklotroi baten frekuentzia

${\displaystyle f=f_{c}{\frac {m_{0}}{m_{0}+T/c^{2}}}}$

da, non f_c eremu magnetiko batean dagoen elektroi baten frekuentzia klasikoa den (edo karga elektrikoa duen beste edozein partikula), T energia zinetikoarekin eta m_c masarekin.

Elektroi baten masa geldirik dagoenean 511 keV da, beraz balorea ekuazioan jarrita, eta elektroia huts tubo magnetiko batean 5.11 kV. azelerazio boltaiarekin badago, frekuentzi bien desberdintasuna, newtonen teoria edo erlatibista teoriaren artean, %1ekoa da.

Mekanika klasikoaren erabilera-eremua.

Mekanika klasikoaren izpi hurbilketak ez du balio de Broglie uhin-luzera sistemako beste dimentsioak baino askoz txikiagoa ez denean. Partikula ez-erlatibistentzat uhin-luzera hau:

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi \hbar }{p}}}$

da, ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle 2\pi }$z zatitutako Plank-en konstantea eta p momentua direlarik.

Gertaera hauek elektroiekin partikula astunagoekin baino lehen gertatzen dira. Clinton Davisson eta Lester Germer 1927an egindako saikuntzen elektroiak 54 boiltioko azelerazioa zuten eta 0.167nm uhinluzeera eta 0.215nm atomoen arteko tartea zuen nikel kristalaren kontra isladatzerakoan, difrakzio bakarra erakuzten zuten, beraz uhinluzeerea hau difraktatzeko luzeaina zen.

Huts kamara haundiagoekin ordenagailuen memoriako zirkuito integratuen kuantum difrakzioa ikustea posiblea da, erresoluzio angularra radianetatik miliradianetara haunditzeko gai izan ezkero. Mekanika klasikoak partikulen jokaera deskribitzeko balio ez duten beste saikuntzak ere badaude.

Optika geometrikoa bezala, mekanika klasikoa frekuentzia handiko partikulen jokaerei hurbilketa bat da eta zehatzak dira baldin eta partikulak eta gorputzek masa geldirik duten. Masa haundiagoko objectuak direnez, momentu haundiagoa dute ere eta de Broglie uhinluzeera masagabeko partikulak baino askoz txikiagoa, nahiz eta energia zinetiko berdinak izan arren.