Lagrangeren biderkatzaile

Optimizazio matematikoan Lagrangeren biderkatzaileen metodoa erabil daiteke murrizketak dituzten funtzioen maximoak edo minimoak bilatzeko. Metodo horretan funtzioak berak ez dauzkan aldagai berezi batzuk erabiltzen dira, murrizketa bakoitzeko bat, eta aldagai horiek Lagrangeren biderkatzaile izena hartzen dute. ${\displaystyle \lambda \,}$ ikurraz adierazten dira. Izena Joseph-Louis Lagrange XVIII. mendeko matematikariarengandik datorkio.

Lagrangeren biderkatzaileen metodoa funtzioen minimoak edo maximoak bilatzeko erabiltzen da, baina funtzioak hainbat murrizketa bete behar dituenean erabiltzen da metodo hau. Funtzioak n aldagai izanik k murrizketa bete behar baditu, funtzioaren minimoa (edo maximoa) bilatzeko problema eraldatu eta n+k ekuazio eta beste hainbeste aldagaiko sistema batean bihurtzen du. Problema berri hori ebatziz jatorrizko funtzioaren minimoa edo maximoa lortuko da.

Izan bedi optimizazio problema:

${\displaystyle f(x)}$ funtzioaren minimoa lortu

${\displaystyle g_{i}(x)=0}$ murrizketak kontuan hartuz (${\displaystyle i=1,\ldots k}$)

non

${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$,

${\displaystyle f:R^{n}\Rightarrow R}$ eta

${\displaystyle g_{i}:R^{n}\Rightarrow R,\qquad i=1,2,\ldots ,k}$.

Problema horretan oinarrituz Lagrangeren funtzioa defini dezakegu, horretarako, ${\displaystyle g_{i}(x)}$ murrizketa bakoitzari ${\displaystyle \lambda _{i}}$ aldagaia biderkatuko diogu:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\lambda )=f(x)-\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\cdot g_{i}(x),}$

Hasierako minimizazio problema ebaztearen parekoa da Lagrangeren funtzioaren puntu kritikoak bilatzea, hau da, honako sistema ebaztea:

${\displaystyle \nabla _{x,\lambda }{\mathcal {L}}(x,\lambda )=0.}$

Kontuan izan Lagrangeren funtzioaren deribatu partzialak kalkulatu behar direla, hau da, aldagai bakoitzarekiko deribatu partziala zerorekin berdindu behar da eta horrela lortzen den sistema ebatzi behar da, beraz, n + k ekuazio izango ditugu eta beste horrenbeste ezezagun:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=0,\qquad i=1,2,\ldots n}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda _{j}}}=0,\qquad j=1,2,\ldots k}$

Lagrangeren funtzioaren puntu kritikoak jatorrizko funtzioaren minimo edo maximo (edo inflexio puntu) izan daitezke, beraz, sistema ebatzi ondoren lortutako soluzioak jatorrizko probleman balioztatu beharko dira.