Isomorfismo

Formalki, isomorfismo bat homomorfismo bijektibo gisa defini daiteke, haren alderantzizkoa ere homomorfismoa baldin bada.[1] Hau da:[2]

${\displaystyle (P,\leq )}$ eta ${\displaystyle (Q,\leq ')}$ bi multzo ordenatuen arteko isomorfismoa ${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}h:P\to Q\\\end{array}}}$ funtzio bijektibo bat da, non betetzen baita
${\displaystyle p_{1},p_{2}\in P}$ guztierako, ${\displaystyle p_{1}\leq p_{2}}$ baldin eta soilik baldin ${\displaystyle h(p_{1})\leq 'h(p_{2})}$.

${\displaystyle (P,\leq )}$ eta ${\displaystyle (Q,\leq ')}$ egituren artean isomorfismo bat baldin badago, isomorfo esaten zaie, eta h bijekzioari, berriz, ${\displaystyle (P,\leq )}$ eta ${\displaystyle (Q,\leq ')}$ egituren arteko isomorfismo esaten zaio.

Gainera, ${\displaystyle P}$ eta ${\displaystyle Q}$ elkarren antzekoak direla esaten da.[2]

${\displaystyle P=Q}$ bada, esaten da isomorfismoa automorfismoa dela. Frogatu daiteke, ondo ordenatutako multzo bat emanda, automorfismo posible bakarra identitate funtzioa dela.

Linealki ordenatutako multzoen arteko isomorfismoek baliokidetasun-erlazio bat dute, hau da, erlazio erreflexiboa, simetrikoa eta iragankorra da, hau da:

Izan bitez ${\displaystyle (A,\leq )}$, ${\displaystyle (B,\leq ')}$ eta ${\displaystyle (C,\leq '')}$ linealki ordenatutako multzoak:

• ${\displaystyle (A,\leq )}$ isomorfoa da bere buruarekin
• Baldin ${\displaystyle (A,\leq )}$ isomorfoa bada ${\displaystyle (B,\leq ')}$-rekin, ${\displaystyle (B,\leq ')}$ isomorfoa da ${\displaystyle (A,\leq )}$-rekin.
• Baldin ${\displaystyle (A,\leq )}$ isomorfoa bada ${\displaystyle (B,\leq ')}$-rekin, eta gainera ${\displaystyle (B,\leq ')}$ isomorfoa bada ${\displaystyle (C,\leq '')}$-rekin, ${\displaystyle (A,\leq )}$ isomorfoa da ${\displaystyle (C,\leq '')}$-rekin.

XX. mendean, matematikan, egituraren nozio intuitiboa zehaztu zen, Aristotelesek materiaz eta formaz duen ikuskerari jarraituz. Horren arabera, egitura bakoitza X multzo bat da, zenbait eragiketaz (batuketa edo biderketa, esaterako) edo zenbait erlazioz (ordena-erlazio bat, adibidez) edo zenbait azpimultzoz (topologiaren kasuan bezala), etab. hornitua. Kasu horretan, X multzoa materia da, eta hartan definitutako eragiketak, erlazioak eta abar forma dira.

Platonek esaten zuen forma dela axola duena, eta hori da matematikan isomorfismo kontzeptuarekin jasotzen da. f : X → Y aplikazio bat egitura mota bereko bi multzoren artean isomorfismo bat da, baldin eta Y-ren elementu bakoitza X-ren elementu bakar batetik badator, eta f funtzioak X-n dauden eragiketak, erlazioak eta abar Y-n daudenetan eraldatzen baditu. Bi egituren artean isomorfismo bat dagoenean, biak bereizezinak dira, propietate berak dituzte, eta edozein enuntziatu aldi berean egia edo faltsua da bietan. Horregatik, matematikan, egiturak isomorfismoak izan ezik sailkatu behar dira.

