Geometria analitiko

Menecmo matematikari grekoak problemak ebatzi eta teoremak frogatu zituen koordenatuen erabileraren oso antzekoa zen metodo bat erabiliz. Hori dela eta, geometria analitikoa sortu zuela esan izan da.[4]

Pergeko Apoloniok, "De Sectione Determinata" izeneko lanean, dimentsio bateko geometria analitiko dei dakiokeen moduan landu zituen problemak; zuzen batean besteen proportzioan zeuden puntuak aurkitzeko problemarekin aritu zen. Gainera, Apoloniok geometria analitikoaren oso antzekoa den metodo bat garatu zuen "Conics" lanean. Hain da antzekoa, haren lanak Descartesen lanari 1800 urtez aurrea hartu ziola esan ohi dela. Erreferentzia-lerroak, diametroa eta tangentea erabili zituen gaur egun koordenatu-sistema erabiltzen den antzeko moduan; diametroan zehar tangentzia-puntutik neurtutako distantziak abzisak dira, eta ardatzaren eta kurbaren artean tangentearekiko paraleloak diren segmentuak ordenatuak dira. Gainera, abzisen eta dagozkien ordenatuen arteko erlazioak garatu zituen, kurben ekuazio erretorikoen (hitzetan adieraziak) baliokideak direnak. Hala ere, nahiz eta Apolonio geometria analitikoa garatzetik hurbil egon, ez zuen lortu, ez baitzituen kontuan hartu magnitude negatiboak. Koordenatu-sistema emandako kurba batean a posteriori gainjartzen zen, a priori egin beharrean. Hau da, ekuazioak kurben bidez zehaztuta zeuden, baina kurbak ez zeuden ekuazioen bidez zehaztuta. Koordenatuak, aldagaiak eta ekuazioak egoera geometriko jakin bati aplikatutako nozio lagungarriak ziren.

XI. mendeko Omar Jayam matematikari persiarrak harreman estua ikusi zuen geometriaren eta aljebraren artean, eta zuzen zebilen aljebra numerikoaren eta geometrikoaren arteko tartea osatzen lagundu zuenean ekuazio kubiko orokorren soluzio geometrikoarekin. Hala ere, urrats erabakigarria Descartesek eman zuen.[5] Omar Jayami geometria aljebraikoaren oinarriak identifikatzea egozten zaio, eta geometria analitikoaren printzipioak ezarri zituen Tratado sobre la demostración de problemas de álgebra y equilibrio (1070) liburua, gerora Europara iritsi zen matematika pertsiarren parte da.[6] Ekuazio aljebraikoen ikuspegi geometriko osoa dela eta, Jayam Descartesen aitzindaritzat har daiteke geometria analitikoaren asmakuntzan.[7] 

Geometria analitikoa René Descartesek eta Pierre de Fermatek[8][9] modu independentean asmatu zuten, nahiz eta batzuetan asmakuntzaren ospea Descartesi ematen zaion.[10] Geometria kartesiarrak, geometria analitikorako erabiltzen den beste terminoak, Descartesen izena darama.

Descartesek metodoetan aurrerapen nabarmena egin zuen La Géométrie izeneko saiakeran. Frantsesez idatzi zuen, bere ama-hizkuntza, eta 1637an argitaratu zen Metodoaren diskurtsoa lanarekin batera. La Géométrie saiakerak eta haren printzipio filosofikoek Europan Kalkuluaren oinarriak finkatzen lagundu zuten. Hasieran, lana ez zen ondo hartu, argudioetan eta ekuazio konplexuetan hutsune asko zeudelako. Latinerara itzuli ondoren eta Frans van Schootenek 1649an iruzkinak gehitu eta beste lan batzuk egin ondoren, Descartesen maisulanak behar bezalako onarpena jaso zuen.[11]

Pierre de Fermat ere aitzindaria izan zen geometria analitikoaren garapenean. Bizi izan zen artean argitaratua izan ez zen arren, Ad locos plano et solidos isagoge (Leku lau eta solidoetarako sarrera) izeneko eskuizkribua ezaguna zen Parisen 1637an, Descartesen Metodoaren diskurtsoa argitaratu baino lehentxeago.[12][13] Argi idatzita eta ongi jasoa, Sarrerak geometria analitikorako oinarriak ere ezarri zituen. Fermaten eta Descartesen tratamenduen arteko diferentzia nagusia ikuspuntuan dago: Fermat beti ekuazio aljebraiko batekin hasten zen, eta, gero, ekuazio hori betetzen zuen kurba geometrikoa deskribatzen zuen; Descartes, aldiz, kurba geometrikoekin hasten zen, eta haien ekuazioak sortzen zituen kurben propietate moduan. Ikuspegi horren ondorioz, Descartesek ekuazio konplexuagoei aurre egin behar izan zien eta maila handiagoko ekuazio polinomikoekin lan egiteko metodoak garatu behar izan zituen. Leonhard Eulerrek aplikatu zuen lehen aldiz koordenatuen metodoa, gainazal eta kurba espazialen azterketa sistematiko batean.

