Integral

Integrazioaren hastapenak aurkitzeko antzinako Egiptoraino jo behar dugu, Moskuko matematika-papiroak (K.a. 1800  inguruan) erakusten du Antzinako Egipton jadanik ezagutzen zutel formula bat piramide-enborraren bolumena kalkulatzeko. Integralak determinatzeko balio duen lehenbiziko teknika sistematiko dokumentatua Eudoxoren exhauzio-metodoa da (K.a. 370 inguruan). Metodo horren helburua zen azalerak eta bolumenak kalkulatzea, azalera edo bolumena ezaguna duten formak kopuru infinitutan zatitzearen bidez. Metodo hori Arkimedesek garatu zuen geroago eta parabolen azalerak eta zirkuluaren azaleraren hurbilketa bat kalkulatzeko erabili zuen. Bere aldetik, Txinan, III. mendearen inguruan, Liu Huik antzeko metodoak garatu zituen zirkuluaren azalera kalkulatzeko. Geroago, Zu Chongzhik esferaren bolumena kalkulatzeko erabili zuen metodo hori. XII. mendean Bhaskara II.a indiar matematikariak idatzitako Siddhanta Shiromani astronomia liburuan ere kalkulu integralari dagozkion zenbait ideia aurkitzen dira.

XVI. mendera arte ez zen aurrerapen nabarmenik izan exhauzio-metodoaren gainean. Sasoi hartan, Cavalieri —bere zatiezinen metodoarekin— eta Fermat kalkulu modernoaren lehen oinarriak garatzen hasi ziren; bestetik, XVII. mendearen hasieran, Barrowk eta Torricellik aurrerapauso gehiago egin zituzten. Haien lanetan, integrazioaren eta deribazioaren arteko loturaren lehenengo zantzuak ageri dira.

XVII. mendearen amaieran, Newtonek eta Leibnizek, bakoitzak bere aldetik, kalkuluaren oinarrizko teorema formulatzen dute. Teorema horretan, integrazioa deribazioarekin lotzen dute; eta, hala, funtzio baten integral mugagabea oso erraz kalkula dezakegu haren jatorrizkoren bat ezagutuz gero. Harrez gero, integralak eta deribatuak kalkuluaren oinarrizko erreminta izatera pasa ziren, eta erabilera asko izan dute geroztik bai zientzian, bai injinerutzan.

Bernhard Riemannek integralaren definizio zehatz-zehatza eman zuen. Zati bertikal txikietan zatituz, eskualde lerromakur baten azalera hurbiltzen duen limite batean oinarritzen da. XIX. mendearen hasieran, integralaren nozio sofistikatuagoak agertzen hasi ziren, eta ugaritu egin dira funtzioen motak eta integrazioa aplikatzen zaien eremuak. Integral lerromakurra bizpahiru aldagaiko funtzioetarako definitzen da, eta planoaren edo espazioaren bi puntu lotzen dituen kurba moduko batek ordezkatzen du [a,b] integrazio tartea. Gainazal-integral batean, kurba horren ordez, espazio tridimentsionaleko gainazal zati bat izaten dugu.

Integrazioan, XVII. mendean etorri ziren aurrerapen handienak, Newtonek eta Leibnizek, bakoitzak bere aldetik lan eginez, eta sarritan elkarren aurka ibili arren, kalkuluaren oinarrizko teorema formulatu zutenean. Teorema horrek integrazioaren eta deribazioaren arteko lotura frogatzen du. Lotura hori izateak erraztu egiten du integralak kalkulatzeko prozesua, deribatuak errazagoak baitira kalkulatzen. Bereziki, problema mota gehiago ebazteko aukera ematen digu kalkuluaren oinarrizko teoremak. Horrez gain, aipagarria da Newtonek eta Leibnizek matematikaren esparruan eraikitako marko orokorra. Kalkulu infinitesimal deiturikoari esker, zehatz-mehaz azter ditzakegu eremu jarraituko funtzioak. Gerora, baliabide horrek kalkulu modernora eraman gaitu, eta hala, integralen gaurko notazioak Leibnizek ezarritakoan du jatorria, nahiz eta integrazioaren propietateak eta arauak Newtonek lehenago aurkitu.

