Isaac Newton

Hemezortzi urterekin Cambridgeko unibertsitatean sartzea lortu zuen bere ikasketak jarraitzeko. Hala ere, ez zen beti klasera joaten, bere pasioa eta interesa liburutegia zelako. Trinity College-an graduatu zen, bereziki autodidakta izanez. Hori lortzeko garai hartako Matematikako eta Filosofiako liburuak irakurtzen zituen. 1663an Clavis mathematicae (William Oughtred), Geometría (Descartes), Astronomiae Pars Optica (Kepler), Opera mathematica (Viète), eta Aritmetica (John Wallis) liburuak irakurri zituen; irakurketa hauengatik baliatu zen bere ikerketak jarraitzeko, adibidez, serie infinituak, binomioaren teorema eta zenbait koadratura.

1663. urtean Isaac Barrow ezagutu zuen eta bere matematikako irakaslea izan zen. Garai horretan Galileo, Fermat, Huygens, Descartes eta beste batzuen lanak berregiten hasi zen. Azkar Barrow aurreratu zuen, eta azkenean Barrow Newtoni laguntza eskatzen zion matematikako problemekin laguntzeko.

Urte haietan, geometria eta optika paper garrantzitsu bat zuten Isaac-en bizitzan. Ildo beran, bere fama handitu zen Royal Society-arekin harremanak hasi zituelako. Berak bere asmakizunak eta teleskopio bat bidali zien eta taldekideetan grina hasi zen bere lanarekin, baina baita batzuen inbidia hasi zen, Robert Hooke adibidez. Hori izan zen hasiera beste zientzialarien kontrako gatazkak. Beti esan da jarrera agresiboa zuela besteen kontra. Royal Society-eko buru bezala, diktadore krudel eta mendekari bat izan zen.

Mekanika eta grabitateari buruzko lanak hasi baino lehen, Hooke-en gutun bat jaso zuen non honek idazten zion bere ideia intuitiboak grabitateari buruzkoak. Newton problemari erantzun bat aurkitu zion, Robert Hooke lortu ez zuena. Erantzun guzti horiek esaten den munduko libururik honenean idatzi zuen: “Philosophiae naturalis principia mathematica”.

1693. urtean krisialdi psikiko bat izan zuen, sortuta isolamendu urteengatik. Denbora horretan ez zuen ezta jaten edo lo egiten. Depresio eta paranoia izan zuen. Gutunen bidez bere lagun batekin hitz egiten zuen, John Lockerekin. Berari aipatzen zion nola zegoen, eta batzuetan egin ez zuen gauzengatik errudun sentitzen zen. Historialari batzuek esaten zuten krisialdi hori sortu zela erlazioa izaten bukatu zuen bere ikasle batekin, Nicolás Fatio de Duillier. Beste batzuek esaten zuen bere gaixotasunak Merkurioa sortu zuela, alkimiako esperimentuen ondorioz.

Trinity College, Cambridge

Beste interes batzuk, alkimia eta erlijioa ziren. Gainera, gai hauetako idazmenak askoz gehiago ziren zientziari buruzkoak baino. Erlijioko idazlanak gatazka handiak sortu zizkion Trinity College-rekin. Izan ere, unibertsitatearen kontrako idazlanak egin zituen eta unibertsitateko kidea zen.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ zenbaki integrala egiteko, Newton-Cotes formulak erabiliz, [a,b] tartea zatitu behar da n tarte berdinetan. Horrela n+1 puntuak lortuko dira non funtzio hau ebaluatzen da:

${\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}\leq b}$

a=x₀ eta b=x_n Newton-Cotes-eko formula itxiak dira, tarteen muturrak integralean daudelako, bain aez baldin badira kontuan hartzen, Newton-Cotes-eko formula irekiak izango dira. Kalkulatzeko, hurrengo funtzioa erabiliko dugu:

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})L_{in}(x)}$

non:

${\displaystyle L_{in}(x)={\frac {(x-x_{0})\cdots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots (x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})\cdots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots (x_{i}-x_{n})}}}$

