Higidura harmoniko sinple

Pendulu sinplea.

Oso sistema sinplea da. Marruskadurarik gabeko plano horizontal batean edo norabide bertikal batean dagoela, malgukia indar eginez uzkurtu edo luzatuz oreka-posiziotik pixka bat aldendu eta hasierako abiadurarik gabe askatzen bada, ${\displaystyle m}$ masa oreka-posiziotik hasiko da oszilatzen batera eta bestera etengabe,

Penduluaren potentziala (urdinez) eta hurbilketa parabolikoa (gorriz).

Sentsore egoki baten laguntzaz egiazta daitekeenez, malgukiaren elongazioaren oszilazio txikiak sinusoidalak dira denboran zehar. Gainera, oszilazioaren periodoa beti da berbera, eta anplitudearen menpekotasunik gabea; eta periodoaren balioa masaren eta malgukiaren propietate elastikoen araberakoa da soilik, beti ere malgukiaren elastikotasunaren mugen barnean higituz gero.

Pendulu sinplearen kasuan, sistemak askatasun-gradu bakarra dauka, bertikalaren eta hariaren arteko ${\displaystyle \theta }$ angeluari dagokiona, eta ${\displaystyle m}$ masaren energia potentzial grabitatorioa ${\displaystyle V(\theta )=mgl(1-\cos \theta )}$ denez, oszilazio txikien kasuan hurbilketa egin daiteke ondoko adierazpen parabolikora: ${\displaystyle V(\theta )\simeq {\frac {1}{2}}mgl\theta ^{2}}$. Hurbilketa paraboliko horretan, penduluak ere higidura harmoniko sinplea du.

Alboko irudiko eskeman, plano horizontalean dagoen malgukia luzatzean eta uzkurtzean masan eragiten duen indar elastikoaren noranzkoa dago adierazita. Agerikoa denez,malgukiaren elastikotasun-mugen barnean, indarraren noranzkoa elongazioaren noranzkoaren aurkakoa da, eta modulua, malgukiaren elongazioaren proportzionala:

$${\displaystyle F=-kx,}$$

non ${\displaystyle F}$ malgukiak eginiko indar-elastikoa den, ${\displaystyle k}$ hori malgukiaren elastikotasun-konstantea eta ${\displaystyle x}$ oreka-posiziotik neurturiko elongazioa edo desplazamendua. Newtonen bigarren legea aplikatuz, erraz lortzen da higidura harmoniko sinplearen ekuazio diferentziala:

$${\displaystyle F=ma={\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}=-kx,}$$

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}+kx=0.}$$

Aurreko ekuazio deferentzialean oinarrituz, erraz determina daitezke higidura hamoniko sinplearen hainbat ezaugarri eta magnitude fisiko; besteak beste, partikularen posizioa, maiztasuna, periodoa, abiadura eta azelerazioa.

Ekuazio hori integratuz, elongazioaren posizioa edo eboluzio denborala, ${\displaystyle x(t)}$, lortzen da:

$${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\phi _{0}).}$$

Adierazpen horretan, magnitude hauek ageri dira:

• ${\displaystyle x(t)}$, oreka-posiziotik partikulak aldiunean duen elongazioa edo desplazamandua,
• ${\displaystyle A}$ oszilazioaren anplitudea, hots, elongazio maximoa,
• ${\displaystyle \omega }$, frekuentzia angeluarra,
• ${\displaystyle \phi _{0}}$, hasierako fasea.

Agerikoa denez, higidurak ${\displaystyle \omega }$ pultsaziozko forma sinusoidala du, eta horregatik deitzen da. "harmonikoa".

Bestalde, oszilazioaren maiztasun denborala (edo frekuentzia) honelaxe idatz daiteke:

$${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}.}$$

Eta oszilazioen periodoa honako hau da:

$${\displaystyle T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}={2\pi }{\sqrt {\frac {m}{k}}}.}$$

Hau da, periodoa maiztasun denboralaren alderantzizkoa da.

Agerikoa denez, bai frekuentzia (${\displaystyle \omega }$ maiztasun angeluarra zein ${\displaystyle f}$ maiztasun denborala) baita periodoaren balioa ere, biak ala biak, sistema oszilatzailearen propietate fisikoen menpekoak dira: malgukiaren elastikotasun-konstantearen (${\displaystyle k}$) eta oszilatzen ari den masarenak (${\displaystyle m}$).  Ordea, osziladore harmoniko idealaren kasuan, maiztasunak ez du oszilazioaren anplitudearen menpekotasunik.

Elongazioaren (${\displaystyle x}$), abiaduraren (${\displaystyle v}$) eta azelerazioaren (${\displaystyle a}$) eboluzio denboral harmonikoak.

Partikularen aldiuneko abiadura posizioaren denborarekiko deribatua eginez lortzen da:

$${\displaystyle v(t)={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}=-\omega A\sin(\omega t+\phi _{0}).}$$

Bistan denez, funtzio sinusoidala da, posizioa bezala, baina fasea atzeraturik dauka harekiko ${\displaystyle 90^{\circ }}$-an. Bestalde, abiadura maximoaren modulua ${\displaystyle v_{\text{m}}=\omega A}$ da.

Abiaruraren ekuazioa denborarekiko deribatuz, zuzenan lortzen da partikularen aldiuneko azelerazioa:

$${\displaystyle a(t)={\frac {{\text{d}}v(t)}{{\text{d}}t}}=-\omega ^{2}A\cos(\omega t+\phi _{0})=-\omega ^{2}x(t).}$$

Azelerazioa ere funtzio sinusoidala da, eta fase opodizioan dago posizioarekiko. Alboko irudi animatuan ikus daitekeenez, higidura harmoniko sinplearen posizio, abiadura eta azelerazioaren funtzio denboralak “harmonikoak” dira; alegia, hiruren eboluzio denboralak funtzio sinusoidalak dira. Halere, hiru funtzio horien faseen artean “desfase” zehatza dago. Erreferentzia modura posizioaren sinusoidea harturik, abiadura ${\displaystyle 90^{\circ }}$-ko atzerapenarekin aldatzen da eta azelerazioa ${\displaystyle 180^{\circ }}$-koarekin.