Khi-karratu estatistiko

Kontingentzia taulak aztertzen direnean, khi-karratu estatistikoa bi aldagairen artean independentzia dagoen erabakitzeko erabiltzen da, independentziarako khi-karratu frogaren bitartez. Asoziazio neurriak eratzeko ere erabiltzen da.

${\displaystyle \mathrm {X} ^{2}=\sum _{i}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}}$,

non ${\displaystyle O_{i}}$ behatutako maiztasunak edo maiztasun enpirikoak eta ${\displaystyle E_{i}}$ itxarondako maiztasunak edo maiztasun teorikoak diren.

${\displaystyle O_{i}}$ maiztasun enpirikoak gelaxka ezberdinetako maiztasunak absolutuak dira, guztirako eta bazter maiztasunak ezik.

${\displaystyle E_{i}}$ maiztasun teorikoak bi aldagaien artean erabateko independentzia balitz, izango liratekeen maiztasun absolutuak dira. Honela kalkulatzen dira gelaxka bakoitzeko: gelaxkari dagozkion bi bazter maiztasunak, bere zutabeko eta errenkadako baturak alegia, biderkatu eta guztirako datu kopuruaz zatitu egiten da.

Khi-karratu kalkulatzeko, nahikoa da taulako gelaxka guztietarako, ${\displaystyle {\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}}$ kalkulatu eta emaitzen batuketa kalkulatzea. Khi-karratu estatistikoa zenbat eta handiagoa, orduan eta handiagoa izango da bi aldagaien arteko dependentzia, maiztasun teoriko eta enprikoen arteko aldea orduan eta handiagoa izango baita.

Adibidez, ikasle batzuen gainean sexua eta azterketa bat gainditu duten jaso da. Kontingentzia taula honetan azaltzen dira datuak bildurik:

Aurreko maiztasunak maiztasun enpirikoak edo behatutako maiztasunak dira. Jarraian, maiztasun teorikoak edo itxarondako maiztasunak nola kalkulatzen diren azaltzen da:

	gainditu	ez gainditu	GUZTIZKO
gizon	${\displaystyle {\frac {72\times 87}{130}}=48.18}$	${\displaystyle {\frac {72\times 43}{130}}=23.82}$	72
emakume	${\displaystyle {\frac {58\times 87}{130}}=38.82}$	${\displaystyle {\frac {58\times 43}{130}}=19.18}$	58
GUZTIZKO	87	43	130

Ondoren, gelaska bakoitzeko ${\displaystyle {\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}}$ kalkulatu behar da:

	gainditu	ez gainditu
gizon	${\displaystyle {\frac {(43-48.18)^{2}}{48.18}}=0.56}$	${\displaystyle {\frac {(29-23.82)^{2}}{23.82}}=1.13}$
emakume	${\displaystyle {\frac {(44-38.82)^{2}}{38.82}}=0.69}$	${\displaystyle {\frac {(14-19.18)^{2}}{19.18}}=1.40}$

Gelaska hauetako zenbatekoen batura izango khi-karratu estatistikoa:

${\displaystyle \mathrm {X} ^{2}=0.56+1.13+0.69+1.40=3.78}$

2x2 tauletarako adierazpen berezia badago khi-karratu estatistikorako:

${\displaystyle \mathrm {X} ^{2}={\frac {(ad-bc)^{2}(a+b+c+d)}{(a+d)(c+d)(b+d)(a+c)}}}$,

Khi-karratu zenbat eta handiagoa (hau maiztasun teorikoak eta enpirikoak oso ezberdinak direnean izango da) aldagaiak independenteak izateko aukerak orduan eta txikiagoak izango dira. Khi-karratu estatistikoaren balioa independentzia ukatzeko aski handia edo adierazgarria den erabakitzeko, independentziarako khi-karratu froga burutu beharko da.

Egokitzapenaren doitasuna aztertzeko ere erabil daiteke khi-karratu estatistikoa, egokitzapenaren doitasunerako khi-karratu frogaren bitartez, zorizko eredu estatistiko bat edo probabilitate-banaketa bat jasotako datuetara egokitzen den erabakitzeko. Kasu honetan, khi-karratu modu berean kalkulatzen da:

${\displaystyle \mathrm {X} ^{2}=\sum _{i}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}}$,

baina oraingo honetan, maiztasun teorikoak probabilitate banaketak balio bakoitzari esleitzen dion probabilitateei dagokien maiztasunak dira. Adibidez, eredu batek 2 balioari 0.3 probabilitatea ezarri badio eta guztira 100 datu jaso dira, maiztasun teorikoa 100×0.3=30 litzateke datuak eredura erabat egokitzen badira. Maiztasun enpirikoa, kasu honetan, 2 datua zenbat aldiz agertzen litzateke. Aldagai batek balio ezberdin asko hartzen dituenean, aldagai jarraituen kasuan alegia, datuak tartetan biltzen dira kalkulurako.

Adibidez, dado bat botatzean lortutako puntuek dadoa orekatua den erakusten den erabaki nahian, dadoa 60 aldiz jaurti eta egokitzapenaren doitasunerako khi-karratu froga garatzean honela kalkulatuko litzateke khi-karratu estatistikoa:

Puntuak	Probabilitatea: pi	Aldi kopurua: Oi	Maiztasun teorikoak: Ei	(Oi-Ei)2/Ei
1	1/6	14	(1/6)×60=10	1.6
2	1/6	8	(1/6)×60=10	0.4
3	1/6	5	(1/6)×60=10	2.5
4	1/6	11	(1/6)×60=10	0.1
5	1/6	7	(1/6)×60=10	0.9
6	1/6	15	(1/6)×60=10	2.5

${\displaystyle \mathrm {X} ^{2}=\sum _{i}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}=1.6+0.4+2.5+0.1+0.9+2.5=8}$

2x2 kontingentzia taula baterako gomendatzen den zuzenketa da, khi-karratu estatistikoa kalkulatzerakoan, gelaxkaren baten maiztasun teorikoa 5etik beherakoa denean:

${\displaystyle \mathrm {X} _{\mathrm {Yates} }^{2}=\sum _{i=1}^{N}{(|O_{i}-E_{i}|-0.5)^{2} \over E_{i}}}$

Iturri batzuk gelaxkaren baten maiztasun teorikoa 10 baino txikiagoa denean erabili behar dela diote eta beste batzuk beti erabili behar dela. Dena den, gelaxketako maiztasunak handiak direnean, bere efektua oso txikia da.

Zuzenketa hau Frank Yates estatistikari ingelesak proposatu zuen 1934. urtean.

• Khi-karratu froga