Newtonek eta Leibnizek integrazioa ikuspegi sistematikotik aztertzen badute ere, haien lanek badituzte nolabaiteko gabeziak, zehaztasun mailari dagokionez. Gogoangarria da nola eraso zien Berkeley apezpikuak infinitesimaldarrei "desegiten diren kopuruen mamuak" deituz. Kalkuluaren oinarriak sendotu egin ziren limiteak garatu zirenean; eta, XIX. mendearen lehenengo erdian, Cauchyk funts egokiak ezarri zizkion. Integrazioa, erabateko zehaztasunez, Riemannek gauzatu zuen lehenengo aldiz, limiteak erabiliz. Nahiz eta zatikatutako eta bornatutako funtzio jarraitu guztiak integragarriak izan, gerora, funtzio orokorragoei erreparatuta, jabetu ziren bazirela Riemannen definizioa aplikatzen ezin zitzaien funtzioak, eta Lebesguek integralaren[2] definizio desberdin bat eman zuen neurriaren teorian oinarrituta. Riemannen eta Lebesgueren definizioak zabaltzen dituzten beste definizio batzuk ere proposatu dira.

Isaac Newtonek integrazioa adierazteko, barra bertikal txiki bat erabiltzen zuen aldagaiaren gainean, edo aldagaia kutxa baten barruan jartzen zuen. Barra bertikala erraz nahasten zen ${\displaystyle {\dot {x}}}$ edo ${\displaystyle x'\,\!}$ adierazpenekin, Newtonek berak deribazioa adierazteko erabiltzen zuen notazioarekin, alegia; "kutxa" notazioak, berriz, arazoak ematen zizkien inprimatzaileei. Horregatik, notazio horiek ez zuten arrakastarik izan.

Integral mugagabeen notazio modernoa Leibnizek ezarri zuen 1675. urtean.[3][4] Summa (ſumma) adierazteko (latinez, "batuketa" edo "guztira"),"∫", integralaren sinboloa sortu zuen S luzanga hizkia erabiliz. Integral mugatuaren notazio modernoa, integralaren sinboloan beheko eta goiko borneak dituena, Joseph Fourierek erabili zuen lehenengo aldiz Frantziako Akademiaren Mémoires lanean, 1819–20 inguruan; lan hori bere 1822ko[5][6] liburuan berrargitaratu zuen. Arabiera modernoaren matematika-notazioan, eskuinetik ezkerrera idazten denez gero, integralaren sinbolo alderantzikatua [7] erabiltzen dute.

Riemannena eta Lebesguerena Integralaren definizio garrantzitsuenak badira ere, ez dira bakarrak, hor daude esaterako:

• Riemann-Stieltjesen integrala, Riemannen integralaren hedapena.
• Lebesgue-Stieltjesen integrala, Johann Radonek garatua, Riemann-Stieltjesen eta Lebesgueren integralak zabaltzen dituena.
• Daniellen integrala, ezein neurriren mende egon gabe Lebesgueren integrala eta Lebesgue-Stieltjesen integrala barnean hartzen dituena.
• Henstock-Kurzweilen integrala, Arnaud Denjoyek, Oskar Perronek eta Jaroslav Kurzweilek era askotan definitua eta Ralph Henstockek garatua.
• Darbouxen inegrala, Riemannen integralaren baliokidea dena.
• Haaren integrala, Lebesgueren integrala dena Haaren neurriarekin.
• McShaneren integrala.
• Buchneren integrala.

• [a, b] tarte itxian funtzio Riemannen zentzuan integragarrien multzoa bektore-espazioa da batuketa eta eskalarrekiko biderketa eragiketekin. Integrazio eragiketa

${\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f\;dx}$

bektore-espazio horren funtzional lineal bat da. Ondorioz, lehenik, funtzio integragarrien multzoa itxia da konbinazio linealarekin, eta bigarrenik, konbinazio lineal baten integrala integralen konbinazio lineala da, hots:

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,}$

• Horren antzera, funtzio erreal Lebesgueren zentzuan integragarrien multzoa (E espazio metriko batean, μ neurriarekin) itxia da konbinazio linealei dagokionez, eta horregatik bektore-espazio bat da, eta Lebesgueren integrala

