Grabitazio-leiar

Fermaten printzipioaren puntu batetik beste batera aldatzeko, argiak denbora laburreneko bidea egiten du.

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{AB}[n({\vec {x}}(l))]=\delta \int _{A}^{B}{n({\vec {x}}(l))dl}=0.}$

Errefrakzio indizea aurkitzearren, lehengo hurbilketa egingo dugu: asumituko dugu leiarra ahula izango dela. Ahula dela esaten dugunean, leiarraren Newtonen grabitazioaren potentziala ${\displaystyle c^{2}}$ baino txikiagoa izango dela.

Perturbatu gabeko espazio-denboraren metrika Minkowskiren metrika izango da,

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

non ${\displaystyle ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=(dx^{0})^{2}-(d{\vec {x}})^{2}=c^{2}dt^{2}-(d{\vec {x}})^{2}}$.

Leia ahul batek metrika perturbatuko du

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1+{\frac {2\Phi }{c^{2}}}&0&0&0\\0&-(1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}})&0&0\\0&0&-(1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}})&0\\0&0&0&-(1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}})\end{pmatrix}}}$.

Orain,

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=(1+{\frac {2\Phi }{c^{2}}})c^{2}dt^{2}-(1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}})(d{\vec {x}})^{2}=0}$

${\displaystyle (1+{\frac {2\Phi }{c^{2}}})c^{2}dt^{2}=(1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}})(d{\vec {x}})^{2}}$

Beraz, errefrakzio indizea,

${\displaystyle n={\frac {c}{c'}}={\frac {1}{1+{\frac {2\Phi }{c^{2}}}}}\approx 1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}}$.

Gure kasuan ${\displaystyle dl=\left\vert {\frac {d{\vec {x}}}{d\lambda }}\right\vert {}d\lambda }$ non ${\displaystyle \lambda }$ parametro arbitrarioa izango den. Lagrange-Eulerren ekuazioak erabiliz,

${\displaystyle {\frac {d}{d\lambda }}{\partial L \over \partial {\dot {\vec {x}}}}-{\partial L \over \partial {\vec {x}}}=0}$.

${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}}$ argiaren ibilbidearen tangentea izango da. ${\displaystyle \lambda }$ parametroa ondo aukeratuz, ${\displaystyle \vert {\dot {\vec {x}}}\vert =1}$ egingo dugu eta ${\displaystyle {\vec {e}}={\dot {\vec {x}}}}$.

Ondorioz, ${\displaystyle {\frac {d}{d\lambda }}(n{\vec {e}})-{\vec {\nabla }}{n}=0}$. Kalkuluak eginez, ${\displaystyle {\dot {\vec {e}}}\approx -{\frac {2}{c^{2}}}{\vec {\nabla }}_{\perp }\Phi }$.

Desbideraketa angelua hurrengo adierazpenarekin lortu dugu,

${\displaystyle {\widehat {\vec {\alpha }}}={\frac {2}{c^{2}}}\int _{\lambda _{A}}^{\lambda _{B}}{{\vec {\nabla }}_{\perp }\Phi }d\lambda }$.

Lortutako adierazpena ez da erabilgarria izango argiaren ibilbidearen gainean integratu beharko dugulako. Dena den, angelua txikia izatea espero dugu. Hortaz, dispertsiorako Born-en hurbilketa erabili ahal izango dugu eta perturbatu gabeko ibilbidearen gainean integratu ahal izango dugu.

Suposatu, beraz, argiaren izpia ${\displaystyle +{\vec {e_{z}}}}$norabidean hedatuko dela eta leiarraren ${\displaystyle z=0}$ puntutik pasatzen dela, b jotze-parametroarekin. Angelua hurrengo adierazpen sinpleagoa izango du,

${\displaystyle {\widehat {\vec {\alpha }}}(b)={\frac {2}{c^{2}}}\int _{-\infty }^{+\infty }{{\vec {\nabla }}_{\perp }\Phi }dz}$.

Leiarra masa puntual bat izango balitz,

${\displaystyle \Phi =-{\frac {GM}{r}}}$ , non ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ eta ${\displaystyle b={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

Integralean ordezkatuz,

${\displaystyle {\widehat {\vec {\alpha }}}(b)={\frac {2GM}{c^{2}}}{\binom {x}{y}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dz}{(b^{2}+z^{2})^{3/2}}}={\frac {4GM}{c^{2}b}}{\binom {cos\phi }{sin\phi }}}$ non ${\displaystyle {\binom {x}{y}}=b{\binom {cos\phi }{sin\phi }}}$.

${\displaystyle \vert {\widehat {\vec {\alpha }}}(b)\vert ={\frac {4GM}{c^{2}b}}=2{\frac {R_{s}}{b}}}$ non ${\displaystyle R_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$ Schwarzschilden erradioa den.

