Joko-teoria

Joko hitzak adiera zabalean gatazka jakin bat adierazten duen arren, joko-teorian aztertutako jokoak ondo definitutako objektu matematikoak dira. Hainbat jokalari edo taldek parte hartzen dute. Jokaldi edo mugimenduak, batzuetan, jokalariak berak erabakitzen ditu, eta beste batzuetan halabeharrak (dadoak, erruletak eta abar). Azken jokaldi-mota horien probabilitatea kalkula daiteke. Irabazia hitzak jokalari baten azken emaitza esan nahi du. Zenbait egoeratan irabazle edo galtzaile suertatzea besterik ez da (xake jokoan, adibidez), baina beste batzuetan diru-kopuru bat emaitza hori (pokerrean, adibidez). Jokoak osagai hauek ditu: jokalariak, jokalari horiek erabil ditzaketen mugimenduak (edo estrategiak), eta estrategia-konbinazio bakoitzerako emaitzen zehaztapena. Jokoa nolakoa den, jokalariak, estrategiak eta emaitzak era jakin batean irudikatu beharko da. Horrela, jokoen irudikapena egitean ageri den desberdintasunik nabarienetako bat forma normalaren eta hedatuaren artekoa da.

Forma hedatua

Joko bat, forma hedatuan

Joko bat bere forma hedatuan dagoela esaten da une oro jokaldi-aukera guztiak ezartzen dituen arau-multzo batek definitzen badu, baita ere zein jokalariri dagokion txanda, aukera bakoitzaren probabilitatea eta azken emaitzen multzoa, irabazi edo emaitza jakin bat jokoa amaitzeko dauden moduetako bakoitzarekin lotzen duena. Gainera, jakintzat ematen da jokalari bakoitzak lehentasun batzuk dituela jokaldi bakoitzerako, balizko emaitzak aurreikusteko, ahalik eta irabazi handienak edo galera txikienak lortzeko.

Jokalariek beste jokalariek egindako aukerei buruzko informazioren bat baldin badute, jokoa forma hedatuan irudikatu ohi da.

Adibidez, eskuineko irudian, lehendabizi jokatzen duen jokalariak bi erabaki ditu aukeran, F ala U, eta, erabakia hartuta, bigarren jokalariaren txanda da. Bigarren jokalariak, A eta R bi erabakietatik bat aukeratu behar du. Bi jokalarien estrategia-konbinazioa zein den, jokalarientzat emaitza ezberdinak dira. Esaterako, 1. jokalariak F eta, ondoren, 2. jokalariak A erabakitzen badute, bi jokalariek 5na irabazten dute (5,5).

Jokalari kopuruaren eta jokoaren baldintzen arabera, mota asko dago.

• Bakarkako jokoetan berez ez dago gatazkarik; jokalariaren interesa besterik ez dago. Halabeharrak kartak nahasi eta banatzeak bakarrik eragiten du. Probabilitateen ikuspegitik interesgarriak izan daitezkeen arren, jokoen teoriarentzat ez dute inolako interesik, aurre egiteko erabaki estrategikoak hartuko dituen aurkaririk ez dagoelako.

• Bi jokalariren arteko jokoak dira ezagunenak, eta sakon aztertu izan dira; xakea eta damak, edo bikoteka jokatzeko bridgea eta dominoa, adibidez. Bi jokalariren jokoen teoria emaitzak n jokalaritara hedatzeko zailtasunik handiena jokalarien arteko erlazioak aurrez ikustean datza, koalizio, lankidetza eta elkar aditzeak gertatzen baitira.

• Zero baturako joko deitzen zaio jokoari baldin eta bukatzean jokalari guztien irabaziak batuta emaitza zero bada; hau da, irabazien kopurua eta galerena bera denean. Ekonomiaren alorrean, joko ekonomikoan zehar ondasunak deuseztatu edo ondasunik ekoizten ez dituztenak dira. 1944an John von Neumannek eta Oskar Morgensternek frogatu zutenez, n jokalari eta zero batura dituen edozein joko bihur daiteke n + 1 jokalari eta zero batura duen joko. Gainera, azken horiek orokortu egin daitezke, bi jokalari eta batura baliogabea duten kasuetatik abiaturik. Horregatik, horiek dira jokoen teoria matematikoaren aztergai nagusiak. Teoremarik garrantzitsuenetako bat minimax izenekoa da, eta hark dioenez, bi jokalari eta batura zero duten joko guztietan betetzen dira maximo-minimo estrategien (desabantaila gehien dituen jokalariaren alde egitean dautzan estrategiak) alderdi desberdinak. Teorema hori von Neumannek frogatu zuen 1928an.
  Zero baturako jokoetan, jokalarien interesak elkarren aurkakoak dira. Oreka-puntu batera hel daiteke, non jokalariek aukeratutako estrategia aldatuta galtzea besterik ez dezaketen espero.