Langrage-ren polinomioa da non esan dezakegu

${\displaystyle \int _{a}^{b}p(x)dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}f(x_{i}){\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}L_{in}(x)dx.}$

Eta funtzio hau forma honekin adierazten da:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}p(x)dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})}$

Non w_i pisuak honekin definituak daude:

${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}L_{in}(x)dx}$

Hauek Newton-Cotes-en formula itxi batzuk dira:

f_i notazioa, f(x_i)-ren laburpen bat da, non:

${\displaystyle \displaystyle x_{i}=a+i\times h}$

${\displaystyle \displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$

Eta n maila izango da.

Trapezioaren erregelarekin funtzio baten integrala lortu nahi da lehen mailako polinomio batekin, hau da, aztertu nahi den funtzioaren puntu guztiak zuzen baten bidez lotuz.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})}$

Eta hau, errorea da:

${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}$

Non ${\displaystyle \xi }$ a eta b arteko zenbaki bat da.

Simpsonen erregela (Thomas Simpson-ek izendatu zuena) funtzio baten inguruko integral bat aurkitzen du bigarren edo hirugarren mailako polinomio bat erabiliz. link=https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Integration_simpson.svg|eskuinera|Simpson-en erregelaren irudikapena

Simpsonen erregela hau erabiltzen du ondoz ondoko hiru puntu non bigarren mailako polinomio bat erabiliz funtzio bat aztertzen du.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}$

Eta errorea hau da:

${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(4)}(\xi ),}$

Non ${\displaystyle \xi }$ a eta b arteko zenbaki bat da.

Erregela hau erabiltzen ditu ondoz ondoko lau puntu non hirugarren mailako polinomio batekin funtzioa aztertuko du.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}$

Eta errorea hau da:

${\displaystyle -{\frac {3(b-a)^{5}}{80}}f^{(4)}(\xi ),}$

Non ${\displaystyle \xi }$ a eta b arteko zenbaki bat da.

Boole-ren erregela (George Boole sortu zuena) ondoz ondoko bost puntu erabiltzen ditu, bata bestearen artean distantzia berdina dutena, funtzio baten inguruko integral bat erabiltzen duena laugarren mailako polinomio bat erabiliz.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}$

Eta errorea hau da:

${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{7}}{1935360}}\,f^{(6)}(\xi )}$

Non ${\displaystyle \xi }$ a eta b arteko zenbaki bat da.

Erregela hau ondoz ondoko sei puntu distantziakide erabiltzen ditu funtzio baten integrala kalkulatzen du bosgarren mailako polinomio bat erabiliz.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {5h}{288}}(19f_{0}+75f_{1}+50f_{2}+50f_{3}+75f_{4}+19f_{5})}$

Erregela hau ondoz ondoko zazpi puntu distantziakide erabiltzen ditu funtzio baten integrala kalkulatzen du seigarren mailako polinomio bat erabiliz.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {h}{140}}(41f_{0}+216f_{1}+27f_{2}+272f_{3}+27f_{4}+216f_{5}+41f_{6})}$

Hauek dira Newton-Cotes-en formula ireki batzuk:

Sistema hau funtzioa laukizuzenetan zatitu du eta puntu erdiko balorearen altuera berdina izan behar du. Horrela, inguruko integral bat kalkulatuko da zero mailako polinomio baten bidez.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)}$

Eta errorea hau da:

${\displaystyle {\frac {(b-a)^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )}$

Non ${\displaystyle \xi }$ a eta b arteko zenbaki bat da.

Newton-Cotes-en formulen zehaztasuna handiagoa izango da, zatitu duzun funtzioa tarte gehiagorekin kalkulatzen badituzu, hau da, tarte txikiagoetan zatitzen baduzu. [a,b] tartea orokorrean handiagoa izango da, horrela tarte hauek txikiagotzen ditugu Newton-Cotes-en formulak erabiliz. Erregela hauek erregela konposatuak dira.

