Logika lauso

Logika klasikoan oinarrizkoa den proposizio bat egiazkoa edo gezurrezkoa izan behar duelako hipotesia Aristotelesen garaitik izan da zalantzazkotzat hartua, Aristotelesek berak bere De interpretatione (Antzinako grekoan: Περὶ Ἑρμηνείας, Peri Hermeneias) tratatuan aztertu zuen geroan jazoko ziren jazoerei buruzko proposizioen egiazkotasun edo faltsutasunaren kontua. Aristotelesen arabera geroan gertatuko diren gertaerei buruzko proposizioak egiten direnean ez dira ez egiazkoak eta ez gezurrezkoak; baina bai egiazkoak eta bai gezurrezkoak izan daitezke; beraz gertaera gertatu ala ez gertatu baino lehen proposizioen izaera zehaztugabea da.

Gaur egun gauza ezaguna da zehaztugabeak diren proposizioak ez daudela lotuta bakarrik geroarekin; adibidez, Heisenbergen ziurgabetasunaren printzipioa dela eta, neurtzeko dauden funtsezko mugengatik, badaude berez zehaztugabeak diren fisika kuantikoarekin lotutako proposizioak.

Horrelako proposiziorekin jarduteko balio biko logikaren egiazko/gezurrezko dikotomia erlaxatu behar dugu eta zehaztugabea dei daitekeen beste hirugarren egia-balioa onartu.

Bi egia-balioko logika klasikoa era ezberdinetan zabaldu ahal da hiru egia-balioko logika ezberdinetara. Gaur egun ondo finkatutako hainbat hiru egia-balioko logikak daude. Logika hauetan normalean proposizioen egiazkotasuna, faltsutasuna eta zehaztugabetasuna urrenez urren 1, 0 eta ½ egia-balioekin adierazten dira, eta ${\displaystyle p}$ proposizio baten ezeztapena ${\displaystyle {\bar {p}}=1-p}$ eran definitzea ere arrunta da; ${\displaystyle {\bar {1}}=0}$, ${\displaystyle {\bar {0}}=1}$ eta ${\displaystyle {\bar {\tfrac {1}{2}}}={\tfrac {1}{2}}}$ izanik. Hiru balioko logika ezberdinen beste funtzio primitiboak, aldiz, ez dira berdinak logika guztietan.

Hurrengo taulan ezagunenak diren hiru egia-balioko lau logiken ${\displaystyle \land }$, ${\displaystyle \lor }$ , ${\displaystyle \to }$ eta ${\displaystyle \leftrightarrow }$ lau funtzio primitiboak agertzen dira, logika horiek asmatu zituzten pertsonen izenez identifikatuta.

p q	Łukasiewicz ${\displaystyle \land \quad \lor \quad \to \quad \leftrightarrow }$	Bochvar ${\displaystyle \land \quad \lor \quad \to \quad \leftrightarrow }$	Kleene ${\displaystyle \land \quad \lor \quad \to \quad \leftrightarrow }$	Heyting ${\displaystyle \land \quad \lor \quad \to \quad \leftrightarrow }$
0 0 0 ½ 0 1	0  0 1 1  0 ½ 1 ½ 0 1  1 0	0  0  1  1 ½ ½ ½ ½ 0 1  1  0	0 0  1 1  0 ½ 1 ½ 0 1  1 0	0 0 1 1 0 ½ 1 0 0 1 1 0
½ 0 ½ ½ ½ 1	0 ½ ½ ½ ½ ½ 1 1 ½ 1 1 ½	½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½	0 ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 1 1 ½	0 ½ 0 0 ½ ½ 1 1 ½ 1 1 ½
1 0 1 ½ 1 1	0 1 0 0 ½ 1 ½ ½ 1 1 1 1	0  1  0  0 ½ ½ ½ ½ 1  1  1  1	0  1  0  0 ½ 1 ½ ½ 1  1  1  1	0  1  0  0 ½ 1 ½ ½ 1  1  1  1

Taulan ikus daiteke hiru egia-balioko logika guzti horien funtzioen emaitzak eta bi egia-balioko logika klasikoarenak berberak direla eragigaien egia-balioak 0 eta 1 direnean.

Hala baina, aurkeztutako bost logiketan ez dira betetzen beti logika klasikoaren propietate guztiak; adibidez, goiko taula aztertuz ikus daiteke kontraesanaren legea ${\displaystyle (a\land {\bar {a}}=0)}$ ez dela betetzen a aldagaiaren balioa ½ denean.

