Hiruko artzain-joko

Lehenengo jokalariak x jarriko du izkina batean (1)[3].

Bigarren jokalariak o izkina batean jartzen badu (2), lehenengo jokalariak x jarri behar du izkina batean (3), bigarren jokalariak blokeatu egingo du (4), lehenengo jokalariak x jarriko du geratzen izkinan (5). Horrela, bigarren jokalariak blokeatu beharreko bi lerroetatik bat bakarrik blokea dezake hurrengoan (6) eta horrela lehenengo jokalariak hurrengo mugimenduan irabaziko du (7).

Bigarren jokalariak o alboko gelaxka batean jartzen badu (2), lehenengo jokalariak x erdiko gelaskan jarri behar du (3), bigarren jokalariak blokeatu egingo du diagonalean (4) eta ondoren bi aukera daude:

• x jokalariak blokeatu egin behar du (5), o jokalariak hurrengoan irabazterik badu.
• x jokalariak o ondoan ez duen izkina aukeratu behar du (5).

Horrela, bigarren jokalariak blokeatu beharreko bi lerroetatik bat bakarrik blokea dezake hurrengoan (6) eta horrela lehenengo jokalariak hurrengo mugimenduan irabaziko du (7).

Bigarren jokalariak o erdiko gelaskan jartzen badu (2), lehenengo jokalariak x bere aurkako izkinan jarri behar du (3). Bi egoera ezberdin daude jarraian:

• o jokalariak izkin bat hartzea(4), eta orduan x lehenengo jokalariak geratzen den izkina hartu behar du (5). Horrela, bigarren jokalariak blokeatu beharreko bi lerroetatik bat bakarrik blokea dezake hurrengoan (6) eta horrela lehenengo jokalariak hurrengo mugimenduan irabaziko du (7).

• o jokalariak alboko gelaska bat hartzen du (4). x jokalariak blokeatu egin behar du (5). y jokalariak blokeatu egiten du (6). x jokalariak blokeatu egiten du (7). y jokalariak blokeatu egiten du (8). Berdinketaz bukatzen da jokaldia 9. mugimenduan.

Beraz, lehenengo jokalariak izkina aukeratzen du hasieran, eta behar denean blokeatu edo hurrengoan irabazteko mugimendua egiten badu, ez du inoiz galduko.

Lehenengo x jokalariak erdikoa ez den gelaxka batean kokatzen badu bere ikurra (1), bigarren o jokalariak erdiko gelaxkan jarri behar du (2), jarraian x jokalariak bere bigarren ikurra jartzen du (3):

• x bat izkina batean eta bestea alboko gelaxka batean badago, o jokalariak x ikurra dagoen aurkako izkinan kokatu behar du bere ikurra (4), jarraian x jokalariak bere ikurra jartzen duen mugimendua egindakoan (5), o jokalariak blokeatu edo blokeatu beharrik ez badago, edozein gelaxkatan jarriko du bere o ikurra, eta horrela jarraituko du, blokeatzen edo blokeatu behar ez bada edozein gelaxkatan o jartzen, jokaldia berdinketaz amaitu, edo x jokalariak o ez blokeatzeagatik sortu duen irabazteko aukera aprobetxatuz, irabazi arte.

• x ikur biak alboko gelaxketan badaude,
  • x ikur biek izkinako gelaxka bat zedarritzen badute, o jokalariek izkina hori bera hartu behar du (4), x jokalariak blokeatu egiten du (5), o jokalariak non-nahi jartzen du bere ikurra (5), eta horrela o jokalariak hurrengo txandetan x jokalariaren hirutan hiru blokeatuz, berdinketaz amaitu arte.
  • x ikur biek izkina bat zedarritzen ez dutenean (hau da, aurkako alboko gelaxketan kokaturik daudenean), o jokalariak irabazten du. Horretarako, o jokalariak libre geratzen den bi alboko gelaxketatik bat hartzen du (4), x jokalariak blokeatu egiten du (5) eta x bakar baten ondoan dagoen izkina batean kokatu behar du bigarren jokalariak o ikurra (6). Horrela, lehenengo jokalariak blokeatu beharreko bi lerroetatik bat bakarrik blokea dezake hurrengoan (7) eta horrela bigarren jokalariak hurrengo mugimenduan irabaziko du (8).

