Maxwell-Boltzmann banaketa

Intereseko sistemak partikula kopuru handia daukala suposatuz, hiru dimentsioko abiadura espazioaren elementu infinitesimal baten barruan dauden partikulen frakzioa, ${\displaystyle v}$ magnitudeko abiadura bektore batean zentratua, ${\displaystyle f(v)d^{3}v}$ da, non

${\displaystyle f(v)d^{3}v=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}d^{3}v}$

den, ${\displaystyle m}$ partikularen masa, ${\displaystyle k_{B}}$ Boltzmannen konstantea eta T tenperatura termodinamikoa izanik.

Gas noble batzuen abiadura probabilitate dentsitate funtzioa 298.15 K (25 °C) -tan. Y ardatza s/m -tan dago, beraz, kurben sekzio azpian dagoen azalera dimentsio gabekoa da eta abiadura sekzio horretan egoteko daukan probabilitatea adierazten du

Abiadura espazioko elementua ${\displaystyle d^{3}v=dv_{x}dv_{y}dv_{z}}$ gisa idatzi daiteke koordenatu kartesiarretan edo ${\displaystyle d^{3}v=v^{2}dvd\Omega }$ koordenatu esferikoetan, non ${\displaystyle d\Omega }$ angelu solidoaren elementua den. ${\displaystyle f(v)}$ banaketa funtzioa dela jakinik, funtzioa normalizatzean ${\displaystyle \int f(v)d^{3}v=1}$ izango da espazio osoan integratuz.

Goiko funtzioa bi dimentsiotan integratuz ${\displaystyle v_{y}}$ eta ${\displaystyle v_{z}}$-rekiko, banaketa funtzio Maxwelliarra eskuratu dezakegu norabide bakarrean higitzen diren partikulen sisteman. Norabidea ${\displaystyle x}$ bada

${\displaystyle f(v_{x})~\mathrm {d} v_{x}=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{1/2}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{B}T}}}dv_{x}}$

${\displaystyle f(v)}$ sistema isotropikoa denez, angelu solidoarekiko integratu daiteke eta probabilitate banaketa hurrengo funtzio gisa idatzi[6]

${\displaystyle f(v)~\mathrm {d} v=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}\,4\pi v^{2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}dv}$

Probabilitate dentsitate honek partikula batek ${\displaystyle v}$ abiadura izateko duen probabilitatea ematen du. Maxwell-Boltzmannen banaketa chi banaketaren baliokidea da hiru askatasun gradurekin eta ${\displaystyle a={\sqrt {K_{B}T/m}}}$ eskala parametroarekin.

Banaketak betetzen duen ekuazio diferentzial arruntena hurrengo hau da:

${\displaystyle k_{B}Tvf'(v)+f(v)(mv^{2}-2k_{B}T)=0,}$

${\displaystyle f(1)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{\frac {m}{2k_{B}T}}}\left({\frac {m}{k_{B}T}}\right)^{3/2}}$

edo unitate gabeko presentazioa erabiliz:

${\displaystyle a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x)=0,}$

2D-ko gas baten simulazioa. Maxwell-Boltmann distribuzioan oinarriturik.

${\displaystyle f(1)={\frac {{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{\frac {1}{2a^{2}}}}}{a^{3}}}.}$

Bataz besteko balioen Darwin-Fowler metodoa erabiliz, Maxwell-Boltzmann banaketa emaitza zehatz gisa eskuratzen da.

Maxwell eta Boltzmann-en banaketa funtziotik zenbait parametro estatistiko lor daitezke, probabilitate handiagoko abiadura, batezbesteko abiadura eta batezbesteko abiadura koadratikoa, hain zuzen ere[7].

• Probabilitate handiagoko abiadura, v_p, edozein molekulak (${\displaystyle m}$ masa berekoak) sisteman izan dezakeen probabilitate handieneko abiadura da eta ${\displaystyle f(v)}$ banaketa funtzioaren maximoak ematen du, zerora berdinduz.

${\displaystyle {df(v) \over dv}=-8\pi \left({m \over 2\pi k_{B}T}\right)^{3 \over 2}ve^{{-mv^{2}} \over 2k_{B}T}\left({mv^{2} \over 2k_{B}T}-1\right)=0}$

eta, ondorioz,

${\displaystyle {\frac {mv_{p}^{2}}{2k_{B}T}}=1}$ ${\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}}$

non, ${\displaystyle R}$ gas idealen konstantea den.

${\displaystyle M}$ substantzien masa molarra den, ${\displaystyle M=mN_{a}}$ (${\displaystyle m}$ eta ${\displaystyle N_{a}}$ partikulen masa eta Avogadroren zenbakia izanik, hurrenez hurren).

Hortaz, probabilitate handiagoko abiaduraren azken adierazpena hurrengoa izango litzateke:

${\displaystyle v_{p}={\sqrt {2RT \over mN_{a}}}}$

• Batezbesteko abiadura, abiadura-banaketaren itxaropen matematikoa da.

${\displaystyle \langle v\rangle =\int _{0}^{\infty }vf(v)dv}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\frac {8k_{B}T}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{p}}$

• Batezbesteko abiadura koadratikoa:

${\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=}$ ${\displaystyle \left(\int _{0}^{\infty }v^{2}f(v)dv\right)^{1/2}}$${\displaystyle ={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{p}}$