Koordenatu-pareen bidez plano kartesiarrean kokatutako zortzi puntu.

Plano batean (paper milimetratuan, adibidez) bi zuzen marrazten dira, haien artean perpendikularrak direnak (ardatzak) —normalean, bietako bat horizontala eta bestea bertikala marrazten dira—, eta planoko puntu bakoitza puntutik ardatz bakoitzetara dagoen distantzien arabera zehaztuta geratzen da. Zeinuaren bidez adierazten da zuzen bakoitzak zehaztutako zein erdiplanotan neurtuko den distantzia. Zenbaki pare hori, koordenatuak, ${\displaystyle (x,y)}$ bikote ordenatu baten bidez adierazten da, ${\displaystyle x}$ ardatz baterako distantzia izanik (normalean, ardatz bertikalera) eta ${\displaystyle y}$ beste ardatzerako distantzia (horizontalera).

${\displaystyle x}$ koordenatuan, zeinu positiboak distantzia ardatz horizontalean (abzisa) eskuinerantz hartzen dela adierazten du, eta negatiboak aldiz, ezkerrerantz. ${\displaystyle y}$ koordenaturako, zeinu positiboak distantzia ardatz bertikalean (ordenatua) gorantz hartzen dela adierazten du, eta negatiboak beherantz. Zeinu positiboak normalean ez dira jartzen, negatiboak aldiz beti jartzen dira.

${\displaystyle x}$ koordenatuari puntuaren abzisa esaten zaio, eta ${\displaystyle y}$ koordenatuari puntuaren ordenatua.

Beraz, abzisa-ardatzeko puntuen ordenatua ${\displaystyle 0}$ da eta puntuak ${\displaystyle (x,0)}$ formakoak dira; ordenatu-ardatzeko puntuen abzisa, aldiz, ${\displaystyle 0}$ da eta puntuak ${\displaystyle (0,y)}$ formakoak dira.

Bi ardatzak gurutzatzen diren puntua ${\displaystyle 0}$ distantziara dago bi ardatzetatik; beraz, abzisa ${\displaystyle 0}$ da eta ordenatua ere ${\displaystyle 0}$. Puntu hori ${\displaystyle (0,0)}$ puntua da eta koordenatu-jatorri deritzo.

Hiru punturi (berdea, gorria eta urdina) esleitutako koordenatuak; ardatzen gaineko proiekzio ortogonalak koordenatu kartesiarrak dira.

Elkarren artean perpendikular diren bi zuzen orientatu (ardatz) hartzen dira, "x" eta "y", jatorri komuna dutenak bi zuzenen O ebaki-puntuan.

P puntu baten koordenatuak zehazteko, zera egin behar da:

P puntutik pasatzen diren eta ardatzekiko perpendikularrak diren zuzenak egiten dira. Ardatz bakoitzarekin ebaki-puntu bat lortzen da: P' (x ardatzean) eta P'' (y ardatzean).

Bi puntu horiek P puntuaren proiekzio ortogonalak dira x eta y ardatzetan.

P' eta P'' puntuek jatorrira duten distantzia zenbaki batez adierazten da. P' puntua O-ren ezkerrean badago, zenbaki hori negatiboa da. Modu berean, P'' puntua O puntuaren azpitik badago, zenbaki hori negatiboa da.

P' eta P'' puntuekin erlazionatutako zenbaki horiek, ordena horretan, P puntuaren koordenatuen balioak dira.

1. adibidea: P' puntua O-ren eskuinaldean dago, 2 unitateko distantziara. P'' puntua O-tik gora dago, 3 unitateko distantziara. Beraz, P-ren koordenatuak (2, 3) dira.

2. adibidea: P' puntua O-ren eskuinean dago, 4 unitate. P'' puntua O-tik behera dago, 5 unitate. Beraz, P-ren koordenatuak (4, -5) dira.

3. adibidea: P' puntua O-ren ezkerraldean dago, 3 unitate. P'' puntua O-tik behera dago, 2 unitate. Beraz, P-ren koordenatuak (-3, -2) dira.

4. adibidea: P' puntua O-ren ezkerraldean dago, 6 unitate. P'' puntua O-tik gora dago, 4 unitate. Beraz, P-ren koordenatuak (-6, 4) dira.

Zuzena honako baldintza betetzen duten planoko puntuen leku geometrikoa da: edozein bi puntu hartuta, maldaren kalkulua konstantea da beti.

Zuzenaren ekuazio orokorra honako hau da:

${\displaystyle Ax+By+C=0\,}$

non malda m = -A/B den, eta jatorrirako ordenatua b = -C/B den.

