Geometria

Euklidesen paraleloen postulatuaren ilustrazioa.

Euklidesek geometriaren ikuspegi abstraktua hartu zuen bere Elementuetan[5], inoiz idatzi den libururik garrantzitsuenetako bat[6]. Euklidesek zenbait axioma edo postulatu sartu zituen, puntuen, zuzenen eta planoen propietate primarioak edo nabariak adierazten zituztenak[7]. Jarraian, arrazoiketa matematikoaren bidez beste propietate batzuk zorrozki deduzitu zituen. Euklidesen geometriak zorroztasuna zuen ezaugarri, geometria axiomatikoa edo sintetikoa deitu izan zaiona[8]. XIX. mendearen hasieran, Nikolai Ivanovitx Lobatxevskik (1792-1856), János Bolyaik (1802-1860), Carl Friedrich Gaussek (1777-1855) eta beste batzuek[9] euklidiarrak ez ziren geometriak aurkitu zituztenean, berriro piztu zen diziplina horrekiko interesa, eta XX. mendean, David Hilbertek (1862-1943) arrazonamendu axiomatikoa erabili zuen geometriari oinarri modernoa emateko[10].

Puntuak geometria eraikitzeko funtsezko objektutzat hartzen dira. Izan behar dituzten propietateen arabera defini daitezke, hala nola Euklidesen definizioan "parterik ez duena" bezala[11], edo geometria sintetikoan. Geometria klasikoan, puntuek ez dute ez luzera, ez zabalera, ez altuerarik. Matematika modernoetan, espazio izeneko multzo baten elementu gisa definitu ohi dira, eta multzo hori axiomatikoki definituta dago.

Definizio moderno horiekin, forma geometriko oro puntu-multzo gisa definitzen da; ez da gauza bera gertatzen geometria sintetikoan, non zuzen bat beste funtsezko objektu bat den, igarotzen den puntuen multzotzat hartzen ez dena.

Hala ere, geometria modernoetan puntuak ez dira objektu primitiboak, eta badira ere punturik gabeko geometriak[12]. Zaharrenetako bat Whiteheaden punturik gabeko geometria da, Alfred North Whiteheadek 1919-1920an formulatua.

Euklidesek lerro bat "zabalerarik gabeko luzera" bezala deskribatu zuen, "bere baitako puntuekiko era berean aurkitzen dena"[11]. Matematika modernoetan, geometria ugari dagoenez, zuzenaren kontzeptua geometria deskribatzeko moduari estuki lotuta dago. Adibidez, geometria analitikoan, planoko zuzen bat ekuazio lineal jakin bat asetzen duten koordenatuak dituzten puntuen multzo gisa definitu ohi da[13], baina ingurune abstraktuago batean, intzidentzia-geometrian adibidez, zuzen bat objektu independente bat izan daiteke, haren gainean dauden puntu-multzoaz bestelakoa[14]. Geometria diferentzialean, geodesika lerroaren nozioa espazio kurbatuetara orokortzea da.

Geometria euklidiarrean, plano bat bi dimentsioko azalera laua da[11], infinituki hedatzen dena; beste geometria mota batzuen definizioak honen orokortzeak dira. Planoak geometriaren alor askotan erabiltzen dira. Adibidez, planoak gainazal topologiko gisa azter daitezke, distantziei edo angeluei erreferentzia egin gabe[15]; antzeko espazio gisa azter daitezke, non kolinealtasuna eta erlazioak azter daitezkeen[16], baina ez distantziak; plano konplexu gisa azter daitezke, analisi konplexuko teknikak erabiliz[17]; eta abar.

Euklidesek angelua elkarrekiko inklinazio gisa definitzen du, plano horretan dauden edozein bi zuzenean artean ez badira elkarrekiko paralelo[11]. Termino modernoetan, angelua bi izpiz osatutako irudia da, angeluaren aldeak deituak, azken puntu komun bat partekatzen dutenak, angeluaren erpina deritzona[18].

