Marruskadura-indar

Elkar ukitzen eta elkarrekiko tangentzialki higitzen ari diren bi solido zurrunen arteko indarra aztertzeko, lehenengo hurbilketa batean, marruskaduraren eredu estandarra erabiltzen da. Eredu sinpleena den honetan, bi solidoek elkarri egiten dizkioten ukipen-indarrak aztertzean, bi osagai kontsideratzen dira: osagai normala, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{n}}}$, eta osagai tangentziala, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{f}}}$. Baina, izatez, indar horiek gorputz desberdinetan eragiten dute, eta akzio-erreakzioko indarrak dira, alboko eskeman zoru horizontalean higitzen ari den solido baten arteko marruskadura-indarren kasuan modu grafikoan adierazita dagoen bezala.

Zoru gainean irristatzen ari den solido batean sorturiko indarrak.

Osagai normalak bi solidoen arteko presioa adierazten du, hau da, ukipenean daudela elkarri egiten dioten presioa eragiten duena. Hain zuzen ere, gorputz bakoitzak jasaten duen indarraren osagai normalaren norabidea gainazalaren perpendikularra da eta gorputzaren barrualderako noranzkoa du; hau da, alboko irudiko kasuan, zoruak gorputzari egina, gorantz, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{n}}}$, eta gorputzak zoruari egina, beherantz, ${\displaystyle -{\boldsymbol {F}}_{\text{n}}}$.

Bestalde, osagai tangentzialak bi gorputzen higidura erlatiboa eragozteko edo frenatzeko ahaleginean dihardu (solido batean zein bestean). Hortaz, gainazalaren norabide ukitzailea duena izanik, zoruak gorputzari egindako osagai tangentzialak gorputzaren abiaduraren aurkako noranzkoa du, gorputza balaztatzekoa, eta azelerazio negatiboa sorrarazten du gorputzean (dezelerazioa ere esaten zaio). Alderantziz, gorputzak zoruari egindakoak zorua bera herrestan eramateko noranzkoa du, gorputzaren abiaduraren noranzkoan, zorua mugiarazteko gai izan zein ez. Izatez, ukipen-indarraren osagai tangentzial hori da marruskadura-indarra, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{f}}}$ sinboloaz adieraziko duguna, horrela egiten delako nazioartean (azpi-indizeko ${\displaystyle {\text{f}}}$ horrek frikzio/friction hitza islatzen baitu).

Historikoki, marruskadura aztertzeko lehenengo ikerketak XVII. mendean egin ziren, bereziki Guillaume Amontons-en eskutik. Berak lorturiko emaitzen ondorioz, marruskaduraren lehenengo bi "lege klasikoak" proposatu zituen:

• Lehenengo legeak zioen marruskadura-indarra gorputzak jasaten duen indarraren osagai normalaren proportzionala dela.
• Bigarren legeak zioen, horrez gain, marruskadura-indarrak ez zeukala ukipen-azaleraren tamainaren menpekotasunik.
• Geroago, XVIII. mendearen bukaera aldean, bere esperimentuetan eginiko behaketetan oinarriturik, Charles-Augustin de Coulomb-ek hirugarren lege bat adierazi zuen, esanez ezen, behin higidura hasi ondoren, marruskadura dinamikoaren balioak ez duela abiaduraren menpekotasunik (zenbait liburutan, lege honi Coulomb eta Morin-en legea deritzo).

Egia esanda, marruskadura fenomenoa hiru lege horietan azaltzen dena baino korapilatsuagoa da, baina lehenengo hurbilketa batean, eredu teoriko hori nahikoa egokia dela esan dezakegu, fenomeno honen ezaugarri batzuk aztertzeko behintzat; hortaz, eredu horretaz baliotuko gara hurrengo azalpenetan.

