Higidura paraboliko

Higidura parabolikoaren osagai horizontala eta osagai bertikala elkarrekiko independenteak dira.

Higidura parabolikoa bi mugimenduren konposizio gisa kontsidera daiteke: batetik higidura horizontal zuzen uniformea eta bestetik higidura bertikal zuzen uniformeki azeleratua, azken honen azelerazioa grabitatearena izanik. Higidura parabolikoa plano batean gertatzen denez, bertan erreferentzia-

sistema kartesiarra erabili ohi da, eta higidura hau analitikoki aztertzean, higidura horizontal uniformea abzisen ardatzean deskribatzen da eta higidura bertikal azeleratua ordenatuen ardatzean.

Marruskadurarik gabeko eta eremu grabitatorio uniformedun egoeretan, ezaugarri bereizgarri hauek ditu higidura parabolikoak:

• Erortzen uzten den objektu batek eta horizontalki altuera berdinetik jaurtitzen den beste objektu batek denbora berdinak behar dituzte lurrazalera heltzeko.
• Higidura masaren balioarekiko independentea da. Hasierako baldintza berdinak dituzten edozein masatako gorputzek higidura berdinak dituzte.
• Bertikalki jaurtitzen den objektu batek eta puntu (edo altuera) beretik horizontalki hasita higidura parabolikoaz erortzen den beste objektu batek, biek ala biek, denbora berdinak behar dituzte ibilbidea osatzeko plano horizontal berera iristeko.
• Lurretik hasi eta altuera maximora heltzeko behar den denbora eta handik lurrera itzultzeko behar den denbora berdinak dira.

Marruskadurarik gabeko higidura parabolikoaren hasierako baldintzak eta abiaduraren eta azelerazioaren osagaiak zenbait puntutan

Kontuan izanik Lurraren grabitatearen eraginpeko higidura parabolikoa plano bertikal batean gertatzen dela, higidura hori analitikoki aztertzeko erreferentziarako ${\displaystyle Oxy}$ plano bertikal kartesiarra erabiliko dugu: ${\displaystyle Ox}$ ardatz horizontala eta ${\displaystyle Oy}$ardatz bertikala aukeratuz. Alboko irudian ageri denez, norabide horizontaleko bektore unitarioa ${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$izango da (irudian eskuineranzko noranzkoaz), eta norabide bertikalekoa, ${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$ (goranzko norankoaz).

Azelerazio konstantea, grabitatearena

Azelerazioak osagai bakarra izango du, grabitatearena hain zuzen, eta konstantea da ibilbide osoan. Balio hau du:

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=-g{\boldsymbol {j}}={\text{kte.}}}$$

Osagai hau norabide bertikalari dagokio eta beheranzkoa da; hortik zeinu negatiboa. Azelerazioa konstantea izateak erraztu egingo du higiduraren analisia, abiaduraren balioa integrazioz lortzeko. Baina horretarako, lehenik eta behin higiduraren hasierako baldintzak zein diren finkatu beharko dugu.

Hasierako baldintzak

Kalkuluak sinplifikateko, partikularen abiapuntua koordenatu-sistema kartesiarraren jatorri-puntua izan dela kontsideratuko dugu. Hortaz:

$${\displaystyle x_{0}=0,{\text{ }}y_{0}=0.}$$

Eta objektuaren hasierako abiadura honako hau izango da:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{0}=v_{0}\cos {\theta }{\text{ }}{\boldsymbol {i}}+v_{0}\sin {\theta }{\text{ }}{\boldsymbol {j}},}$$

non ${\displaystyle v_{0}}$ hasierako abiaduraren modulua den, eta ${\displaystyle \theta }$ hasierako abiaduraren eta ardatz horizontalaren arteko angelua. Hortaz, hasierako abiadurak bi osagai hauek ditu:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{0x}=v_{0}\cos {\theta }}$, hasierako abiaduraren osagai horizontala,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{0y}=v_{0}\sin {\theta }}$, hasierako abiaduraren osagai bertikala.

Beraz, hasierako abiadura honelaxe adieraz daiteke bektorialki:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{0}=v_{0x}{\boldsymbol {i}}+v_{0y}{\boldsymbol {j}}.}$$

Abiaduraren ekuazioa

Ibilbide parabolikoa duen objektuaren aldiuneko abiadura kalkulatzeko, azelerazioaren definizioari dagokion ekuazio hau bektorial integratu behar da:

$${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {v}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} v_{x}}{\operatorname {d} t}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {\operatorname {d} v_{y}}{\operatorname {d} t}}{\boldsymbol {j}}=-g{\boldsymbol {j}}\longrightarrow {\begin{cases}{\frac {\operatorname {d} v_{x}}{\operatorname {d} t}}=0\\{\frac {\operatorname {d} v_{y}}{\operatorname {d} t}}=-g\end{cases}}}$$