Geometria euklidiarrean, angeluak poligonoak eta triangeluak aztertzeko erabiltzen dira, eta, gainera, berezko ezaugarriak dituzte aztertzeko modukoak. Triangelu baten angeluak edo zirkunferentzia unitario baten angeluak aztertzea da trigonometriaren oinarria[19].

Geometria diferentzialean eta kalkuluan, kurba lauen edo kurben edo gainazal espazialen arteko angeluak deribatuaren bidez kalkula daitezke[20][21].

• 
  Angelu zuzena
• 
  Angelu zorrotza
• 
  Angelu laua
• 
  Angelu kamutsa
• 
  Angelu osoa
• 
  Angelu ganbila edo sarkorra
• 
  Angelu ahurra edo irtenkorra

Kurba objektu dimentsiobakarra da, zuzena izan daitekeena (lerro bat bezala) edo ez; bi dimentsioko espazioko kurbei kurba lauak esaten zaie, eta hiru dimentsioko espaziokoei, berriz, espazio-kurbak.

Topologian, kurba bat zenbaki errealetatik beste espazio baterako tarte bateko funtzio baten bidez definitzen da[22]. Geometria aljebraikoak kurba aljebraikoak aztertzen ditu, lehen dimentsioko aldaera aljebraiko gisa definitzen direnak[23].

Esfera bat parametrikoki definitu daitekeen gainazal bat da (x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ)) edo inplizituki (x² + y² + z² − r² = 0.)

Gainazala objektu bidimentsionala da, esfera edo paraboloide bat bezala. Geometria diferentzialean eta topologian, gainazalak "partxe" (edo auzo-partxe) bidimentsionalen bidez deskribatzen dira, eta difeomorfismoen edo homeomorfismoen bidez mihiztatzen dira, hurrenez hurren. Geometria aljebraikoan, azalerak ekuazio polinomikoen bidez deskribatzen dira.

barietate bat topologia-espazio bat da, puntu bakoitzetik hurbil dagoen espazio euklidearraren antzekoa. Zehatzago, n-dimentsio-barietate bat, edo n n-barietate laburtzeko, topologia-espazio bat da, non puntu bakoitzak auzotasun bat baitu, n n-dimentsioko espazio euklidianoaren azpimultzo ireki bati homeomorfoa dena. Dimentsio bakarreko kolektoreek lineak eta zirkuluak dituzte, baina ez lemniskatak. Bi dimentsioko barietateei ere azalera esaten zaie. Hona hemen adibide batzuk: planoa, esfera eta toroidea, Kleinen botila eta benetako plano proiektiboa.

Luzerak, azalerak eta bolumenak objektu baten tamaina edo hedadura deskribatzen dute, dimentsio batean, bi dimentsiotan eta hiru dimentsiotan, hurrenez hurren[24].

Geometria euklidiarrean eta geometria analitikoan, segmentu zuzen baten luzera Pitagorasen teoremaren bidez kalkula daiteke sarri[25].

Azalera eta bolumena luzerarekiko independenteak diren funtsezko magnitude gisa defini daitezke, edo plano edo hiru dimentsioko espazio bateko luzeren arabera deskribatu eta kalkula daitezke. Matematikariek formula esplizitu asko aurkitu dituzte azalerarako eta hainbat objektu geometrikoren bolumenerako. Kalkuluan, area eta bolumena integralekin defini daitezke, hala nola Riemannen integrala[26] edo Lebesgueren integrala[27].

Pitagorasen teoremaren demostrazio txinatarra, Zhoubi Suanjing liburuan, K.a. 500 eta 200 artean idatzia.

Luzeraren edo distantziaren kontzeptua orokortu egin daiteke, metrikaren ideia sortuz[28]. Adibidez, metrika euklidearrak puntuen arteko distantzia neurtzen du plano euklideoan, eta metrika hiperbolikoak, berriz, distantzia plano hiperbolikoan. Metriken beste adibide garrantzitsu batzuk erlatibitate bereziaren Lorentzen metrika eta erlatibitate orokorraren erdi-riemanndar metrika dira[29].

