Fraktal

Fraktalen lehen ereduak aurkitzeko XIX. mendearen amaiera aldera joan beharra dago: 1872an Weierstrassen funtzioa agertu zen, honen grafoa gaur egun fraktaltzat hartzen dena, etengabekoa baina puntu bakar batean ere ezberdin ezin zitekeen funtzio bezala.

Kochen kurbaren eraikuntzaren pausoak.

Beranduago, antzeko propietateak baina definizio geometrikoago bat zuten ereduak agertu ziren. Eredu horiek hasierako irudi batetik (hazia) hasita eraiki zitezkeen, zeini eraikuntza geometriko sinpleak aplikatzen zitzaizkion. Lortutako irudien saila gaur egun talde fraktal deitzen denarekin bat zetorren mugako irudi batetik gertu zegoen. Honela, 1904an, Helge von Kochek Weierstrassenaren antzeko propietateak zituen kurba bat definitu zuen: Kochen elur maluta. 1915ean Waclaw Sierpinskik bere hirukia sortu zuen, eta urte bete geroago, bere tapiza.

Sierpinskiren tapizaren eraikuntza:
1. pausoa (hazia)	2. pausoa	3. pausoa	4. pausoa	5. pausoa

Talde hauek analisi klasikoaren mugak erakusten zituzten, baina objektu artifizial bezala ikusten ziren, "munstroen galeria" bat, Henri Poincarék deitu zituen bezala. Matematikari gutxik ikusi zuten objektu hauek eurez ikertzeko beharra.

1919an talde hauen deskribapen eta neurketan oinarrizkoa zen tresna bat agertu zen: Hausdorff-Besikobitxen dimentsioa.

Talde hauek, Pierre Fatou eta Gaston Juliak 1920ko hamarkadan eginiko lanen emaitza direnak, ${\displaystyle z\mapsto f(z)\mapsto f(f(z))\mapsto \ldots }$ funtzio holomorfoen etengabeko aplikazioen ondorio bezala agertzen dira.

Bat baino handiago den mailako funtzio polinomikoen kasu berezia azter dezagun. Zenbait aldiz jarraian funtzio polinomiko bat aplikatzean litekeena da emaitzak ${\displaystyle \infty }$rantz jotzea. Operazio honen bidez infinituari ihes egiten ez dioten ${\displaystyle z\in C}$en balioen multzoari Juliaren multzo betea deritzo, eta bere mugari, soilik Julia multzoa.

Multzo hauek ihes denborazko algoritmo baten bidez irudikatzen dira, non pixel bakoitza ihes egiteko behar dituen iterazioen arabera koloreztatzen den. Kolore berezi bat erabiltzen ohi da, sarri beltza, iterazio kopuru handi eta aurrefinkatutako baten ondoren ihes egin ez duten puntuak irudikatzeko.

Julia multzoen adibideak ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$rentzat

• 
  Beltzez, f_c, c=1ri-φ lotutako Julia multzoa, non φ urrezko zenbakia den
• 
  f_c, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.4+0.6ri lotutako Julia multzo betea
• 
  f_c, c=-0.835-0.2321iri lotutako Julia multzo betea

Beltzez, Mandelbrot multzoaren irudia Julia multzo beteekin gainjarria eta bere puntuetako batzuekin irudikatua (gorriz Julia multzo konektatuak eta urdinez konektatu gabeak).

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ formaren funtzio errepikapenera lotutako ${\displaystyle \{f_{c}\}}$ Julia multzoen familiak barietate harrigarriko multzoak ditu.

Familia honek garrantzi berezia izango zuen, 1980ko hamarkadan ezagun egin zen fraktal mapa batean parametrizatua geratzean, Mandelbrot multzoa deitu zena. M multzo honek mapa bat irudikatzen du, non, pixel bakoitza, ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ parametroaren balio bati dagokiona, ${\displaystyle f_{c}}$ri lotutako Julia multzoaren oinarrizko propietate bat irudikatzeko moduan koloreztatzen den. Zehazki ${\displaystyle c\in M}$ ${\displaystyle f_{c}}$ loturiko Julia multzoa multzo konektatu bat baldin bada.