Hau, erregela konposatuaren eredu bat da.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim {\frac {b-a}{n}}\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right)}$

Non ${\displaystyle \displaystyle x_{i}=a+i\times h}$ azpitarteak dira

${\displaystyle \ x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}}$ eta${\displaystyle \ a=x_{0},\;x_{n}=b}$

${\displaystyle \ h={\frac {b-a}{n}}}$ azpitarteen arteko distantzia da.

Grabitazio unibertsalaren legea 1685. urtean bukatu zuen, aurretik hasitako ikasketa eta lanen ondorioz. 1551. urtean Domingo de Soto, zientzialari espainiarra, lehenengoa izan zen esaten gorputz batek erorketa askean azelerazio konstante bat izaten zuela. Lehenengo erreferentzia idatzia Robert Hooke-ek idatzi zuen 1666. urtean, Micrographia liburuan. 13 urte geroago, Newtonek erlazionatu zuen probleman ibilbide kurbo batean neurtzekotan. Robertek Royal Society-ko idazkariaren postua lortzean, filosofiari buruzko karten bidez hitz egiten hasi zen Newtonekin, non lehenengo bietan Newtonen intereseko bi gai aztertu zituen. Momentuz, garai hori baino lehen, Descartes eta Huygens izan ziren bakarrak kurbadun mugimendua indar zentrifugoaren bidez hitz egiten filosofo eta zientzialari bakarrak; baina Hooke, modu berri bat proposatu zuen hori kalkulatzeko, tangentearen bidez. Proposamen horretan eguzkia, tangentea eta indar zentripetua erlazionatzen du; hala ere, Isaac Newton ez zuen inoiz entzun horrelako hipotesirik.

Beste gutun batean Hooker-ek esaten du: “Orain lerro kurba bateko propietateak entzun behar ditugu, distantzia guztiei alderantzizko proportzio koadratikoa neurtuz”. Beste moduan esanda, jakin nahi zuen zein da objektu baten kurba erresultantea aplikatu zaion alderantzizko indarra distantziarekiko karratua. Azkeneko esaldia izan zen: “Argi daukat zure ebazpen ikaragarriarekin aurki dezakezu zein izan behar den kurba hori”.

1684an, Newtonek Edmun Halley-ri jakinarazi zion indarraren problemari erantzun bat aurkitu ziola. Newtonek De Motu tratatuan idatzi zituen kalkulu horiek eta Philosophiae naturalis principia mathematica liburuan ederki zabaldu eta azaldu zituen teoria, kalkulu eta metodo guztiak. Hori hobe egiteko, Kepler-ren legeak erabili zituen, zein oso gutxi erabiliak zeuden garai horretako zientzialarietatik.

Hori dela eta, esan dezakegu grabitazio unibertsalaren legea ez dela bakarrik eguzkiraino doan indar batean. Planeten efektu bat eguzkiarekiko eta Unibertsoko objektu guztietara doala ere. Efektu hori dinamikaren hirugarren legean azalduta dago; kasu horretan, objektu bat bigarren objektu bat erakartzen badu, bigarrenak ere lehenengoa erakartzen du indar berdinarekin.

Beste ondorioztapen bat izan zen, planeten mugimendua ezin izan zela erregularra. Esan zuen: “planetak ez dira elipseetan zehazki mugitzen, ezta ezin dute biratu bi alditan orbita berdinera.” Teoria hauengatik zailagoa egiten zuten bere sinesmen erlijiosoak aurrera eramatea, indar dibinoa deuseztatzen zutelako.

Newtonen lehen legeari inertziaren legea ere baderitzo. Esperientziak esaten digunez, geldiunean dagoen objektua higiduran jartzeko, indarren bat aplikatu behar diogu, eta, halaber, objektua abiadura konstantean higitzen bada, indarra aplikatu behar zaio geldiarazteko.

Inertzia da gorputz orok geldiunean irauteko edo higidura zuzen uniformea mantentzeko duen joera.

Gorputz ororen geldiuneko egoerak edo higidura zuzen uniformeak bere horretan dirau gorputzaren gainean indar garbirik edo erresultanterik ez dagoen bitartean.