Beste norabide batean, luzeraren, azaleraren eta bolumenaren kontzeptuak zabaldu egiten dira neurketaren teoriarekin. Teoria horrek multzoei tamaina edo neurri bat esleitzeko metodoak aztertzen ditu, non neurriek arearen eta bolumen klasikoaren antzeko arauak jarraitzen dituzten[30].

Kongruentzia eta antzekotasuna bi formek antzeko ezaugarriak noiz dituzten deskribatzen duten kontzeptuak dira. Geometria euklidearrean, antzekotasuna forma bera duten objektuak deskribatzeko erabiltzen da, eta kongruentzia, berriz, tamainan zein forman berdinak diren objektuak deskribatzeko. Hilbertek, geometriarako oinarri zorrotzagoa sortzeko lanean, kongruentzia termino mugagabe gisa tratatu zuen, eta haren propietateak axiomen bidez definitzen dira[29].

Kongruentzia eta antzekotasuna transformazioen geometrian orokortzen dira, transformazio mota desberdinak kontserbatzen dituzten objektu geometrikoen propietateak aztertzen baititu[30].

Geometra klasikoek arreta berezia jartzen zuten beste moduren batean deskribatutako objektu geometrikoen eraikuntzan. Klasikoki, eraikuntza geometriko gehienetan erabiltzen diren tresna bakarrak konpasa eta erregela dira. Gainera, eraikuntza bakoitza urrats kopuru mugatu batean osatu behar zen. Hala ere, arazo batzuk konpontzea zaila edo ezinezkoa izan zen bitarteko horiekin bakarrik, eta neusiak, parabolak eta beste kurba batzuk edo gailu mekanikoak erabiltzen zituzten eraikuntza burutsuak aurkitu ziren.

Kochen elur-maluta, log4/log3 dimentsio fraktalarekin eta 1 dimentsio topologikoarekin.

Geometria tradizionalak dimentsio kontzeptua garatzen du. Dimentsio 1 (lerro bat), 2 (plano bat) eta 3 (espazio tridimentsional gisa sortutako gure giro-mundua) onartzen dituen bitartean, matematikariek eta fisikariek ia bi mende daramatzate dimentsio handiagoak erabiltzen[31]. Goiko dimentsioen erabilera matematikoaren adibide bat sistema fisiko baten konfigurazio-espazioa da, sistemaren askatasun-mailen pareko dimentsioa duena. Adibidez, torloju baten konfigurazioa bost koordenaturen bidez deskriba daiteke.

Topologia orokorrean, dimentsioaren kontzeptua zenbaki naturaletatik dimentsio infinitura (Hilberten espazioak, adibidez) eta zenbaki erreal positiboetara (geometria fraktalean) hedatu da[32]. Geometria aljebraikoan, barietate aljebraiko baten dimentsioak itxuraz ezberdinak diren hainbat definizio jaso ditu, guztiak kasu arruntenetan baliokideak direnak[33].

Simetria forma geometriko, sistema, ekuazio eta beste objektu material edo abstraktu batzuen ezaugarri berezi bat da, transformazio, mugimendu eta aldaketetan oinarritzen dena.[34]

Operazio matematikoan oinarritzen bagara, objektu bat simetrikoa da operazioa aplikatu ondoren objektuak eta bere itxurak aldaketarik gabe jarraitzen dutenean.

Operazio multzo baten ondorioz objektu batetik beste bat sortzen bada bi objektu horiek simetrikoak izango dira. Geometrian, bi dimentsioko simetriaren motako garrantzitsuenak espazio euklidearretan oinarritzen dira: translazioak, birak eta islapenak; baita higitzen direnak ere. Izaki bizidunetan simetria ere ager daiteke.[35]

Geometria euklidearra zentzu klasikoan ezagutzen den geometria da[36]. Mundu fisikoaren espazioa modelatzeko, arlo zientifiko askotan erabiltzen da, hala nola mekanikan, astronomian, kristalografian eta arlo tekniko askotan, hala nola ingeniaritzan[37], arkitekturan[38], geodesian[39], aerodinamikan[40] eta nabigazioan[41]. Herrialde gehienetako derrigorrezko hezkuntza-curriculumak euklidear kontzeptuak aztertzen ditu, hala nola puntuak, zuzenak, planoak, angeluak, triangeluak, kongruentzia, antzekotasuna, irudi solidoak, zirkuluak eta geometria analitikoa[4].