Argiaren abiadura moteldua izango denez eremu grabitatorioaren ondorioz, ${\displaystyle c'=c/n}$, bidai denbora luzeagoa izango da, diferentzia hurrengo faktorea ezarriz,

${\displaystyle \Delta t=\int {\frac {dl}{c'}}-\int {\frac {dl}{c}}=\int (n-1)dl=-{\frac {2}{c^{3}}}\int \Phi dl}$.

Denboraren diferentzia honek Shapiro atzerapena du izena.

Grabitazio-leiarraren eskema geometrikoa

Grabitazio-leiarraren eskema geometrikoari jarraituz, defini dezagun ardatz optikoa leiarraren planoarekiko perpendikularra dena. ${\displaystyle {\vec {\hat {\alpha }}}}$ dugu kasu honetan desbideraketa angelua. Desbideraketaren ondorioz, behatzaileak ${\displaystyle {\vec {\theta }}}$ angelua sortzen duen irudia ikusiko du. ${\displaystyle {\vec {\theta }},{\vec {\beta }},{\vec {\alpha }}}$ txikiak badira, jatorrizko irudiaren eta behatutako irudiaren arteko erlazioa sinplifikatuko da konstrukzio geometriko batzuk eginez. Erlazio hori leiarren ekuazioa du izena,

${\displaystyle {\vec {\theta }}D_{s}={\vec {\beta }}D_{s}+{\vec {\hat {\alpha }}}D_{ds}}$ .

Desbideraketa angelu laburtua: ${\displaystyle {\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})\equiv {\frac {D_{ds}}{D_{s}}}{\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {\theta }})}$.

Materia banaketaren leiar potentzial efektiboa hiru dimentsiotako Newtonen potentzialaren proiekzioa leiar planoan eginez lortzen da,

${\displaystyle {\hat {\Psi }}={\frac {2D_{ds}}{c^{2}D_{d}D_{s}}}\int \Phi (D_{s}{\vec {\theta }},z)dz}$.

Funtzioaren dimentsio gabeko baliokidea,

${\displaystyle \Psi ={\frac {D_{d}^{2}}{\xi _{0}^{2}}}{\hat {\Psi }}}$ non ${\displaystyle {\vec {x}}\equiv {\frac {\vec {\xi }}{\xi _{0}}}}$ den.

• ${\displaystyle \Psi }$-ren gradienteak desbideraketa angelua emango du: ${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{x}\Psi ({\vec {x}})={\vec {\alpha }}({\vec {x}})}$.

• ${\displaystyle \Psi }$-ren laplacearrak konbergentziaren bikoitza emango du: ${\displaystyle \Delta _{x}\Psi ({\vec {x}})=2\kappa ({\vec {x}})}$.

Grabitazio-leiar bortitzean Einsteinen eraztunak, arkuak eta irudi anizkoitzak erraz behatuko dira. Bortitz moduan izendatua bada ere, benetako efektua nahiko txikia izango da. Adibidez, ehun mila milioi eguzki masako galaxia batek sortutako irudiak arku-segundo batzuetako diferentziak izango dituzte. Galaxia kumuluek arku-minututako diferentziak sor ditzakete. Kasu bietan argi-iturria eta galaxiak ehunka megaparsec-eko distantziatara egongo dira.

Ahulean leiarraren efektuak oso txikiak izango dira. Kasu honetan iturri askoren behaketa eta behaketen azterketa estatistikoa eginez distortsio oso txikiak lor daitezke. Galaxia urrunen forma eta orientazioak neurtuz, leiar eremuaren ebakidura neurtzea posible izango da. Gainera, metodo hori erabilia izan daiteke gune baten materia banaketa deskribatzeko, eta, ondorioz, materia ilunaren banaketa deskribatzeko. Grabitazio-leiar ahulen behaketak garrantzitsuak izango dira Lambda-CDM-eredua hobeto ulertzeko eta deskribatzeko, baita behaketa kosmologikoen oinarria frogatzeko ere. Energia ilunaren ikuspegi desberdinak deskribatzeko aukera eman dezake etorkizunean.

Mikroleiarretan argiaren desbideraketarik ezin izango da behatu. Hori beharrean, argi kantitatea denborarekin aldatuko dela ikusiko da. Leiar-objektuak, orokorrean, Esne Bideko izarrak izango dira, eta, argi-iturria, galaxia urrun bateko izarrak izanik. Beste kasu batzuetan, galaxia urrun bateko izar batek leiar moduan joka dezake eta are urrunago dagoen galaxia baten izarra argi-iturri gisa. Grabitazio-leiar honen lehenengo behaketa MACS J1149 Leiar Izarra 1 (Icarus izentzat ezagutua) izan zen. Azken hau, orain arte behatu den izar urrunena izan da, mikroleiar efektuari esker.