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}fd\mu }$

bektore-espazio horren funtzional lineal bat da, beraz, era honetan:

${\displaystyle \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .}$

Linealtasuna, integralaren beste definizio bat emateko erabil daiteke zenbait jarraitasun propietaterekin batera. Hori da Daniellen ikuspegia X multzo bateko funtzio errealen kasurako, Bourbakik zabaldu egiten du definizioa bektore-espazio topologikoki trinko batean balioak hartzen dituzten funtzioetarako. Ikusi Hildebrandt (1953)[8] integralaren karakterizazio axiomatiko baterako.

a > b bada, orduan honako hau definitzen da:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.}$

Horrek, a = b bada, honako hau dakar:

• Zero luze diren tarteen gaineko integralak. a zenbaki erreala bada, orduan:

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.}$

Bira [a,b] tartean jarraitua den f funtzioa eta ${\displaystyle c\in [a,b]}$ puntua. Orduan:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx}$

Aurreko propietatea aplikatzen badugu, honako hau izango dugu:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

ondo definituta geratzen da a, b, eta c elementuen edozein permutazio ziklikorako.

${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} \!}$ funtzio jarraitua bada, orduan existitzen da ${\displaystyle c\in (a,b)\!}$ non ${\displaystyle {{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)\!}$ baita.

[a, b] tarte itxi eta bornatuan Riemannen zentzuan integragarriak diren funtzioetarako zenbait desberdintza betetzen dira. Beste integral nozioetara ere zabal daitezke (Lebesgue eta Daniell).

• Goiko eta beheko borneak. [a, b] tartean f funtzioa integragarria bada, orduan bornatua ere izango da tarte horretan. Hortaz, badaude bi zenbaki erreal m eta M zeinak m ≤ f (x) ≤ M diren [a, b] tarteko x guztietarako. f-ren goiko eta beheko batukariak ere [a, b] tartean bornatuak direnez gero, m(b − a)rako eta M(b − a)rako hurrenez hurren, honako hau ondorioztatzen dugu

${\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).}$

• Monotonia (edo Konparazio-Teorema). Bira [a, b] tartean jarraituak diren f eta g funtzioak , non ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ den, orduan:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}g(x)dx}$

• Azpitarteak. [c, d] [a, b] tartearen azpitarte bat bada, eta emandako tarteetan f(x)≥ 0 bada, orduan:

${\displaystyle \int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

• Balio absolutua. Teorema hau Konparazio-Teoremaren korolariotzat jo dezakegu. f funtzioa [a, b] tartean integragarria bada, orduan:

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|dx}$

• Biderketak eta berreketak. f eta g bi funtzio badira, orduan haien biderketa eta berreketa erabil ditzakegu:

${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.\,}$

f eta g integragarriak badira, orduan f ², g ², eta fg ere integragarriak izango dira, eta

${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).}$

Desberdintza hori Cauchy-Schwarzen desberdintza izenez ezagutzen da, eta funtsezkoa da Hilberten espazioen teorian, non eskuineko aldea ulertzen baita [a, b] tartean integragarriak diren f eta g bi funtzioren biderkadura eskalar gisa.

• Hölderen desberdintza. p eta q bi zenbaki erreal badira, 1 ≤ p, q ≤ ∞ non 1/p + 1/q = 1 den, eta f eta g bi funtzio Riemannen zentzuan integragarri, orduan |f|^p eta |g|^q funtzioak ere Riemannen zentzuan integragarriak dira eta Hölderen desberdintza betetzen dute:

${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.}$

p = q = 2 kasuan, Hölderen desberdintza Cauchy–Schwarzen desberdintza da.

• Minkowskiren desberdintza. p ≥ 1 zenbaki erreal bat bada, eta f eta g bi funtzio Riemannen zentzuan integragarri, orduan |f|^p, |g|^p eta |f + g|^p ere Riemannen zentzuan integragarriak dira eta Minkowskiren desberdintza betetzen dute:

${\displaystyle \left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.}$

Horren antzeko desberdintza bat erabiltzen da Lebesgueren integralerako, L^p espazioak eraikitzeko.

• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
• Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
• Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
• Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
• Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
• Kowalk, W.P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
• Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
• Kalkuluaren Wikiliburua
• Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute
• P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques