Grafo teoria

• Eragindako lista - Ertzak errepresentatuta daude bektore bikoiti batekin, non bikoiti bakoitza ertz bat errepresentatzen du.
• Auzokidetasun lista - Erpin bakoitzak erpin lista bat dute non auzokidetasunak dira.
• Graduen lista - zenbaki sekuentzia bat da, non grafoaren erpinen graduekin bat etortzen dira.

Ziklo hamiltondiar baten adibidea.

Ziklo bat, ertz auzokideen suzesio bat da, non ez dan pasatzen bi aldiz ertz berdinatik, eta hasierako puntura bueltatzen den. Gainera, ziklo hamiltondiarrak, erpin guztiak pasa behar ditu behin bakarrik (hasierako erpina ezik, hemen bukatuko baitu).

Adibidez, museo handi batean (Louvre-ren antzekoa), hoberena gela guztietatik behin bakarrik pasatzea izango zen, hau da, museoa irudikatzen duen ziklo hamiltondiarra bilatzea (erpinak gelak izango lirateke, eta ertzak, bidea edo gelen arteko ateak).

Bide hamiltondiarra ere dela esango dugu, hasiera puntura bueltatu behar ez denean, sarrerarako ate bakarra duen museo baten antzera. Adibidez, xakeko taula batean zaldi bat lauki guztietatik pasa daiteke lauki berdina bi aldiz zapaldu gabe, hau da, bide hamiltondiar bat da.

Gaur egun ez dira ezagutzen denbora polinomikoan ziklo hamiltondiarrak aurkitzeko modurik, bilaketak oso neketsuak bilakatuz. Hala ere, grafo txikietan zikloak edo ziklo hamiltondiarrak ez direla ziurtatzeko metodoak.

Zihurtatzeko ziklo hamiltondiarren existentziaren arazoa, NP-osoekin konjuntuan sartzen da.

Grafo edo multigrafo bat plano batean bi segmentu beraien artean mozten ez direla marraztea dagoenean, plano bat dela esaten da.

Joko ezagun bat hau izango litzateke: hiru etxe eta hiru putzu marrazten dira. Etxeetako bizilagun guztiak putzu guztiak erabiltzeko eskubidea dute. Gaizki eramaten direnez, ez dute elkarrekin gurutzatu nahi. Posiblea da bederatzi bideak marraztea, bi bide elkarren artean gurutzatu gabe?

Berdin du putzuak eta etxeak nola dauden ipinita, gutxienez beti gurutzaketa bate gongo da. K_n grafo osoa izanik n ertzekin, K_n,p grafo zatibia da n eta p ertzak.

Aurreko jokoarekin ikus daiteke grafo zatibi osoa K_3,3 planoa dela, hau da, gurutzaketarik gabe marraztu dagoenean plano batean, erantzuna ezetz izanik. Normalean, ikus daiteke grafo bat ez dela planoa, bere diseinuan egitura analoga (K₅-ra edo K_3,3-ra) bat aurkitzen dugunean.

Topologiarekin zer ikusia duen arazo bat da grafoak planoak direla ezartzea.

G=(V, E) grafo ez bideratua bada, G-ren kolorazio propio bat gertatzen da, G-ren erpinak kororeztatzen ditugunean modu honetan, {a, b} ertz bat da eta orduan G-n a eta b kolore desberdinak dituzte. G-ren kolorazio propioa egiteko behar ditugun kolore kopurua, G-ren zenbaki kromatikoa da, eta C (G) idazten da. Nahiz eta, G grafo ez bideratua izanik, nahiz eta λ kolore kopurua izanik G-ren erpinarako kolorazio propioa. Gure helburua P(G, λ) funtzio polinomial bat bilatzea da, λ aldagaian, G-ren polinomio kromatikoa izena duena, G-ren erpinen kolorazio propien kopurua adierazten dueña. λ kolore kopurua erabiliz.

Polinomio kromatikoen deskonposizioa. G=(V, E) grafo konexoa bada eta e E-ko partaidea bada, orduan: P(G, λ)=P(G+e, λ)+P(G/e, λ), non G/e den ertzen kontrakzioaren bitartez lortzen den grafoa.

Edozein G grafoarentzat, P(G, λ)-n termino konstantea 0 da.

G=(V,E) |E|>0rekin izanik, orduan, koefizienten gehiketa P(G, λ)-n 0 da.

G=(V,E), a,b V ertzen multzoaren partaideak izanik, baina {a,b=e}, E ertzen multzoaren partaideak ez izanik. G+e idazten dugu G-tik lortzen den grafoa, e={a.b} ertza gehitzean. A eta b erpinak G-n adieraztean, G++e G.0000-tik subgrafoa lortzen dugu.

Mapa lau koloretan koloreztatua.