Planoko zuzen bat horrelako funtzio lineal baten bidez adierazten da:

${\displaystyle y=mx+b\,}$

Adierazpen orokor gisa, funtzio horri puntu-malda ekuazioa deitzen zaio. Bi kasu partikular bereiz daitezke. Zuzen batek ardatzetako bat ebakitzen ez badu, ardatzarekiko paraleloa delako izango da. Bi ardatzak perpendikularrak direnez, bietako bat mozten ez badu, bestea nahitaez moztu behar du (funtzioa jarraitua bada zenbaki erreal guztietarako). Hiru kasu daude:

• Zuzenaren ekuazioak planoan
• 
  Zuzen zeihar
• 
  Zuzen horizontal
• 
  Zuzen bertikal

• Zuzen bertikalek ez dute ordenatu-ardatza ebakitzen eta ardatz horrekiko paraleloak dira; zuzen bertikal deritze. Abzisa-ardatzarekin ${\displaystyle (x_{0},0)}$ puntuan dute ebaki-puntua. Zuzen horien ekuazioa honakoa da:

${\displaystyle x=x_{0}\,}$

• Zuzen horizontalek ez dute abzisa-ardatza ebakitzen eta, beraz, ardatz horrekiko paraleloak dira; zuzen horizontal deritze. Ordenatu-ardatzarekin .${\displaystyle (0,y_{0})}$ puntuan dute ebaki-puntua. Zuzen horien ekuazioa honakoa da:

${\displaystyle y=y_{0}\,}$

• Beste edozein zuzen motari zuzen zeihar deritzo. Abzisa-ardatzarekin ${\displaystyle (a,0)}$ ebakitze-puntua dute eta ordenatu-ardatzarekin ${\displaystyle (0,b)}$. ${\displaystyle a}$ balioak abzisa jatorrian izena hartzen du, eta ${\displaystyle b}$ balioak ordenatua jatorrian.

Plano baten eta kono baten arteko ebakiduraren hiru adibideak: parabola (A), elipsea (B) eta hiperbola (C).

Kono baten gainazalaren eta plano baten arteko ebakiduraren ondorioz, sekzio koniko deritzenak sortzen dira: parabola, elipsea (zirkunferentzia elipse kasu berezi bat da) eta hiperbola.[17]

• Parabola foku izeneko puntu finko batetik eta zuzentzailea izeneko zuzen finko batetik distantzia berera dauden puntu guztien leku geometrikoa da.

Abzisa-ardatzarekiko paraleloa den simetria-ardatza duen parabola bat (A irudia) ekuazio honen bidez adierazten da:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

• Elipsea honako baldintza betetzen duten puntuen leku geometrikoa da: foku izeneko bi puntu finkotarako distantzien batura konstante positibo bat da beti, eta erpinen arteko distantziaren berdina.

Ardatzetan zentratuta dagoen eta ardatzerdien luzerak a eta b dituen elipsea (B irudia), horrela adierazten da:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}$

• Bi ardatzak berdinak badira eta c izendatzen baditugu:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{c^{2}}}=1\,}$

emaitza zirkunferentzia bat da:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}\,}$

• Hiperbola honako baldintza betetzen duten puntuen leku geometrikoa da: foku izeneko bi puntu finkotara duten distantzien kenketaren balio absolutua konstante positibo bat da beti, eta erpinen arteko kenketaren berdina.

Hiperbola (C irudia) horrela adierazten da:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

• Sekzio konikoak
• 
  y=ax2 motako parabolak, a=4, 1, 1/4 eta 1/10 izanik
• 
  jatorrian zentratutako zirkunferentzia eta bere ekuazioa
• 
  xy=1 hiperbola

Koordenatu kartesiarretan, konikak forma aljebraikoan adierazten dira, honako forma duten (x,y) bi aldagaiko ekuazio koadratikoen bidez:

${\displaystyle ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\,}$

Parametroen balioen arabera, zera lortuko da:

h²–ab: hiperbola.

h² = ab: parabola.

h²’ab: elipsea.

a = b eta h = 0: zirkunferentzia.

Elipsoidea.

Modu berean arrazonatuz, ardatz koordenatuak eraiki daitezke espazioko puntu baterako eta zenbakien hirukote ordenatu baterako. Horretarako, X eta Y ardatzekiko perpendikularra den hirugarren zuzen bat sartu besterik ez da egin behar: Z ardatza.[18]

Hala ere, zuzen baten maldaren kontzeptuaren parekorik ez dago. Horrelako ekuazio lineal bakar batek:

${\displaystyle \,ax+by+cz=0}$

espazioan plano bat adierazten du. Hiru dimentsioko espazioan zuzen bat ekuazioen bidez adierazi nahi bada, aurrekoa bezalako bi ekuazio lineal zehaztu behar ditugu. Izan ere, zuzenak bi planoren ebakidura gisa idatz daiteke. Hala, zuzen bat espazioan horrela adieraz daiteke:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}\end{cases}}}$

Kontuan hartu behar da aurreko adierazpena ez dela bakarra, zuzen bera plano-bikote desberdinen ebakidura moduan adieraz baitaiteke.