• x ikur biak izkinetan badaude, o jokalariak alboko edozein gelaxka aukeratzen du (4), x jokalariak blokeatu egingo du (5), o jokalariak ere blokeatuz (6), eta jarraian ere blokeatuz, jokaldia berdinketaz amaituko da.

Lehenengo x jokalariak erdiko gelaxkan kokatzen badu bere ikurra (1), bigarren o jokalariak non-nahi jarriko du bere ikurra (2), jarraian x jokalariak bere bigarren ikurra jartzen du (3). Jartzen duen gelaxkan jartzen duela, o jokalariak blokeatu egin behar du (4) eta horrela egingo du jarraian ere, x hurrengoan irabazteko mehatxua egiten duenean, jokoa berdinketaz amaitu arte, x jokalariak huts egin eta hurrengo txanda batean o jokalariari irabazteko aukerarik ematen ez badio behintzat.

Jokaldi perfektu bat, berdinketaz bukatuko dena, garatzeko zenbait era dago, aurreko atalean erakutsi denez. Horietako bat, arestian emandako estrategien arabera, hau da:

1. x izkina batean
2. o erdiko izkinan
3. x (1) mugimenduaren aurkako izkinan
4. o alboko gelaxkan
5. x, (2)(4) blokeatu
6. o, blokeatu
7. x, blokeatu
8. o, blokeatu
9. x.

9 gelaxkak a-tik i-ra izendatuta, ezkerretik eskuinera eta goitik behera, arestiko jokaldia honela eman daiteke labur:

a:X,e:0,i:X,b:0,h:X,g:0,c:X,f:0,d:X eta jokaldia berdinketaz amaitzen da. Honako jokaldi honetan, berriz, x jokalariak jokaldi perfektu bat egiten du, eta o jokalariaren huts bat aprobetxatuz, irabazi egiten du: a:X,e:0,i:X,c:0,g:X,h:o,d:X.

Jokoa bukatuta izan daitekeen lehenengo unea bosgarren mugimendua da eta, arestian bezala kalkulatuz, bost mugimenduetako bide kopurua 9×8×7×6×5=15 120 da, edo jokoa ordurako 15120 eratara gara daiteke.

15120 jokaldi hauetatik x jokalariaren garaipenaz bukatzen direnak 8×3!×6×5=1440 dira. Izan ere, 8 lerro dira aukeran hirutan hiru egiteko (3 horizontal, 3 bertikal, 2 diagonal), bertan 3! ezar daitezke 3 x ikurrak, eta o jokalariak 6 eta 5 gelaxka ditu aukeran hurrenez hurren bere ikurrak kokatzeko.

5 txandarako kokapen edo egoera posibleak 1260 dira. Izan ere, x jokalariaren ikurrak, koefiziente binomialen formulaz, ${\displaystyle {9 \choose 3}=84\,}$ eratara azal daitezke, 9 gelaxketatik 3 dituelako aukeran, ordena kontuan hartu gabe. Halaber, o jokalariaren kokapenak ${\displaystyle {6 \choose 2}=15\,}$ eratara azal daitezke. Guztira beraz, 84×15=1260 kokapen ezberdin daude 5. mugimendurako. Hauetatik 8×15=120 kokapenetan bukatu da jokaldia (horizontalean, bertikalean eta diagonalean 8 hirutan hiru posible izanik, o jokalariak ${\displaystyle {6 \choose 2}=15\,}$ kokapen dituelako aukeran).