• Lankidetza-jokoetan jokalarien interesak ez dira guztiz aurkakoak, eta lankidetza jokalarientzat komenigarria izan daiteke.

• Simetrikoak jokalari guztien irabaziak eta euren galerak berdinak direnean.

• Asimetrikoak irabaziak eta galerak jokalari bakoitzaren araberakoa denean.

• Nashen oreka: John Nash matematikariak 1951-an sortutako kontzeptua da. Jokoan parte hartzen dutenen estrategiak kontuan izanda, jokalari bakoitzak bere estrategia erabakitzen du. Haientzat estrategia hoberena hautatzen dutenez, ez dauka zentzurik hau aldatzea, besteek eurena aldatu ezean. Teoria hau arduratzen da jokalari guztien irabaziak maximoak izateaz, horregatik, jokalari bakoitzaren irabaziak ez dira beti hoberenak.

Nashen oreka matematikoki adierazten da hurrengo eran:

- A eta B jokoan parte hartzen duten jokalariak dira.

-${\displaystyle (a^{*},b^{*})}$ jokalariek bi estrategia hautatuko dituzte.

- ${\displaystyle U{\scriptstyle {\text{i}}}}$ bakoitzaren irabaziak dira.

- ${\displaystyle S{\scriptstyle {\text{i}}}}$ jokalari bakoitzaren estrategia ezberdinen multzoa da.

A-k hautatuko estrategia hoberena a* da B-k bere estrategia, b*, aukeratzean; eta berdina alderantziz, B-k b* estrategia hoberena hautatzen du, A-k a* aukeratzekoan. Horrela, Nashen oreka betetzen da kasu honetan:

${\displaystyle U{\scriptstyle {\text{a}}}(a^{*},b^{*})\geq U{\scriptstyle {\text{a}}}(a',b^{*}),\forall a'\subset S{\scriptstyle {\text{a}}}}$

${\displaystyle U{\scriptstyle {\text{b}}}(a^{*},b^{*})\geq U{\scriptstyle {\text{b}}}(a^{*},b'),\forall b'\subset S{\scriptstyle {\text{b}}}}$

Nashen orekak garrantzi handia izan du, izan ere, gaur egungo esparru askotan aplikatu daiteke. Horren artean, ekonomia garrantzitsuenetariko bat da. Horrela, Nashek 1944-ean Ekonomiako Nobel saria irabazi zuen.

John von Neumannek eta Oskar Morgensternek frogatu zuten jokoen teoria ekonomiaren jokaera aztertzeko baliagarria zela. Ereduak eraiki daitezke, aztergai dagoen ekonomiaren ezaugarriak dituzten finantza-merkatuak adierazten dituztenak, eta haiek aztertu. Jokoen teoria hori bereziki baliagarria da mozkin gehiago irabaztearen eta ondasun eta zerbitzuen banaketa handitzearen arteko interes gatazkak aztertzeko. Jabegoen eta herentzien banaketa zuzenak egiteko modua da azter daitekeen beste gatazka bat. Lege-bideratzeetan boterea nola banatu eta beste zenbait arazo aztertzeko ere erabiltzen dira gizarte-zientzietan n jokalariren jokoak. Gehiengoa duten gobernuen arazoak ere azter daitezke. Soziologoek jokoen teoriaren adar bat garatu dute, taldean erabakiak hartzean sortzen diren arazoak aztertzeko. Epidemiologian, immunizazioak eta txertoen eta beste sendagai batzuen probak egiteko erabiltzen dituzte. Estratega militarrek interes-gatazkak aztertzeko baliatzen dituzte, nahiz eta joera hori arriskutsutzat hartua eta kritikatua izan den, oso arazo korapilatsuak direnak sinplifikatzen direlako.