XX. mendean, Austriako Ludwig von Bertalanffy biologo eta filosofoak kontzeptu hori berreskuratu zuen Sistemen Teoria Orokorra formulatzeko elementu gisa. Autore horrentzat, zenbait kointzidentzia zeuden ezagutzaren hainbat arlotan (biologia, demografia, fisika, gizartea, etab.) egiten diren prozesuen bilakaeran eta isomorfismo deitu zituen. Garrantzitsua zen teoria berria planteatzerakoan; izan ere, «hainbat eremuren artean aurkitutako isomorfismoa sistemen printzipio orokorretan oinarritzen da, sistemen teoria orokor batean, gutxi gorabehera ongi garatuan».

Honela definitzen da:

${\displaystyle (P,\leq )}$ eta ${\displaystyle (Q,\leq ')}$ bi multzo ordenatuen arteko isomorfismo partzial bat ${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}h:X\to Q\\\end{array}}}$ funtzio bijektibo bat da, ${\displaystyle X\subseteq P}$ izanik, non ${\displaystyle p_{1},p_{2}\in X}$ guztietarako, ${\displaystyle p_{1}\leq p_{2}}$ baita baldin eta soilik baldin ${\displaystyle h(p_{1})\leq 'h(p_{2})}$ bada.

Adibidez, X biderkadurarekin lotutako zenbaki erreal positiboen multzoa bada eta Y zenbaki errealen multzoa batuketarekin lotuta, ln : X → Y funtzio logaritmikoa isomorfismoa da, zenbaki erreal bakoitza zenbaki erreal positibo bakar baten logaritmoa baita eta ${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)}$ baita. Horrek esan nahi du zenbaki erreal positiboen biderkaduraren gaineko enuntziatu bakoitzak enuntziatu baliokide bat duela (zenbaki bakoitza bere logaritmoaz ordezkatu besterik ez da egin behar) zenbaki errealen baturaren terminoetan, eta enuntziatu hori sinpleagoa izaten da.

Beste adibide bat: E espazioan luzera-unitate bat eta puntu batean elkartzen diren hiru ardatz perpendikular aukeratzen baditugu, espazioko puntu bakoitzari bere hiru koordenatu kartesiarrak lot diezazkiokegu, eta, hala, f : E → R³ aplikazioa lortuko dugu hiru zenbaki errealen hirukoteen multzoan. E multzoan ezarritako luzera-unitateak definitzen duen distantzia eta R³ multzoan diferentzien karratuen baturaren erro karratuak definitzen duen distantzia kontuan hartzen baditugu, f isomorfismoa da. Descartesen funtsezko aurkikuntza horri esker, espazioaren geometriaren edozein arazo enuntziatzen da hiru zenbaki errealen hirukoteen funtzioan, eta problema geometrikoei ekiteko metodo hori geometria analitikoaren nukleoa da.

Bi egituren arteko isomorfismo bat aurkitzeak esan nahi du, funtsean, egitura bakoitzaren azterketa bestearen azterketara murritz daitekeela, eta horrek bi ikuspuntu desberdin ematen dizkigu gai bakoitzari buruz, eta funtsezkoa izaten da behar bezala ulertzeko. Analogia bat ere bada, inferentzia logikoaren forma gisa, zenbait alderditan bi gauza berdinak direla onartzean oinarritua, konparazioa egin den alderditan hain zuzen. Gizarte-zientzietan, isomorfismoa antzeko lege bat aplikatzean datza, berariazko legerik ez dagoelako, edo sistema biologiko bat gizarte-sistema batekin alderatzean, "sistema" hitza definitu behar denean. Berdin gertatzen da tribu-egitura bat imitatzen edo kopiatzen denean hiri-egitura duen habitat batean.

Egitura baten bere buruarekiko isomorfismoei automorfismo deritze.[3]

Oro har, kategoria arbitrario batean, isomorfismoak alderantzizko h : Y → X morfismoa onartzen duten f : X → Y morfismoak dira, alderantzizkoa bai eskuinetik bai ezkerretik. Baliteke morfismoak bijektiboak ez izatea, espazio topologikoen kasuan bezala.