Jokaldiaren kokapen kopurua ${\displaystyle {9 \choose 3}{6 \choose 3}-8\times {6 \choose 3}=1520\,}$ da, 5. mugimendurako jokaldia amaituta zegoeneko egoerak kendurik (horizontalean, bertikalean eta diagonalean 8 hirutan hiru posible izanik, o jokalariak ${\displaystyle {6 \choose 3}=20\,}$ kokapen izan dituelako aukeran 6. mugimendua egindakoan).

Hauetatik, bukaerako kokapen kopurua, non o jokalariak irabazten duen, 148 da. Izan ere, horizontalean, bertikalean eta diagonalean 8 hirutan hiru posible izanik o jokalariarentzat, x jokalariak ${\displaystyle {6 \choose 3}=20\,}$ kokapen izan dituelako aukeran 6. mugimendua egindakoan), hauei kenduta x jokalariak ere hirutan hiru egin dueneko 12 egoerak (o jokalariaren errenkada oso bakoitzeko, beste bi aukera zituen x jokalariak bere errenkada osatzeko eta berdin 3 zutabeetan: (3+3)×2=12) . Beraz: 8×20-12=160.

6. mugimenduan jokaldiaren garapen kopurua 9×8×7×6×5×4-1440×4=54720 da, jokoa 5. mugimenduan bukatzen zeneko aukerak ezabatu egin behar direlako, 6. mugimendurako dauden 4 aukerekin biderkatuz betiere.

6. mugimenduan jokaldiaren garapen kopurua, o jokalariaren garaipenaz bukatzen delarik, kalkulatzea konplexua da, balitekeelako 5. jokaldian x jokalariak irabazi izana. Hau ezin da gertatu, o jokalariak diagonala egin badu. Horrela bada, o jokalariak 2 diagonal ditu aukeran eta 3!=6 era mugimenduak egiteko. Gainerako gelaxketan, x jokalariak 6×5×4=120 eratara koka ditzake bere ikurrak. beraz, horrela 2×6×120=1440 eratara gara daiteke jokoa o jokalaria diagonala osatuz. Horizontalean zein bertikalean, 6 aukera ditu eta 3!=6 era mugimenduak egiteko. x jokalariak 6×5×4=120 eratara egin dezake, baina berak aurretik hirutan hiru egin dueneko haiek kendu behar dira, 12 guztira, arestian ikusi den bezala. Beraz, guztira 6×6×(120-12)=3888 garapen posible daude o jokalariaren errenkada edo zutabe osozko garaipenaz bukatzen direnak. Guztira 1440+3888=5328 garapen posible daude.

7., 8. eta 9. mugimenduetarako aukera kopuruak aztertuz, aurreko izenburuetan bezala, laburpen taula hau osa daiteke:

5. mugimenduko 1440 garaipenezko garapenetan, jokaldiak x jokalariak irabazi arren, aurrera jarraituko balitz, hauetako bakoitzeko 4!=24 garapen gehiago sortuko lirateke, beraz, 1440×24=34560. 6. mugimenduko 5328 garaipenetatik bakoitzeko 6 garapen gehiago sortuko lirateke 9 gelaxkak bete arte, guztira 5328×6=31968. 7. mugimenduko horietako bakoitzeko, 2, beraz, 47952×2=95904. 8. mugimendu bakoitzeko, 9. mugimendua derrigortua izango litzateke, aukera bakarra izango luke alegia, beraz, guztira 72576. 9. mugimenduan, garaipenez 81792 garapen eta berdinketaz 46080 garapen ditugu. Guztira, batuketa eginez, 362880 garapen posible daude beraz, hasieran kalkulaturiko 9! kopuruarekin bat datorrena.

Horrela, bi jokalariek burugabe edo zoriz jokatzen badute, x jokalariak irabazteko probabilitatea hau izango da:

${\displaystyle p_{x}={\frac {34560+95904+81792}{362880}}=0.585}$

o jokalariak irabazteko probabilitatea, berriz, hau da:

${\displaystyle p_{o}={\frac {31968+72576}{362880}}=0.288}$

Eta berdinketaz bukatzeko probabilitatea hau da:

${\displaystyle p_{-}={\frac {46080}{362880}}=0.127}$