Aurreko paragrafoan aipaturiko lehenengo legearen arabera, marruskadura-indarraren modulua eta ukipen-indarraren osagai normalaren balioa elkarren proportzionalak dira. Proportzionaltasun hori proportzionaltasun-konstante batez adieraz dezakegu, honelaxe:

$${\displaystyle F_{\text{f}}=\mu F_{\text{n}}.}$$

Konstante horri marruskadura-koefizientea deritzo. Zehatz hitz eginda, erlazio hori bi gorputzak elkarrekiko higitzen ari diren kasuan aplikatzen da eredu teoriko honetan, eta ez elkerrekiko geldi dauden kasuan. Horregatik, marruskadura-indarraren neurria zehazki zein den adierazteko, bereizi egiten dira egoera estatikoa (bi gorputzak elkarrekiko mugitzen ari ez diren kasua) eta egoera dinamikoa (elkarrekiko higitzen ari direnean).

Marruskadura-koefiziente estatikoa neurtzeko etxean egiteko moduko esperimentu sinplea.

Demagun gorputz solido bat geldi dagoela zoluaren gainean, eta irristarazteko norabidean indar bat egiten zaiola kanpotik. Indarra ezartzean, marruskadura-indar bat sortzen da ukipen-gainazalean, kanpoko indarraren aurkako noranzkoan, gorputza geldi iraunarazteko ahaleginean. Kanpoko indarraren modulua txikia bada, marruskadura-indarra aski handia izango da kanpoko indarra anulatzeko, eta bi gorputzek geldi iraungo dute elkarrekiko. Baina kanpoko indarra mugako neurri bat baino handiagoa bada, marruskadura-indarra ez da gai izango kanpokoa anulatzeko. Mugako indar horren modulua era honetan dago erlazionaturik ukipen-indarraren osagai normalarekin: ${\displaystyle F_{\text{fs}}=\mu _{\text{s}}F_{\text{n}}}$. Hain zuzen ere, ${\displaystyle \mu _{\text{s}}}$ proportzionaltasun-konstanteari marruskadura-koefiziente estatikoa deritzo (nazioarteko sinboloaren ${\displaystyle {\text{s}}}$ azpi-indizea static hitzari dagokio). Beraz, kontuan izanik mugako indarra baino txikiagoa aplikatzean gorputzak egoera estatikoan irauten duela, honelaxe adierazten da marruskadura-indar estatikoaren balioa:

Marruskadura-koefiziente estatikoaren eta plano inklinatuaren angeluaren arteko erlazioaren azalpena.

$${\displaystyle F_{\text{fs}}\leq \mu _{\text{s}}F_{\text{n}}.}$$

Kanpotik eginiko indarra hori baino handiagoa denean, gorputza higitzen hasten da, eta hortik aurrera egoera dinamikoa eduki beharko da kontuan. Agerikoa denez, marruskadura-indar estatikoaren adierazpen matematikoan desberdintza-sinboloa ageri da: ${\displaystyle \leq }$. Horrek esan nahi du ezen, marruskadura-indarra gorputza higitzen ez hasteko adina handi izango dela, harik eta mugako balio bateraino iristen den arte.

Gauzak horrela, portaera horrek bide ematen digu marruskadura-koefiziente estatikoaren balio maximoa zein den neurtzeko, Hain zuzen ere, angelu aldakorreko plano inklinatu batean egindako zeharkako neurketa batez kalkula dezakegu balio hori, ezkerraldeko irudian eskematikoki azalduta dagoen bezala. Planoaren aldapa poliki-poliki handiagotzen hasiz gero, ${\displaystyle \alpha }$ angelu txikietarako gorputzak geldi iraungo du, marruskadura-indarra aski izango da beheranzko higidura eragozteko. Baina angelua mugako balio batera iristean, doi-doi hasiko da irristatzen aldapan behera. Muga-angelu hori ${\displaystyle \alpha _{\text{L}}}$sinboloaz adieraziko dugu (${\displaystyle {\text{L}}}$ azpi-indizea limite hitzetik hartua). Zehazki, angelu horri dagokion tangente trigonometrikoa da marruskadura-koefiziente estatikoaren balioa: ${\displaystyle \mu _{\text{s}}=\tan \alpha _{\text{L}}}$.