Bi egia-balioko logika klasikoan tautologia deitzen zaie euretan agertzen diren aldagai logikoek edozein egia-balioa badute ere beti egiazko emaitza (1 egia-balioa) ematen duten formula logikoei, eta kontraesana beti emaitza faltsua (0 egia-balioa) ematen dutenei.

Esate baterako, bi egia-balioko logika klasikoan ${\displaystyle (p\land (p\to q))\to q}$ tautologia bat da, modus ponens izenekoa; hurrengo taulan ikusi ahal den legez bere emaitza beti 1 delako.

p q	${\displaystyle (p\to q)}$	${\displaystyle (p\land (p\to q))}$	${\displaystyle (p\land (p\to q))\to q}$
0 0 0 1 1 0 1 1	1 1 0 1	0 0 0 1	1 1 1 1

Hona hemen, berarekin batera, bi egia-balioko logika klasikoaren beste tautologia ezagun pare bat:

${\displaystyle (p\land (p\to q))\to q\;\;\;\;\;\;\;}$ (modus ponens)

${\displaystyle ({\bar {q}}\land (p\to q))\to {\bar {p}}\;\;\;\;\;\;\;}$ (modus tollens)

${\displaystyle ((p\to q)\land (q\to r))\to (p\to r)\;\;\;\;\;\;\;}$ (silogismo hipotetikoa)

Bi balioko logika klasikoak

1. Espezie baten 500 banako baino gehiago bizi badira espezieak iraupena ziurtatuta dauka
2. Hego Amerikako oihanetan XXX espeziaren 500 banako baino gehiago bizi dira
3. beraz, XXX espeziaren iraupena ziurtatuta dago

arrazoibidearen antzeko arrazoibideak aztertzeko lanabes formalak eskaintzen dizkigu; baina arrazoibide horrek XXX espeziaren 500 banako bizirik ba daude espezia desagertuko dela eta 501 banako bizirik egonez gero ez dela desagertuko onartzera bultzatzen gaitu, zentzugabea edo ilogikoa dela dirudiena.

Logika lausoak

1. Espezie baten 500en bat banako baino gehiago bizi badira espezieak iraupena ziurtatu samar dauka.
2. Hego Amerikako oihanetan XXX espeziaren 2.000 inguru banako bizi dira
3. beraz, XXX espeziaren iraupena nahikotxo ziurtatuta dirudi

arrazoibidearen antzeko arrazoibideak aztertzeko lanabes formalak jartzen ditu gure esku; mintzaira arruntetan ohikoagoak eta egokiagoak diruditenak.

Horretarako hiru egia-balioko logikak oraindino gehiago orokortu dira ${\displaystyle n}$ egia-balioko logikak asmatuz; logika horietan egia-balioak hurrengoak izaten dira:

${\displaystyle E_{n}=\left\{0={\frac {0}{n-1}},{\frac {1}{n-1}},{\frac {2}{n-1}},...,{\frac {n-2}{n-1}},{\frac {n-1}{n-1}}=1\right\}}$

${\displaystyle n}$ edozein zenbaki arrunta izan daitekeela; baita ${\displaystyle \infty }$ ere.

${\displaystyle n}$ egia-baliodun logiken artean lehenengoz proposaturikoa 1930eko hamarkadan Łukasiewicz-ek proposatutakoa da; eragiketa logikoak honela definitu zituela:

${\displaystyle {\bar {a}}=1-a}$

${\displaystyle a\land b=min(a,b)}$

${\displaystyle a\lor b=max(a,b)}$

${\displaystyle a\to b=min(1,1+b-a)}$

${\displaystyle a\leftrightarrow b=1-|a-b|}$

Berez, Łukasiewicz-ek ukazioa eta inplikazioa bakarrik hartu zituen oinarrikotzat, beste hirurak haren bidez definituz; honela:

${\displaystyle a\lor b=(a\to b)\to b}$

${\displaystyle a\land b={\overline {{\bar {a}}\lor {\bar {b}}}}}$

${\displaystyle a\leftrightarrow b=(a\to b)\land (b\to a)}$

Erraz ikus daiteke ${\displaystyle n}$ 2 denean formula hauen bidez lortzen diren balioak bi egia-balioko logika arruntaren balioak direla, eta 3 denean Łukasiewicz-en hiru egia-balioko logikarenak.

