Maxwellen ekuazioak

Ekuaziook NUS unitate sisteman daude idatziak

Name	Era diferentziala	Era integrala
Gaussen legea:	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$	${\displaystyle \;\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc \;\;\;\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =q=\iiint _{V}\rho \,\mathrm {d} V}$
Gaussen legea magnetismorako (monopolo magnetikorik ez dagoenaren frogapena):	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \;\iint _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc \;\;\;\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0}$
Faraday-ren indukzio legea:	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$
Ampère-Maxwell legea:	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

Hurrengo taulan, sinbolo bakoitzaren esanahia eta beraren NUS sistemako unitateak azaltzen dira:

Sinboloa	Esanahia	NUS unitatea
${\displaystyle \mathbf {E} }$	Eremu elektrikoa	volt metroko edo beste era batean, newton coulombeko
${\displaystyle \mu }$	Ingurunearen permeabilitate magnetikoa	henry (unitatea) metroko, edo newton anpere karratuko
${\displaystyle i_{N}}$	Lerro anperear batek inguratzen duen korronte elektriko netoa	anpere
${\displaystyle q}$	Gainazal gaussiar batek inguratzen duen karga elektriko netoa	coulomb
${\displaystyle \mathbf {H} }$	Eremu magnetikoaren intentsitatea	anpere metroko
${\displaystyle \mathbf {D} }$	Desplazamendu elektrikoa	coulomb metro karratuko
${\displaystyle \mathbf {B} }$	Eremu magnetikoa edo indukzio magnetikoa	tesla
${\displaystyle \ \rho \ }$	Karga elektriko askearen dentsitatea, polarizazioko kargak sartuta ez daudelarik	coulomb metro kubikoko
${\displaystyle \mathbf {J} }$	Korronte dentsitate askea, polarizazio edo magnetizazio korronteak sartuta ez daudelarik	Anpere metro karratuko
${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {A} }$	A azaleradun ganaizalaren bektore diferentzial eta normala txikia den balioa duelarik. Norabidea S gainazalarekiko perpendikularra delarik.	metro karratua
${\displaystyle \mathrm {d} V\ }$	S gainazalak inguraturikoV bolumeneko elementu diferentziala	metro kubiko
${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {l} }$	S gainazala inguratzen duen C ibilbide itxiarekiko uneoro tangentziala den bektore diferentziala	metro
${\displaystyle \nabla \cdot }$	Dibergentzia eragilea	metroko
${\displaystyle \nabla \times }$	Errotazionalaren eragilea	metroko

Elektromagnetismo osoaren teoria osatzeko, beste ekuazio bat batu beharrean gaude, Heavisidek osaturiko lau ekuazio horietara. Partikula kargatu batek eremu elektriko eta magnetiko batengatik jasatzen duen indarra Lorentz-en indarraren ekuazioak ematen digu:

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ),}$

non ${\displaystyle q\ }$ partikularen karga den eta ${\displaystyle \mathbf {v} \ }$ partikularen abiadura.

Ekuazio gehigarri hau koordenatu kartesiarretan agertu zen Maxwellen zortzi ekuazio originaletan, (D) izanik.

Maxwellen ekuazioak eremuen ikuspuntu makroskopikotik dira normalean baliagarriak, zeinak ikuspuntu mikroskopikotik asko aldatzen diren atomo indibidualen eskalan (zeinetan efektu kuantikoak ere kontuan izan behar diren). Hurbilketa makroskopiko batzuen bidez defini daitezke material baten permitibitate eta permeabilitatea moduko magnitudeak. Eskala mikroskopikoan, Maxwellen ekuazioak efektu kuantikoak arbuiatuz, hutsean daudenak bakarrik dira baliagarri; baina karga atomiko guztiak jarri behar dira, ezinezko problema bihurtuz.

Material linealetan, ${\displaystyle \mathbf {P} }$ polarizazio dentsitatea (metro karratuko coulombetan emana) eta ${\displaystyle \mathbf {M} }$ magnetizazio dentsitatea (anpere metroko unitatetan emana) ondorengo adierazpenek ematen dizkigute:

${\displaystyle \mathbf {P} =\chi _{e}\varepsilon _{0}\mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} }$

eta ${\displaystyle \mathbf {D} }$ eta ${\displaystyle \mathbf {B} }$ eremuak ${\displaystyle \mathbf {E} }$ eta ${\displaystyle \mathbf {H} }$ eremuekin era honetan erlazionatuta daudelarik:

${\displaystyle \mathbf {D} \ \ =\ \ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ \ =\ \ (1+\chi _{e})\varepsilon _{0}\mathbf {E} \ \ =\ \ \varepsilon \mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {B} \ \ =\ \ \mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )\ \ =\ \ (1+\chi _{m})\mu _{0}\mathbf {H} \ \ =\ \ \mu \mathbf {H} }$

non:

${\displaystyle \chi _{e}}$ materialaren suszeptibilitate elektrikoa den,

${\displaystyle \chi _{m}}$ materialaren suszeptibiliate magnetikoa den,

${\displaystyle \varepsilon }$ materialaren permitibitate elektrikoa den eta

${\displaystyle \mu }$ materialaren permeabilitate magnetikoa den.

(Dena dela, adierazpen hauek material ez-linealetara ere zabaldu daitezke, ε' eta μ eremuaren intentsitatearen araberakoak direla adieraziz)

Ingurune isotropiko eta ez-dispertsiboetan ε eta μ denborarekiko menpekotasunik ez duten eskalareak dira eta Maxwellen ekuazioak era honetan geratzen dira:

${\displaystyle \nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =\rho }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-\mu {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

Ingurune uniforme (homogeneo) batean, ε eta μ posizioarenetik independente diren konstanteak dira eta espazioarekiko deribatuekiko trukakorrak dira.

Hutsa ingurune lineal, homogeneo, isotropiko eta dispertsio gabekoa da eta hutseko konstante proportzionalak hutsaren permitibitate elektriko (ε₀) eta hutsaren permeabilitate magnetikoek (μ₀) ematen dizkigute (efektu kuantikoak direla eta propietate ez-linear txikiak arbuiatuz).

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} }$

Hutsean, korronte edota karga elektrikorik ez dagoenez, hutseko Maxwellen ekuazioak era honetan geratzen zaizkigu:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\ \ \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

Ekuazio hauek soluzio bat dute zeina uhin lau sinusoidal higikari batzuen ekuazioa den. Uhin hauetan eremu eremu elektriko eta magnetikoak elkarrengandik elkartzutak izango lirateke, baita uhinaren hedapen-abiadurarekiko ere. Eremu biak fasean egongo lirateke, abiadura honetan higitzen:

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}}$

Maxwellek aurkitu zuen c kantitate hau argiaren abiadura dela hutsean eta hori dela eta, argia erradiazio elektromagnetikoa dela. Gaur egun argiaren abiadura, permitibititate eta permeabilitatearen balio onartuak hutserako taula honetan daude laburtuak:

Ikurra	Izena	Balio numerikoa	Neurtzeko NUS unitatea	Mota
${\displaystyle c\ }$	Argiaren abiadura	${\displaystyle 2.99792458\times 10^{8}}$	metro segundoko	definitua
${\displaystyle \ \varepsilon _{0}}$	Permitibitatea	${\displaystyle 8.85419\times 10^{-12}}$	faraday metroko	ondorioztatua
${\displaystyle \ \mu _{0}\ }$	Permeabilitatea	${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}}$	henry metroko	definitua