Ukipenean dauden gorputzak elkarrekiko higitzen ari direnean, marruskadura-indarra antzera kalkulatzen da, baina marruskadura-koefiziente zinetikoa (dinamikoa ere esaten zaio) kontuan izanik. Alegia, marruskadura-indarra ukipen-indarraren osagai normalaren proportzionala izango da, gainazalaren paraleloa eta gorputzaren abiaduraren aurkako noranzkoa izango du. Honelaxe adieraz daiteke kasu honetako marruskadura-indarra, era bektorialean idatzita:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{fk}}=-\mu _{\text{k}}F_{\text{n}}{\boldsymbol {u}}_{v}.}$$

Adierazpen honetan ${\displaystyle \mu _{\text{k}}}$ marruskadura-koefiziente zinetikoa da (sinboloko ${\displaystyle {\text{k}}}$ hori kinetic hitzari dagokio) eta ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{v}}$ gorputzaren abiaduraren norabideko bektore unitarioa); bestalde, marruskadura-indarrak abiaduraren aurkako noranzkoa duela esan nahi du minus zeinuak.

Orain arte egindako esperimentuetan egindako neurketen arabera, koefiziente zinetikoa beti da koefiziente estatikoa baino txikiagoa edo, gehien jota, berdina: ${\displaystyle \mu _{\text{k}}\leq \mu _{\text{s}}}$. Horrek adierazten du ezen indar handiagoa egin behar dela ukipenean dauden gorputzak elkarrekiko higiarazten jartzeko, jadanik higitzen ari direnak higitzen iraunarazteko baino.

Ondoko taulan gorputz solidoen arteko ukipen-gainazaletan neurturiko marruskadura-koefizienteen balioak erakusten dira, materialak bikoteka antolaturik eta bikote bakoitzaren kasuan koefiziente estatikoaren eta koefiziente zinetikoaren balioak emanik. Ikus daitekeenez, kasu guztietan betetzen da aurreko paragrafoan emaniko desberdintza.

Batetik, ${\displaystyle k}$koefizientea fluidoen barneko marruskadurari dagokion forma-koefizientea da (eite-koefizientea ere esaten zaio).[3] Koefiziente honek gorputzaren formaren menpekotasuna du, eta baita gorputzaren abiadurak forma horrekiko duen norabide erlatiboarena ere. Gorputzak esfera forma badu (alegia, formarik sinpleena, norabide guztietan berbera), koefiziente horren balioa ${\displaystyle k=6\pi R}$ da. Balio horri Stokes-en legea deritzo, eta beraren dimentsio-ekuazioak erakusten duen bezala, luzera-dimentsioa du:

$${\displaystyle [k]=[6\pi R]=[R]={\text{L}}.}$$

Forna geometriko bakoitzak bere forma-koefizientea du; oro har, higidurarekiko perpendikularra den gorputzaren zabalerak eragina du horretan. Forma-koefizienteak marruskadura-indarrean duen eragina moteltzeko, gorputzari ahalik eta formarik aerodinamikoena ematen saiatzen dira diseinatzaileak.

Bigarren koefizienteak fluidoaren barne-marruskadura adierazten du eta biskositate-koefizientea deritzo. Hauxe da beraren dimentsio-ekuazioa:

$${\displaystyle [\eta ]=\left[{\frac {F_{\text{f}}}{kv}}\right]={\frac {{\text{M·LT}}^{-2}}{{\text{L·LT}}^{-1}}}={\text{ML}}^{-1}{\text{T}}^{-1}.}$$

Fluidoaren barnean grabitatez erortzen ari den gorputz solidoak jasaten dituen indarren eskema.