Hortik, ${\displaystyle t_{0}}$ eta ${\displaystyle t}$ bitartean integratuz, ${\displaystyle t}$ aldiuneko abiaduraren bi osagaiak lortuko ditugu:

$${\displaystyle {\begin{cases}v_{x}=v_{0x}\\v_{y}=v_{0y}-gt\end{cases}}}$$

Agerikoa denez, abiaduraren osagai horizontala konstantea da; eta osagai bertikala, uniformeki azeleratua, beherantz (hortik zeinu neagitboa). Guztira, abiadura bektorea honako hau da, denboraren funtzio modura emanik:

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)=v_{0x}{\boldsymbol {i}}+(v_{0y}-gt){\boldsymbol {j}}.}$

Posizioaren ekuazioa

Abiaduraren ekuaziotik abiatuz, posizioaren ekuazioa ere zehaztu daiteke ondoko ekuazioa integratuz:

${\displaystyle {\cfrac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}={\boldsymbol {v}}(t)=v_{0x}{\boldsymbol {i}}+(v_{0y}-gt){\boldsymbol {j}},}$

betiere kontuan izanik abiapuntuko posizioa ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(0)=x_{0}{\boldsymbol {i}}+y_{0}{\boldsymbol {j}}}$ dela. Lehenengo mailako ekuazio diferentziala da hau ere, eta beraren soluzioa hauxe da:

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=(v_{0x}{t}+x_{0}){\boldsymbol {i}}+\left(-{\frac {1}{2}}g{t^{2}}+v_{0y}t+y_{0}\right){\boldsymbol {j}}}$

Ekuazio bektorial hau osagaietan bananduz, hauexek dira posizioaren bi osagai kartesiarrak:

$${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+v_{0x}t\\y=y_{0}+v_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\end{cases}}}$$

Bi ekuazio horietatik denbora eliminatuz (${\displaystyle t}$ aldagaia), ibilbidearen ekuazio kartesiarra lortzen da:

${\displaystyle y=y_{0}+{\frac {v_{0y}}{v_{0x}}}(x-x_{0})-{\frac {1}{2}}{\frac {g}{v_{0x}^{2}}}(x-x_{0})^{2}.}$

Agerikoa denez, hori bigarren ordenako kurba baten ekuazioa da ${\displaystyle Oxy}$ plano bertikalean, parabola batena hain zuzen ere. Horixe da ibilbide parabolikoaren ekuazio geometrikoa.

Gorantz abiatutako higidura parabolikoan, interesgarria da jakitea zein izango den objektuak lortuko duen altuera maximoa. Puntu hori parabolako tontorra da: aurreko irudiko ${\displaystyle H}$ puntua. Bertan, abiadura bektorea horizontala izango da; bestela esanda, abiaduraren osagai bertikala nulua izango da:

$${\displaystyle v_{yH}=0.}$$

Beraz, aurreko atalean lorturiko osagai bertikalaren adierazpenean balio hori ordezkatuz,

$${\displaystyle v_{Hy}=v_{0y}-gt_{H}=v_{0}\sin \theta -gt_{H}=0}$$

izango dugu eta hortik kalkula dezakegu zein aldiunetan, t_h, iristen den bertara:

$${\displaystyle t_{H}={\frac {v_{0}\sin \theta }{g}}.}$$

Eta balio hori ${\displaystyle y}$ koordenatuaren ekuazioan ordezkatuz:

$${\displaystyle y=y_{0}+v_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\longrightarrow h=0+(v_{0}\sin \theta )t_{H}-{\frac {1}{2}}gt_{H}^{2},}$$

$${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}.}$$

Horixe izango da objektuak lortuko duen altuera maximoa. Bistakoa denez, balio maximoa ${\displaystyle \sin \theta =1}$ denean lortuko da; hau da, objektua bertikalki jaurtitzen denenan gorantz, edo gauza bera dena, ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$ denean.

Distantzia horizontala lortzeko, kontuan izan behar dugu puntu hori y${\displaystyle y}$ ordenatu nuluari dagokiola, alegia, bertan ${\displaystyle y=0}$ izango dela. Aurreko atal batean lorturiko formula hau erabiliz,

$${\displaystyle y=y_{0}+v_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2},}$$

Puntu horretara objektua zein aldiunetan iristen den kalkula dezakegu:

$${\displaystyle 0=(v_{0}\sin \theta )t_{d}-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2},}$$

$${\displaystyle t_{d}={\frac {2v-0\sin \theta }{g}}.}$$

Eta aldiune horri dagokion abzisa kalkulatuz, abzisa hori izango da, hain zuzen, objektuak lortuko duen distantzia horizontala:

Hutsean, hasierako 10 m/s-ko abiaduraz jaurtiriko projektilen ibilbideak. Puntuak 0,05 s-ko tarteei dagozkie.

$${\displaystyle x=x_{0}+v_{0x}t\longrightarrow d=0+v_{0}\cos \theta {\frac {2v_{0}\sin \theta }{g}}.}$$

$${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin 2\theta .}$$

Kasu honetan ere, distantzia horizontala hasierako abiaduraren inklinazioaren menpekoa da, hots, ${\displaystyle \theta }$ angeluaren funtzioa. Distantzia horri tiro parabolikoaren irismena deritzo.

