Kuantil

Badira izen berezia jasotzen duten k-kuantil jakingarriak:

• 4-kuantilak 3 dira eta kuartil deritze: Q₁, Q₂, Q₃ (lehenengo kuartila, bigarren kuartila, hirugarren kuartila);
• 10-kuantilak 9 dira eta dezil deritze: D₁, ...., D₉;
• 100-kuantilak 99 dira eta pertzentil edo zentil deritze: P₁, ...., P₉₉.

Era berean kintilek eta oktilek maiztasun bereko 5 eta 8 azpimultzoetan, hurrenez hurren, zatitzen dute banaketa.

Kuantil ezberdinen artean baliokidetasunak daude; adibidez, lehenengo koartila bat dator 25garren pertzentilarekin.

Mediana 2-kuantila da, bere azpitik datuen %50ak utzi eta horrela banaketa bi zatitan egiten duelako [2]

${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\,}$ datuetarako, oro har, interpolazio lineala darabilen formula honi jarraiki kalkulatzen dira kuantilak[3]:

${\displaystyle {\hat {Q}}(p)=(1-\gamma )X_{j}+\gamma X_{j+1}\,\ ,}$

${\displaystyle \ j=\lfloor np+m\rfloor \,}$

${\displaystyle \gamma =(np+m)-\lfloor np+m\rfloor \,}$ izanik.

Adibidez, toki batean otsaileko 3 egunetako ${\displaystyle x_{1}=2,x_{2}=5,x_{3}=10\,}$ tenperatura minimoak jasota, ${\displaystyle m=0\,}$ balioa aukeratuz:

${\displaystyle \ j=\lfloor 3\times 0.6\rfloor =\lfloor 1.8\rfloor =1\,}$

${\displaystyle \gamma =(1.8)-\lfloor 1.8\rfloor =1.8-1=0.8\,}$ izanik.

${\displaystyle {\hat {Q}}(0.6)=(1-0.8)X_{1}+0.8X_{2}=0.2\times 2+0.8\times 5=4.4}$

Horrela, lagin horretan oinarriturik, egun guztietatik %60etan tenperatura minimoa otsailean 4.4 edo txikiagoa dela zenbatesten da.

Estatistika-paketeetan koantilak kalkulatzeko bestelako aukerak ere eskaintzen dira, ${\displaystyle m\,}$ balio ezberdinetarako. Ondoren, R estatistika paketeetan eskaintzen diren aukerak zehazten dira:

Arestiko metodoarekin bat ez datozen formulak ere erabiltzen dira:

• np baliotik gertuen dagoen zenbaki osoari dagokion datua kalkulatzen da; adibidez, 30. pertzentila kalkulatu behar bada 6 datuetan, 6×0.3=1.8 emaitza lortzen da eta beraz, gertuen dagoen zenbaki osoa 2 izanik, 30. pertzentila 2. datua izango da, datuak txikienetik handienera ordenaturik betiere; R paketeko 3. aukera da kantilak kalkulatzeko;
• ${\displaystyle \lceil np+1/2\rceil \,}$ balioari dagokion datua kalkulatzen da. Adibidez, 20. pertzentila kalkulatu behar bada 6 datuetan, 6×0.2=1.2 emaitza lortzen da eta beraz, sabai-funtzioa erabiliz, 30. pertzentila 2. datua izango da; R paketeko 1. aukera da koantilak kalkulatzeko;
• ${\displaystyle \lceil np+1/2\rceil \,}$ eta ${\displaystyle \lfloor np+1/2\rfloor ,}$balioei dagozkien datuen batez bestekoa kalkulatzen da. Adibidez, 20. pertzentila kalkulatu behar bada 6 datuetan, 6×0.2=1.2 emaitza lortzen da eta beraz, 30. pertzentila 1. eta 2. datuen batez besteko aritmetiko sinplea da; R paketeko 2. aukera da.

Kalkulua tartetan bilduriko datuetarako

Datuak tartetan bildurik daudenean, ez da ezagutzen datu bakoitzaren balio zehatza eta beraz, kuantilak zenbatesteko tarte barneko hurbilketa bat egin behar da interpolazio linealez. Adibidez, herri bateko biztanleen adinari buruzko datuak bilduta, ${\displaystyle {\hat {Q}}(0.3)=P_{30}}$ balioa kalkulatu behar bada:

Biztanleen adinak	Biztanleak	Maiztasun metatuak
0-20	9	9
20-40	18	27
40-60	26	53
60-80	7	60
80-100	4	64

Lehenengo pausoa np kalkulatzea da. Kasu honetan: np=64×0.3=19.2. Beraz, 30. pertzentila 19.2garren datua litzateke, 20-40 tartean kokatzen dena, maiztasun metatuetan egiazta daitekeenez. 19.2garren datuaren balio hurbildua hiruko erregela sinple batez kalkulatzen da:

Kuantilen kalkulua datuak tartetan bilduta daudenean, interpolazio linealez egiten da. Irudian bigarren kuartila, %50ekoa maiztasunarekin, 20 da, 20tik behera probabilitatearen %50a dagoelako. Ikusten denez, horretarako maiztasun metatuen poligonoa marraztu behar da, histograma oinarritzat harturik, eta gero zutabeetako izkinak lotu, irudian agertzen den poligono osoa eratu arte. Gero, ardatz bertikalean, probabilitatearen ardatzean alegia, %50 artu, bigarren kuartileko probabilitatea, eta gero x ardatzera aldatu behar da, eta hor ikusiko da bigarren kuartil hori 20 dela. Datuak banaka ematen direnean, gorago agertzen den formula garatu behar da, metodo hau bakarrik tartekako maiztasun banaketa baterako erabiltzen delako.

Horrela, biztanleen %30ak 31.33 urtetik beherakoa dela zenbatesten da. Emaitza hau hurbilketa bat dela nabarmendu behar da. Emaitza zehatza izateko jatorrizko datuetara jo behar da.

• Kuantilak
• Pertzentilak zer diren ulertzeko bideoa.
• Mediana eta kuartilak kalkulatzeko ariketa.

Kuantilen kontzeptua 1879. urtean sortu bazen ere, kuartilak lehenengo aldiz erabili zirenean, 1940. urtean agertu zen terminoa lehen aldiz Maurice Kendall estatistikariaren eskutik, berak idatziriko "Note on the Distribution of Quantiles for Large Samples" artikuluan.