Optimizazio (matematika)

Emanda funtzio bat: ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle x_{0}\in A}$ balioa bilatu behar da helburuko funtzioa maximizatzeko, hots ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$ egiten duena ${\displaystyle x\in A}$ balio guztietarako; edota minimizatzeko, hots ${\displaystyle f(x_{0})\leq f(x)}$ egiten duena ${\displaystyle x\in A}$ balio guztietarako. Ohikoa da, aldi berean, ${\displaystyle x\,}$ aldagaiak har ditzakeen ${\displaystyle A\,}$ multzoko balioei buruz murrizketak ezartzea.

Formulazio horri optimizazio problema edo programazio matematikoaren problema deitzen zaio (konputagailuen programazioarekin zuzenean lotuta ez dagoen baina oraindik erabiltzen den termino bat, programazio linealean adibidez - ikus Historia atala). Problema teoriko eta mundu errealeko asko eskema orokor honen bidez molda daitezke. Teknika hau fisika eta ordenagailu bidezko ikusmenaren eremuetan erabiliz formulatutako problemak dira teknika energiaren minimizazio gisa, modelatzen ari den sistemaren energia adierazten duen f funtzioaren balioaz ari garela.

Normalean, ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle R^{n}}$ espazio euklidearraren azpimultzoren bat izaten da, askotan ${\displaystyle A\,}$-ko elementuek bete behar dituzten murrizketa, murrizketa edo desberdintasunen multzo batek mugatzen duena.${\displaystyle f}$-ren ${\displaystyle A\,}$ domeinuari bilaketa espazioa edo aukeraketa multzoa esaten zaio, eta ${\displaystyle A\,}$-ren elementuei, berriz, erantzun hautagaiak edo erantzun egingarriak.

${\displaystyle f}$ funtzioari, era askotara, funtzio objektiboa, kostu-funtzioa (minimizazioa), erabilgarritasun-funtzioa (maximizazioa), eta beste arlo batzuetan, energia-funtzioa edo energia funtzionala esaten zaio. Funtzio objektiboa minimizatzen (edo maximizatzen, helburua hori bada) duen soluzio egingarri bati soluzio optimoa deitzen zaio.

Hitzarmen bidez, optimizazio-problema baten formatu estandarra minimizazioari dagokionez deklaratuta dago. Oro har, funtzio objektiboa eta eskualde egingarria minimizazio-problema batean ganbilak izan ezean, minimo lokal batzuk egon daitezke, non x* minimo lokal bat definitzen den puntu gisa, zeinarentzat ${\displaystyle \delta }$ > 0 bat dagoen, non x

${\displaystyle ||x-x^{*}||\leq \delta }$.

Honako expreso hau egiazkoa da:

${\displaystyle f(x^{*})\leq f(x)}$

hau da, hau da, x* inguruko eskualderen batean, funtzioaren balio guztiak puntu horretako balioa baino handiagoak edo berdinak dira. Maximo lokala antzera definitzen da.

Problema ez-ganbilak ebazteko proposatutako algoritmo ugari – komertzialki eskuragarri dauden konpontzaile gehienak barne – ez dira gai irtenbide lokal optimoen eta soluzio optimo zorrotzen arteko bereizketa egiteko, eta lehenak jatorrizko arazoaren egungo soluzio gisa tratatzen dituzte. Matematika aplikatuaren eta zenbakizko analisiaren adarrari optimizazio globala esaten zaio. Algoritmo deterministen garapenaz arduratzen da, eta algoritmo horiek gai dira konbergentzia denbora finituan bermatzeko problema ez-ganbil baten benetako soluzio optimoari.

Optimizazio-problemak askotan notazio berezi batekin adierazten dira. Hona hemen adibide batzuk.

Pierre de Fermat eta Joseph Louis Lagrangek kalkuluan oinarritutako formulak aurkitu zituzten balio optimoak identifikatzeko, eta Isaac Newtonek eta Carl Friedrich Gaussek metodo iteratiboak proposatu zituzten optimoa hurbiltzeko. Historikoki, optimizazio problema batzuei erreferentzia egiteko programazio lineal terminoa George B. Dantzig-i zor zaio, nahiz eta teoriaren zati handi bat Leonid Kantorovichek 1939an sartua izan. Dantzig-ek 1947an argitaratu zuen Sinplex Algoritmoa delakoa, eta John von Neumannek urte berean garatu zuen dualitasunaren teoria.

Testuinguru horretan, programazio terminoa ez da ordenagailuen programazioari buruzkoa. Izan ere, terminoa Estatu Batuetako armadak entrenamenduaren eta planifikazio logistikoaren proposamena aipatzean erabili zuen programatik dator, horixe izan baitzen Dantzigek garai hartan aztertu zuen problema.

Hona hemen optimizazio matematikoaren arloko beste ikertzaile garrantzitsu batzuk:

• Richard Bellman
• Ronald A. Howard
• Narendra Karmarkar
• William Karush
• Leonid Khachiyan
• Joseph Louis Lagrange
• László Lovász

• Victoria Fernández
• Ana Zelaia