Irismen maximoa

Irismenaren balio maximoa sinu funtzioaren balio maximoarekin gertatzen da, hau da, sinuak ${\displaystyle 1}$ balio duenean.

$${\displaystyle \sin 2\theta =1\longrightarrow 2\theta =90^{\circ }\longrightarrow \theta =45^{\circ }.}$$

Hortaz, irismen maximoa gertatzen da hasierako abiadura bektorearen norabideak ${\displaystyle 45^{\circ }}$-ko angelua osatzen duenean norabide horizontalarekin. Kasu horretan hauxe da irismenaren balioa:

$${\displaystyle d_{\text{max}}={\frac {v_{0}^{2}}{g}}.}$$

Airearen marruskadura jasaten duen proiektil baten ibilbideak, hasierako abiaduraren zenbait balioren kasuan.

Atal honetan kontuan izango dugu objektuak atmosferako airearekin duen marruskadura. Fenomeno konplexua den arren, hurbilketa sinplea egingo dugu arazoa kualitatiboki azaltzeko eta orain arte aztertu dugun marruskadurarik gabeko ibilbide parabolikoan horrek izango duen eragina ulertzeko.

Aireko erresistentziak marruskadura-indar bat sortzen du, eta indar hori higiduraren noranzkoaren kontrako noranzkoan doa, eta abiaduraren moduluaren menpekoa da.Aireak higidurari jartzen dion erresistentzia arraste-koefizientea deritzon parametro baten bidez adierazi ohi da, eta lehenengo hurbilketa batean kontsideratuko dugu marruskadura-indarra abiaduraren berretura baten proportzionala dela.

Abiadura txikien kasuan, marruskadura-indarrak gorputzaren abiadurarekiko duen menpekotasuna lineala da (${\displaystyle \propto v}$) (Stokes-en arraste-legea) eta abiadura handien kasuan, koadratikoa (${\displaystyle \propto v^{2}}$) abiadura handietan (Newton-en arraste-legea).

Higidura parabolikoaren deformazioa airearen marruskaduraren kausaz; jaurtitze-angelua, ${\displaystyle 70^{\circ }.}$ Kolore beltzez, marruskadurarik gabe; urdinez, Stokesen arrasteaz; berdez, Newtonenen arrasteaz.

Portaera horien arteko trantsizioa Reynolds-en zenbaki adimentsionalaren balioak zehazten du; zenbaki hori abiaduraren, objektuaren tamainaren eta ingurunearen biskositate zinematikoaren araberakoa da. Honelaxe definitzen da Reynoldsen zenbakia:

$${\displaystyle {\text{Re}}={\frac {\rho vL}{\mu }}={\frac {vL}{\nu }},}$$

non:

• ${\displaystyle \rho }$: fluidoaren dentsitatea
• ${\displaystyle v}$ : objektuak fluidoarekiko duen abiadura
• ${\displaystyle L}$: objektuaren luzera esanguratsua
• ${\displaystyle \mu }$: fluidoaren biskositate dinamikoa
• ${\displaystyle \nu }$: fluidoaren biskositate zinematikoa

Reynolds-en zenbakia 1000 baino baino txikiagoa bada, menpekotasuna lineala da, eta 1000 baino handiagoa bada, koadratikoa. Hortaz, honelaxe adierazten da aireak proiektilari egindako marruskadura indarra:

• Stokesen arraste-legearen arabera: ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{air}}=-k_{\text{St}}{\boldsymbol {v}}}$, ${\displaystyle {\text{Re}}\leqslant 1000}$ denean.
• Newtonen arraste-legearen arabera: ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{air}}=-k_{\text{Nw}}|{\boldsymbol {v}}|{\boldsymbol {v}}}$, ${\displaystyle {\text{Re}}\geq 1000}$ denean.

Hori dela eta, ibilbide parabolikoa deformatu egiten da, marruskadurarren eraginez gorputzak moteldu egiten baitu bere abiadura; ondorioz, ibilbidea parabola deformatu bat da, baxuagoa norabide bertikalean eta laburragoa norabide horizontalean, forma sasiparabolikoa hartuz.

• Higidura parabolikoa
• Abiadura osagaiak lantzeko bideoa.
• Higidura parabolikoa lantzeko ariketa.
• Higidura parabolikoa lantzeko ariketa II.
• Tiro parabolikoa ulertzeko bideoa.

• Fishbane, Paul (2008) Fisika zientzialari eta ingeniarientzat. 1. bolumena, (1.etik-21.era Gaiak) Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea ISBN9788490820308 PMC932800438.
• Etxebarria Bilbao, Jose Ramon (arg.) Fisika orokorra (2. argitalpena) UEU, Bilbo (2003) ISBN 9788484380450.
• Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). Física. Fondo Educativo Interamericano. ISBN 84-03-20234-

• Zinematika
• Trigonometria
• Higidura zuzen uniforme a
• Higidura zuzen eta uniformeki azeleratua
• Erorketa askea
• Stokes-en legea

• https://www.fisicalab.com/apartado/movimiento-parabolico#contenidos
• http://jakinstein.com/2007/01/18/higidura-parabolikoa/