Hiru egia-balio edo gehiagoko logiketan logika klasikoaren tautologia asko ez dira izaten tautologiak; esate baterako gorago aurkeztutako hiru tautologietatik bi bakarrik jarraitzen dute tautologia izaten Kleene-ren hiru egia-balioko logikan (modus ponens eta silogismo hipotetiko izenekoak), eta aurkeztutako beste hiru egia-balioko logiketan bat ere ez.

Hori dela eta, logika hauetan erabilitako aldagai logikoak edozein egia-baliokoak izanda inoiz emaitza faltsua ematen ez duten formulei kuasi-tautologia edo ia-tautologia esaten zaie, eta inoiz egiazko emaitza ematen ez dutenei kuasi-kontraesan edo ia-kontraesan.

Normalean ${\displaystyle n}$ 2 edo handiagoako Łukasiewicz-en logikak ${\displaystyle L_{n}}$ ikurrez irudikatzen dira eta euren artean bi muturreko logikak daude: ${\displaystyle L_{2}}$ (bi egia-balioko logika klasikoa) eta ${\displaystyle L_{\infty }}$ ([0,1] tartean dauden zenbaki arrazional guztien balioak har ditzakeen infinitu egia-balioko logika).

Egia-balioak [0,1]tartean dauden zenbaki arrazional guztien balioetara mugatu barik, tarte horretan dauden zenbaki erreal guztiak onartzen badira, beste infinitu egia-balioko logika bat lortzen da, aurrekoarekin guztiz baliokidea proposizioak bakarrik onartzen dituzten formula logikoentzat (ez kuantifikatzaileak dituzten predikatu-formulentzat); kasu horretan logika biak tautologia berberak dituztelako.

Azken infinitu egia-balioko logika hau normalean ${\displaystyle L_{1}}$ ikurraz irudikatzen da eta Łukasiewicz-en ${\displaystyle L_{1}}$ logika estandar izendatzen da, bertan bata ${\displaystyle \aleph _{1}}$-en laburdura bat dela, normalean continuumaren kardinaltasuna irudikatzeko erabilitako ikurra.

Hurrengo taulan agerrarazten diren korrespondentziak kontuan hartuta, multzo-teoria eta logikaren artean isomorfismoa dago, beti ere ${\displaystyle X}$ eta ${\displaystyle V}$ multzoen kardinalitatea berbera bada.

multzo teoria	proposizioen logika
${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \subseteq }$	${\displaystyle {\mathcal {F}}(V)}$ ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \lnot }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \to }$

${\displaystyle X}$ kontuan hartzen diren elementu guztien multzo unibertsala, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\quad X}$ multzoaren zati guztien multzoa, ${\displaystyle V}$ logika baten aldagaien egia-balioko konbinazio guztiak, eta ${\displaystyle {\mathcal {F}}(V)}$ konbinazio horiekin definitutako funtzio logiko guztien multzoa izanik.

Hori horrela, bi egia-balioko logika klasikoa multzo zurrun edo arrunten teoriarekin isomorfikoa den bezala, Łukasiewicz-en ${\displaystyle L_{1}}$ logika estandarra isomorfikoa da multzo lausoren eragiketa estandarrez definitutako jatorrizko multzo lausoen teoriarekin.

Horretaz baliatuz, isomorfikoak diren eremu bietako baten frogatutakoa beste eremuan ere frogatuta dago eta ez dago frogaketa guztiak bikoiztu beharrik.

Era berean, Łukasiewicz-enaz gain, beste infinitu egia-balioko logikak definitu ahal dira; ukazio, konjuntzio eta disjuntzio logikoak definituz multzo lausoren eragiketa ez estandarrez baliatuta; kontuan hartuta han osagarriak, bildurak eta ebakidurak definitzeko erabilitako multzokidetasun mailak logikan egia-balioekin ordezkatzen direla.

• Logika proposizional
• multzo lausoren eragiketa
• Booleren aljebra
• Grafo teoria
• Silogismo

Grassman, W. K.; Tremblay, J-P.. Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science Perspective / Matemática Discreta y Lógica. .

Grimaldi, R. P.. (1989). Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction / Matemáticas discretas y combinatorias. .

Ross, K. A.; Wright, C. R. B.. (1992). Discrete Mathematics. .