Geometria ez-euklidear

XIX. mendearen hasieran, eta modu independentean, Gaussek (1777-1855), Lobachevskyk (1792-1856), János Bolyaik eta Ferdinand Schweickardek geometria hiperbolikoa eraikitzea lortu zuten, Euklidesen bosgarren postulatua ukatu eta kontraesana lortzen saiatuz. Kontraesana lortu ordez, geometria bitxi bat lortu zuten, non triangelu baten hiru angeluek 180º baino gutxiago batzen zuten (geometria euklidearrean, edozein triangeluren angeluek 180º batzen dute beti).

Geometria horren naturaltasuna mendearen amaieran berretsi zen. Beltramik frogatu zuen geometria hiperbolikoa bat datorrela gainazal jakin baten geometria intrintsekoarekin, eta Klein-ek geometria hiperbolikoaren interpretazio proiektiboa eman zuen. Bi emaitzek frogatzen dute geometria euklidearra bezain tinkoa dela (hau da, geometria hiperbolikoak kontraesanen batera eramaten badu, orduan geometria euklidearrak ere bai).

Batzuek diote Gauss izan zela lehena Unibertsoaren geometria ez-euklidearra izan zitekeela kontsideratzen. Izan ere, geometria hiperbolikoan edozein triangeluren angeluen batura bi angelu zuzen baino txikiagoa dela jakinik, Gauss teodolito batekin hiru mendiren gailurrera igo zela esaten da. Hala ere, bere tresneriaren zehaztasuna ez zen nahikoa izan esperimentu horren bidez zalantzak argitzeko.

Geometria eliptikoa kurbadura konstanteko bigarren geometria mota da. Honen adibide bat kurbadura positiboa eta konstantea duen Riemannen barietate bat da. Geometria eliptikoaren modelo klasikoa n dimentsiotan n-esfera da.

Geometria eliptikoan, lerro geodesikoek geometria euklidearreko lerro zuzenen antzeko zeregina dute, desberdintasun garrantzitsu batzuekin. Bi punturen arteko gutxieneko distantzia lerro geodesiko baten bidez emanda egon arren,  kurbadura minimoko lerroak ere badira.

Euklidesen bosgarren postulatua ez da baliozkoa geometria eliptikorako. Izan ere, geometria horren "zuzen" bat (hau da, lerro geodesiko bat) eta bertan ez dagoen puntu bat emanda, ezin da lehenengoa ebakitzen ez duen geodesikorik marraztu.

Ikuspuntu orokorretik abiatuta, beraz, geometria euklidearra, geometria eliptikoaren eta geometria hiperbolikoaren arteko muga-kasu bat da. Izan ere, geometria euklidearra kurbadura nuluko geometria da. Horrela, frogatu daiteke kurbadura nulua duen edozein espazio geometriko (edo Riemannen edozein barietate) eta espazio euklidearra lokalki isometrikoak direla. Hortaz, bi aukera posible daude kurbadura nulua duen espazio geometriko batentzat: espazio euklidearra edo bere zati baten berdina izatea.

Kurbadura konstanteko Riemannen kurbadura-tentsorea ondorengo adierazpenaren bidez emanda dago:

${\displaystyle R_{ijkl}=C(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})}$

non ${\displaystyle g_{ij}}$ kurba koordenatuen bidez adierazitako metrika tentsorea den. ${\displaystyle R_{ij}}$ Ricci-ren tentsorea eta ${\displaystyle S}$ kurbadura eskalarra  metrika tentsorearekiko eta kurbaturearekiko proportzionalak dira, hurrenez hurren:

${\displaystyle R_{ij}=(n-1)Cg_{ij}}$ , ${\displaystyle S=n(n-1)C}$ non ${\displaystyle n}$ espazioaren dimentsioa den.

Beste alderdi interesgarri bat da, bai geometria hiperbolikoan, bai eliptiko homogeneoan espazio osoko isometria-taldea ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$ dimentsioko Lie-ren talde bat dela. Hau ${\displaystyle n}$ dimentsioko espazio euklidear bateko isometria-taldearen dimentsioarekin bat dator (nahiz eta hiru taldeak desberdinak izan).

Gaussek proposatuta, Riemannenek geometriaren hipotesiari buruz lan egin zuen. Bere tesian, infinitesimalki (hau da, eskualde oso txikietan) euklidearrak diren geometria posibleak hartzen ditu kontuan Riemannek, eta horreratik haien azterketa gaur egun Riemannen geometria izenez ezagutzen da. Geometria horiek, oro har, ez dira homogeneoak. Hau da, espazioaren propietate batzuk puntu batetik bestera alda daitezke, batez ere kurbaduraren balioa.

Geometria horiek aztertzeko, Riemannek kurbadura-tenkagailuaren formalismoa erabili zuen, eta frogatu zuen geometria euklidearra, geometria hiperbolikoa eta geometria eliptikoa Riemannen geometrien kasu partikularrak direla, kurbadura-tentsioaren balio konstantez karakterizatuak. Riemannen geometria orokor batean, kurbadura-tenkagailuak balio aldakorrak izango ditu geometria horretako zenbait puntutan.

Horren ondorioz, geometria ez da homogeneoa, eta puntu batzuk besteetatik bereizteko aukera ematen du. Hori garrantzitsua da erlatibitate orokorraren teorian; izan ere, printzipioz, distantziak eta angeluak neurtzeko esperimentuak egin daitezke, espazioko puntu batzuk besteetatik bereizteko.

Azkenik, Riemannen geometriaren alderdi interesgarri bat da, kurbadura konstantea ez bada, espazioko isometria-taldearen dimentsioa erabat txikiagoa dela honako hau baino: ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$, ${\displaystyle n}$ espazioaren dimentsioa izanik. Erlatibitate orokorraren arabera, materiaren banaketa oso irregularra duen espazioko denbora batek zero dimentsioko isometria tribilialeko talde bat izan lezake.

Riemannen ideietan eta emaitzetan oinarrituta, Einsteinek 1920.urtearen inguruan, erlatibitate orokorraren teorian, unibertsoaren egitura geometrikoaren auziari heltzen dio. Bertan erakusten du espazio-denboraren geometriak kurbadura duela: hain zuzen ere, eremu grabitatorio bezala ezagutzen dena. Grabitatearen eraginez, gorputzek ahalik eta lerrorik zuzenenak jarraitzen dituzte dagokien geometrian. Lerro horiei  geodesikoak deritze.

Gainera, Einsteinen ekuazioak adierazten duen moduan, behatzaile bakoitzarentzat, espazioaren batez besteko kurbadura eta behatutako dentsitatea bat datoz, faktore konstante batean izan ezik. Horrela, Gaussen ikuspegia  betetzen da: “grekoek egindako geometria-espazioaren egitura infinitesimala da; egitura geometriko hori orokortzean, kurbadura du”.