Kromodinamika kuantiko

Teoriaren oinarrizko propietateetako bat askatasun asintotikoa da: distantzia laburretan, kargatutako partikulak ia askeak dira. Hala ere, haien arteko distantzia handitzen denean, bien arteko elkarreragina ere handitu egiten da. Horrek kontraste handia egiten du distantziarekin txikiagotzen diren beste elkarrekintza batzuen izaerarekin, hala nola elektromagnetikoarena eta grabitatorioarena.

Kromodinamika kuantikoaren portaera anomalo hori elkarrekintzaren bitartekariak (gluoiak) elkarrekin jarduteko gai direlako gertatzen da. Interakzio elektromagnetikoarekin kontraste handia egiten du horrek, haren bitartekariek, fotoiek, ez baitute elkarrekin elkarreraginean jarduten.

Kromodinamika kuantikoaren lagrangearrak SU(3)_c simetria du eremu leptonikoen mendeko zatian. Horrek esan nahi du, Noetherren teoremaren arabera, simetria horri lotutako magnitude kontserbatuak daudela. Kontserbatutako magnitudeari kolore deitzen diogu. Hiru kolore-barietateak R (red/gorria), B (blue/urdina) eta G (green/berdea) gisa izendatzen dira normalean, nahiz eta izen horiek ez duten zerikusirik kolore bisualarekin, uhin-luzera desberdinei lotutako fenomeno elektromagnetikoa baita.

Kolore-karga konfinatu egiten da, gluoiak, aldi berean, beren kolore-kargaren arabera elkarrekintzan aritu daitezkeelako. Hori ez dator bat eremu elektromagnetikoko fotoien egoerarekin, kargarik ez dutenez elkarri eragiten ez baitiote. Desberdintasun erabakigarri horren ondorioz, elkarrekinza elektromagnetikoak irismen infinitua izan dezake elkarrekintza indartsuaren irismen oso laburraren aurrean.

Teoriaren lagrangearra Lorentzen inbariantea da, eta SU(3) taldearen fase lokalen eraldaketarekiko ere inbariantea da, eta forma hau du:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }={\bar {q}}i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }q-{\bar {q}}mq-g{\bar {q}}\gamma ^{\mu }T_{a}qG_{\mu }^{a}-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }}$

Eremu gluonikoa zortzi gluoi-motak osatzen dute (SU(3) 8 dimentsiokoa baita). Zortzi gluoi mota horietako bakoitza eremu elektromagnetikoko tentsorearen antzeko eremu gluonikoko tentsore batek ematen du. Guztira, eremu gluonikoak 128 osagai eskalar ditu (8 gluoi mota, eremu gluoniko bakoitzak 16 osagai dituen bitartean). Eremu gluoniko bakoitzerako, elkartutako bederatzi osagaiak honela definitzen dira:

(1) ${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\sum _{b,c=1}^{8}f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},\quad \mu ,\nu \in \{0,1,2,3\}}$

Eremu elektromagnetikoarekin eta beste gauge eremu batzuekin gertatzen den bezala, osagai horiek askoz ere potentzial koadribektorialen kopuru mugatu batean adieraz daitezke, eta zortzi potentzial behar dira:

${\displaystyle A_{\mu }^{a}\,}$ zortzi bektore potentzialen osagaiak.

${\displaystyle a,b,c}$ gluoi mota adierazteko 1etik 8ra bitarteko indizeak.

${\displaystyle \mu ,\nu }$, 0tik 3ra bitarteko denbora-adierazleak, 0 denbora-koordenaturako, 1, 2, 3 hiru osagai espazialetarako.

${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial (\cdot )/\partial x^{\mu }}$ μ-garren koordenatuarekiko deribatu partziala.

${\displaystyle f^{abc}\,}$ SU(3)-ren Lie-ren aljebraren egitura-konstanteak.

${\displaystyle g\,}$ kolore-eremurako akoplamendu-konstantea.

Eremuaren osagaiek honako eremu-ekuazio hau betetzen dute:

(2) ${\displaystyle \partial _{\mu }\mathbf {G} ^{\mu \nu }+[\mathbf {A} _{\mu },\mathbf {G} ^{\mu \nu }]=-\mathbf {J} ^{\nu }}$

Non:

${\displaystyle \mathbf {G} _{\mu \nu }=-ig\sum _{a}G_{\mu \nu }^{a}\mathbf {T} ^{a}}$ gluoi-mota guztietarako konbinatutako eremu gluonikoa da.

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }=-ig\sum _{a}A_{\mu }^{a}\mathbf {T} ^{a}}$ gluoi-mota guztietarako potentzial bektorialen batura da.

${\displaystyle \mathbf {J} ^{\nu }=-ig\sum _{a}J^{a,\nu }\mathbf {T} ^{a}}$ karga-mota bakoitzerako kolore-kargaren dentsitatea da.

${\displaystyle \mathbf {T} ^{a}}$, Lieren aljebrako elementuen bektore-oinarri normalizatua da su(3), adibidez, Gell-Mannen matrizeak.

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$, aurreko Lie-ren aljebraren parentesia da.

Ohartu zaitezte lehenengo ataleko bigarren terminorik gabe ekuazio hori (2) formalki Maxwellen ekuazioekin berdin-berdina izango litzatekeela, eremu gluonikoaren definizioa desberdina delako izan ezik. Potentzial bektorialen mende esplizituki dauden terminoek eragiten dute gluoien arteko elkarreragina (eremu elektromagnetikoko fotoiek, aldiz, ez dute elkar eragiten), eta, azken batean, indar nuklear horiek indar elektrodinamiko eta elektromagnetikoetatik nabarmen bereizten diren irismen laburreko indar indartsuak dira.