Beste arazo famoso relatibo bat hauxe da: Zenbat kolore beharko dira mapa politiko bat marrazteko, jakinda ondoan dauden bi herrialde kolore berdina ezin dutela izan? Suposatzen da herrialdeak bakarrik puxka batekoak direla, eta mundua borobila edo planoa dela. Toroide formako mundu batean, hurrengo teoremak ez du balio.

Mapa bat koloreztatzeko, lau kolorekin nahikoa da.

Hurrengo mapak erakusten du nola hiru kolore ez diren nahikoak: a herrialde zentraletik hasten bada, eta ahal diren kolore gutxien erabiltzen saiatzen bagara, orduan herrialde horren inguruan dauden herrialdeak kolorez aldatu behar dute. h herrialdera hiristen garenean laugarren kolore bat sartu beharra dago bai ala bai. Berdina gertatzen da i herrialdearen kasuan.

Ez du importa herrialdearen forma, soilik jakitea zein herrialde ikutzen du bakoitzak. Grafo batean, herrialdeak erpinak izango lirateke, eta ertzak batera daudenak juntatzen dituena. Beraz erpin bakoitza kolore desberdina dauka bere ondokoekin konparatuz.

Grafo bat arrunta da gehiengoz jota edozein bi erpin ertz batez lotuta badago.

Grafoa arrunta ez bada multigrafoa izendatzen dugu.

Grafo bat lotua da erpin bikote bakoitza bide batez lotua badago; hots, edozein bi erpinetarako (a, b), existitzen da a -tik b -ra doan bide bat.

Grafo bat lotura bikoitzekoa da baldin eta erpin bikote bat bi bide disjuntuetatik lotu badaitezke; hau da, grafo lotua da eta ez dago erpinik grafotik kendu eta azpigrafo hori askea ddenik.

Grafo lotua eta ez lotua edo askea.

Grafo bat osotua da baldin eta existitzen badira erpin bikote posible guztiak lotzen dituen ertzak; hau da, edozein erpin bikotek (a, b) elkarrekin lotzen dituen e ertz bat behar du.

Grafo osotuen multzoa honela adierazten da ${\displaystyle \mathbb {K} }$, ${\displaystyle \mathbb {K} _{n}}$ n -erpineko grafoa izanik.

${\displaystyle \mathbb {K} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ erpineko grafo osotu batek ${\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$ ertz edukiko ditu.

Grafo bat G zatibikoa da honela adierazi badaiteke ${\displaystyle G=\{V_{1}\cup V_{2},A\}}$ ( hots, grafoaren ertzak bi ertz talderen batura da ), baldintza hauek kontuan harturik:

• ${\displaystyle V_{1}}$ y ${\displaystyle V_{2}}$ disjuntuak dira eta hutsak.
• A-ko ertz bakoitzak V₁-eko erpin bat V₂-eko batekin lotzen du.
• Ez dago ertzik bi elementu lotzen duteik, V₁; V₂-n ere ez.

Baldintza hauek betetzen dituen grafoa zatibikoa da. Informalki, bi elementu desberdinen multzoak lotzen dituen grafo bezala definitu dezakegu. Adibidez, puzzle bateko piezak, non lehen zutabeko elementuak bigarren zutabeko elementuekin erlaziona ditzazkegun.

Bi grafo ${\displaystyle G_{1}}$ eta ${\displaystyle G_{2}}$ isomorfoak dira bi grafoak grafo beretik lortu badaitezke elementuen banaketa eginez.

Zuhaitzaren adibidea.

Ziklorik gabeko eta punto guztiekin konektatzen duen grafoari zuhaitz deitzen zaio. n erpineko grafo batean, zuhaitzek n - 1 erpin dituzte zehazki eta n^n-2 zuhaitz posible daude. Zuhaitzen garrantzia ahalik eta ertz gutxiekin, ahalik eta erpin gehienak konektatzean datza.

K₄ planoa dela ikusi dezakegu, aldiz, K₅ ez, eta berriz K₃,₂ bai.

Grafo batean diámetroa bi erpinen arteko ertz gutxieneko loturaren distantzia da.

K_n grafoen diametroa 1 da, K_n,_p grafoena berriz, 2. DIametro infinitua duen grafo bat infinitu erpin dituela esan nahi du edo besterik gabe, ez dela lotua.

Internetaren munduak modan jarri du diametroaren ideia: estekarik gameko web-orriak kentzen baditugu eta bi web-orri zoriz aukeratu, zenbat klik behar ditugu web-orri batetik bestera heltzeko? Emaitza izan ere Internet-aren diametroa da, non web-orriak erpinak diren eta ertzak sareko estekak.

Bizitza errealean ere analogia bat dago: zoriz aukeratutako munduko bi pertsona, zenbat jauzi behar dira batetik bestera heltzeko, jauzia bi pertsona ezagunen artean gertatu behar baldin bada? Definizio hau kontuan harturik, jo dezakegu gizakiaren diametroa... Zortzi besterik ez dela!