Biskositatea fluidoen ezaugarri karakteristiko bat da, bertan higitzen diren gorputzei egiten dien erresistentziaren neurria adierazten duena. Fluido guztiek dute biskositatea; esate baterako, eztiak urak baino biskositate handiagoa du, eta horregatik zailagoa da koilara eztian higiaraztea uretan baino.

Fluidoaren barneko marruskaduraren efektuak nolakoak diren ulertzeko, adibide gisa, fluido batean (uretan edo airean, kasu) grabitatearen eraginpean erortzen ari den esfera baten higidura aztertuko dugu. Alboko irudian eskematikoko adierazita dagoen bezala, hiru indar

ari dira eragiten esfera horretan: grabitatearen ondoriozko pisua, ${\displaystyle m{\boldsymbol {g}}}$, Arkimedesen goranzko bultzada, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{A}}}$, eta fluidoaren marruskadura-indarra, ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{f}}}$. Esferaren higidura aztertzeko, Newtonen bigarren legea erabiliz, honelaxe idatz dezakegu higidura horri dagokion ekuazioa:

$${\displaystyle m{\boldsymbol {a}}=m{\boldsymbol {g}}+{\boldsymbol {F}}_{\text{A}}+{\boldsymbol {F}}_{\text{f}}.}$$

Ekuazio horretako ${\displaystyle m{\boldsymbol {g}}}$ eta ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{A}}}$ indarrek balio konstantea dute, baina marruskadura-indarra abiaduraren menpekoa da: ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{f}}=-k\eta {\boldsymbol {v}}}$. Abiadura zenbat eta handiagoa izan, are handiagoa izango da marruskadura-indarrak gorputza balaztatzeko izango duen gaitasuna eta horrek eragina izango du solidoaren dezelerazioaren neurrian. Dezelerazio horren kausaz gorputzak ezin ahalko du gainditu abiadura jakin bat, muga-abiadura deituko duguna.

Fluidoaren barnean bertikalki erotzen ari den solidoaren gaineko indarrak.

Fluidoan beherantz erortzen ari den solidoa muga-abiadurara nola iristen den ulertzeko, kasu sinple bat aztertuko dugu, fluido batean grabitatearen eraginpean bertikalki erortzen ari den solidoarena, hain zuzen. Indar guztiek norabide bertikala dutenez, honelaxe idatzi ahalko dugu aldi bakoitzean azelerazioaren moduluari dagokion ekuazioa:

$${\displaystyle ma=(mg-F_{\text{A}})-k\eta v.}$$

Adierazpen honetan azelerazio positibotzat hartu dugu beheranzkoa (grabitatearena, alegia). Bestalde, Arkimedesen bultzadaren balioa solidoak desplazaturiko fluidoaren ${\displaystyle m_{\text{A}}g}$ pisuari dagokiona dela kontuan izanik, honelaxe idatz dezakegu ekuazio hori:

$${\displaystyle ma=(mg-m_{\text{A}}g)-k\eta v\rightarrow a={\frac {m-m_{\text{A}}}{m}}g-{\frac {k\eta }{m}}v.}$$

Ekuazio horretako lehenengo terminoa konstantea da, ${\displaystyle {\frac {m-m_{\text{A}}}{m}}g}$ baliokoa; bigarrenak abiaduraren menpekotasuna du, ${\displaystyle -{\frac {k\eta }{m}}v}$. Ikus dezagun zer eragina duten azelerazioarn balioan.

