Koaternioi

Koaternioiak zenbaki konplexuen hedadura dira. Koaternioien multzoak, ${\displaystyle \mathbf {H} }$ multzoak, lau dimentsioetako bektore espazioa osatzen du, multzo hau ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ multzoarekin identifika daiteke, alegia, errealen gaineko 4 dimentsioetako bektore espazioa osatzen dute. Bi elementuren arteko batuketaren definizioa ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ espazioko elementuen batuketaren bera da. Koaternioi bati zenbaki erreal bat biderkatzeko ere ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ espazioko elementuei eskalarra biderkatzea bezala definitzen da. Bi koaternioi biderkatzeko, ordea, bektore espazioko oinarria behar dugu, oinarriko lau bektoreak behar dira, lau elementu horiek 1, i, j, eta k izenez ezagutzen dira normalean. Eta oinarri hori erabiliz parekatzen dira koaternioien multzoa eta ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$, hau da, edozein koaternioi a1 + bi + cj + dk konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke, non a, b, c eta d zenbaki errealak diren eta 1, i, j eta k oinarrizko koaternioiak diren. Oinarri horretako lehen elementua, 1 elementua, elementu neutroa da eta edozein elementuri 1 elementua biderkatzean elementua ez da aldatzen.

Zenbakiak matematikan
Zenbaki multzoak
${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ Zenbaki arruntak ${\displaystyle \mathbb {N} }$ Zenbaki osoak ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Zenbaki arrazionalak ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ Zenbaki irrazionalak Zenbaki errealak ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Zenbaki konplexuak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ Zenbaki aljebraikoak Zenbaki transzendenteak
Konplexuen hedadurak
Koaternioiak ${\displaystyle \mathbb {H} }$ Oktonioiak ${\displaystyle \mathbb {O} }$ Zenbaki hiperkonplexuak
Bestelakoak
Zenbaki kardinalak Zenbaki ordinalak Zenbaki lehenak π = 3.141592654… e = 2.718281828… i unitate irudikaria ∞ infinitua Φ = 1,6180339887...
Zenbaki-sistemak
Zenbaki-sistema hamartarra Zenbaki-sistema bitarra Zenbaki-sistema hamaseitarra Zenbaki-sistema zortzitarra

Koaternioien oinarriko beste elementuen arteko biderketek baldintza hauek betetzen dituzte:

${\displaystyle \mathbf {ii=jj=kk=ijk=-1} }$.

Baldintza hauetatik beste batzuk ondoriozta daitezke, esate baterako, ijk=-1 ekuazioari bi aldeetan k biderkatuz ijkk =-1k lortuko genuke, baina kk =-1 denez, -ij =-k bezala adieraz genezake, edo beste era batera, ij = k.

Laburbilduta, biderketa-taula hau betetzen dute:

Aipatzekoa da biderketa ez dela trukakorra. Banakortasun legeari esker bi koaternioiren arteko biderketa oinarrizko koaternioien arteko biderketen bidez adieraz daiteke. Biderketaren hedapenak honako espresioa ematen digu:

(a₁ + b₁i + c₁j + d₁k ).(a₂ + b₂i + c₂j + d₂k) =

a₁ a₂ + a₁ b₂i + a₁c₂j + a₁ d₂k + b₁a₂i + b₁b₂ii + b₁c₂ij + b₁d₂ik + c₁a₂j + c₁b₂ji + c₁c₂jj + c₁d₂jk + d₁a₂k + d₁b₂ki + d₁c₂kj + d₁d₂kk

Oinarriko elementuen biderketak aplikatuz,

a₁ a₂ - b₁b₂ - c₁c₂ - d₁d₂ + a₁ b₂i + b₁a₂i + c₁d₂i - d₁c₂i + a₁c₂j + c₁a₂j - b₁d₂j + d₁b₂j + a₁ d₂k + d₁a₂k + b₁c₂k - c₁b₂k

azkenik, elkartze-legeari esker, biderketari dagokion koaternioia honako konbinazio linealak adierazten du:

(a₁ a₂ - (b₁b₂ + c₁c₂ + d₁d₂)) 1 + (a₁ b₂ + b₁a₂ + c₁d₂ - d₁c₂) i + (a₁c₂ + c₁a₂ - b₁d₂ + d₁b₂) j + (a₁ d₂ + d₁a₂ + b₁c₂ - c₁b₂) k

Hainbatetan koaternioiak adierazteko eskalar bat eta bektore bat erabiltzen dira, alegia,

${\displaystyle q=(r,\ {\vec {v}}),\ q\in \mathbf {H} ,\ r\in \mathbf {R} ,\ {\vec {v}}\in \mathbf {R} ^{3}}$

Adierazpide horrekin batuketa eta biderketa honela adieraz daitezke:

${\displaystyle (r_{1},\ {\vec {v}}_{1})+(r_{2},\ {\vec {v}}_{2})=(r_{1}+r_{2},\ {\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})}$

eta

${\displaystyle (r_{1},\ {\vec {v}}_{1})(r_{2},\ {\vec {v}}_{2})=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})}$

non "·" biderketa eskalarra den eta and "×" bektore biderketa den.

q koaternioiaren norma honela definitzen da:

${\displaystyle \mathbf {|q|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}} }$

Koaternioien biderketak elkartze-legea eta banatze-legea betetzen ditu, baina ez trukatze-legea. Koaternioiek, batuketarekin eta biderketarekin, osatzen duten egitura aljebraikoa zatiketa duen eraztuna da.