Ez dago egiterik lege horren egiaztapen esperimental zuzenik, postulatutzat enuntziatua izan delako. Lege hori da behaketaren eta esperientziaren abstrakzioa eginez lortutako idealizazioa. Kontua da ez dela existitzen gorputz errealik besteen eraginik edo ingurunearen eraginik ez daukanik. Esaterako, HZUan dagoen gorputzak ezin du bere horretan jarraitu baldin eta ez badago higidurari aurre egiten dioten marruskadura-indarrak konpentsatzeko beste indarrik.

Lege honi, halaber, dinamikaren oinarrizko legea deritzo, eta deskribatzen du gorputz bati zer gertatzen zaion indar garbi batek eragiten dionean. Ulertzeko, magnitude fisiko berri bat erabili behar da: momentu lineala.

Gorputz baten masa eta ―geldiarazteko zailtasunaren maila, beraz― aintzakotzat hartzen duen magnitude fisikoari momentu lineal edo higidura kantitate deritzo:

Gorputz baten momentu lineala magnitude bektoriala da. Gorputzaren masarekiko eta abiadurarekiko zuzenki proportzionala da.

Definizio horren arabera, m masako eta ${\displaystyle {\vec {v}}}$ abiaduran higitzen den gorputzaren momentu lineala honela kalkulatzen da: ${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$.

Momentu linealaren eta abiaduraren norabideak eta noranzkoak berdinak dira: higidurarekiko ukitzaile. Momentu linealaren unitateak ${\displaystyle kg\cdot m\cdot s}$^-1 dira, SIn.

Enuntziatuaren arabera, m masako gorputzari eragiten dion indarrak gorputzaren momentu linealaren aldaketa eragingo du, denborarekiko.

Edozein gorputzi eragiten dion indar orok (garbi edo erresultante) gorputzaren momentu linealaren aldaketa eragingo du, denboran.

Lege honen adierazpen matematikoa hau da:

${\displaystyle {\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}}$

Adierazpen horretan onartu dugu gorputzaren masa konstantea dela.

• Newton (N) unitatea da 1 kg-eko masadun gorputzari 1 ${\displaystyle m\cdot s}$^-2-ko azelerazioa eragiten dion indarra.
• Gorputza, geldiunetik abiatuta, higidura zuzen uniformeki azeleratuarekin higituko da, eragiten dion indar erresultantearen norabidean eta noranzkoan.

Newtonen hirugarren legea, edo akzioaren eta erreakzioaren legea, bi gorputzen arteko elkarrekintzei dagokie, eta honela adierazten da:

A gorputzak B gorputzari indar bat (akzio deritzoguna) eragiten dionean, B gorputzak erantzuten du A gorputzari balio bereko baina kontrako noranzkoko indarra (erreakzio deritzona) eraginez.

• Akzioaren eta erreakzioaren legearen arabera, indarrek, elkarrekintza baten ondoriozkoak haiek, bikoteka eragiten dute beti.

• Akzio-indarra eta erreakzio-indarra aldi berean agertzen dira, baina ez dute elkar deuseztatzen, objektu desberdinei aplikatzen baitzaizkie akzio-indarra eta erreakzio-indarra; horrexegatik sorrarazten dituzte efektu desberdinak.
• Newtonen hirugarren legeak ohiko gertakariak azaltzen ditu: zergatik higitzen garen ibiltzean, hegazkinek edo suziriek zergatik egin dezaketen aurrera, horma baten kontra jaurtitako pilotak zergatik errebotatzen duen eta abar.

• The System of the World, Optical Lectures, The Chronology of Ancient Kingdoms, and De mundi systemate 1728 (Lurraren sistema, irakurmen optikoak, erreinu antzinen kronologia eta sistema mundiala).
• Observations on Daniel and The Apocalypse of St. John . (Daniel eta San Juanen apokalipsiaren profezien gaineko obserbazioak).
• An Historical Account of Two Notable Corruptions of Scripture 1754 (Bi idatzi ustel nabarmenen erlazio historikoa).