• Lehenengo terminoak adierazten du solidoak fluidoan flotatzeko gai den ala ez. Grabitate-indarra Arkimedesen bultzada baino handiagoa bada, ${\displaystyle mg>m_{\text{A}}g}$, solidoa hondoratu egingo da azkenean; bestela, lehenago edo geroago flotatu egingo du. Muga-abiadura flotatzen ez duten eta beheranzko abiadura duten solidoen kasuan azalduko da; alegia, lehenengo termino hori beheranzkoa dela kontsideratuko dugu.
• Hortaz, abiadura beheranzkoa izanik, bigarren terminoa goranzkoa izango da, ${\displaystyle -{\frac {k\eta }{m}}v}$. Horrek esan nahi du beheranzko azelerazioa gero eta txikiagoa izango dela. Noiz arte? Ba, zehazki, esanik, azelerazioa nulua izan arte. Une horretatik aurrera, azelerazioa nulua izanik, abiadura konstantea izango da. Horixe da, hain zuzen, muga-abiadura, balio hau izango duena:
  
  $${\displaystyle 0={\frac {m-m_{\text{A}}}{m}}g-{\frac {k\eta }{m}}v_{\text{L}}\rightarrow }$$

  
  
  

$${\displaystyle v_{\text{L}}={\frac {m-m_{\text{A}}}{k\eta }}g.}$$

Gorputz solidoaren abiaduraren eboluzioa muga-abiadurara iritsteko bidean. a) hasierako abiadura muga-abiadura baino txikiagoa denean; b) handiagoa denean.

Denboraren arabera abiadurak daukan eboluzioa aztertzeko, bi kasu berezi aztertuko ditugu:

• Lehengoan, hasierako abiadura nulua izan dela kontsideratuko dugu, ${\displaystyle v_{0}=0.}$Hortaz, hasierako unean azelerazioak balio hau izango du, ${\textstyle a={\frac {m-m_{\text{A}}}{m}}g.}$ Eta hortik aurrera abiadura handituz joango denez, azelerazioa txikiagotuz joango da. Noiz arte? Muga-abiadura modu asintotikoan lortu arte.
• Bigarrenean, solidoaren hasierako abiadura muga-abiadura baino handiagoa denean gertatuko da, ${\displaystyle v_{0}>v_{\text{L}}}$denean, hain zuzen. Gauzak horrela, azelerazioa negatiboa izango da: ${\displaystyle a<0.}$ Horrek esan nahi du fluidoak balaztatu egiten duela solidoa, hasieratik bertatik. Noiz arte? Muga-abiadura lortu arte. Hortik aurrera, azelerazioa nulua izango da, eta abiadura, konstantea; muga-abiadura, alegia. Alboko irudian irudikatu dira modu grafikoan bi kasu horiek. Batean zein bestean ikusten denez, muga-abiadurarekiko hurbilketa modu asintotikoan gertatzen da.

Une desberdinetan jauzi egindako lau paratxutista elkartu dira airean erorketa librean.

Ziurrenik, noizbait ikusi duzu bideo harrigarriren bat, zeinean aldiune desberdinetan ondoz ondo hegazkinetik jauzi egidako paraxutistek elkartu egiten diren airean handik gutxira, elkarrekin egitura geometriko harrigarriak osaturik tarte batean. Hori guztia paraxutak ireki aurretik egiten dute, noski, gero banandu egiten baitira era bizkorrean, zeinek bere paraxuta irekitzeko eta gozo-gozo lurreratzeko.

Fisikako terminoetan oso azalpen argia dauka ariketa horrek. Paraxutista bakoitzak badaki kontrolatzen erorketa libreko muga-abiadura. Horretarako, gorago aipaturiko bere gorputzaren forma-koefizienteaz baliatzen da. Beso-hanken eta gorputzaren uzkurduren bidez forma desberdinak gauzatuz eta horrela forma-koefizientea handiagotu edo txikiagotuz, aldatu egin ditzake marruskadura-indarra, higiduraren norabidea eta erorketako muga-abiadura. Modu horretan, taldeko paraxutistek elkarren albora bil daitezke, eta guztiok abiadura berean jaitsi denbora-tartetxo batean. Zer esanik ez, horretarako hainbat entrenamendu egin behar dituzte... eta gero paraxuta garaiz ireki.