Geometria diferentzialak kalkulua erabiltzen du kurbaturarekin harremana duten problemak ebazteko.

Geometria diferentzialak kalkulu-teknikak eta aljebra lineala erabiltzen ditu geometria-problemak aztertzeko[42]. Fisikan[43], ekonometrian[44] eta bioinformatikan ditu aplikazioak[45], besteak beste.

Bereziki, geometria diferentziala garrantzitsua da fisika matematikorako, Albert Einsteinen erlatibitate orokorrak unibertsoa kurbatua dela dioen postulazioaren ondorioz[46]. Geometria diferentziala intrintsekoa izan daiteke (horrek esan nahi du kontuan hartzen dituen espazioak barietate leunak direla, eta horien egitura geometrikoa Riemannen metrika batek zuzentzen duela, puntu bakoitzetik gertu distantziak nola neurtzen diren zehazten duena) edo kanpokoa (aztertutako objektua ingurumen-espazio euklideo planoren baten zati denean)[47].

Geometria euklidearra ez zen aztertutako geometriaren forma historiko bakarra izan. Geometria esferikoa astronomo, astrologo eta nabigatzaileek erabili zuten luzaroan[48].

Immanuel Kantek zioenez, geometria absolutu bat baino ez dagoela, adimenaren barne-ahalmen baten bidez a priori egiazkotzat ezagutzen dena: geometria euklidearra a priori sintetikoa zen.[49] Hasiera batean, Saccheri bezalako pentsalariek zalantzan jarri zuten ikuspuntu hau, azkenean Bolyai, Lobatxevski eta Gaussen lanetan geometria ez-euklidearraren aurkikuntza iraultzaileak (bere teoria inoiz argitaratu ez zuena[50]) kendu zuena. Euklidear espazio arrunta geometria garatzeko aukera bat besterik ez dela frogatu zuten. Geometriaren gaiari buruzko ikuspegi zabala eman zuen Riemannek 1867an Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Geometriaren oinarri diren hipotesiei buruz) izeneko inaugurazio-hitzaldian[51], hil ondoren bakarrik argitaratua. Riemannen espazioaren ideia berria erabakigarria izan zen Albert Einsteinen erlatibitatearen teoria orokorrerako. Riemannen geometria, luzeraren nozioa definitzen den espazio oso orokortzat hartzen duena, geometria modernoaren zutabeetako bat da[52].

Kikara bat toru bihurtzen.

Topologia funtzio jarraituen propietateez arduratzen den eremua da, eta geometria euklidearraren orokortzetzat har daiteke. Praktikan, topologia espazioen eskala handiko propietateez arduratzen da, hala nola konexutasunaz eta trinkotasunaz.

Topologiaren arloa, XX. mendean garapen masiboa izan zuena, zentzu teknikoan eraldaketa geometria mota bat da, non eraldaketak homeomorfismoak diren. Hori askotan adierazi izan da "topologia gomazko xaflen geometria da" esaldiarekin. Topologiaren azpieremuen artean topologia geometrikoa, topologia diferentziala, topologia aljebraikoa eta topologia orokorra daude.

Geometria aljebraikoaren eremua koordenatuen geometria kartesiarretik garatu zen[53]. Hazkunde-aldiak izan zituen, geometria proiektiboaren, geometria birrazionalaren, barietate aljebraikoen eta aljebra kommutatiboaren sorkuntza eta azterketarekin batera, besteak beste[54]. 1950eko hamarkadaren amaieratik 1970eko hamarkadaren erdialdera arte, garapen fundazional garrantzitsua izan zuen, hein handi batean Jean-Pierre Serre eta Alexander Grothendiecken lanen ondorioz. Horrek eskemak sartzea eta metodo topologikoak gehiago azpimarratzea ekarri zuen, kohomologia-teoria batzuk barne. Milurteko Sariaren zazpi problementako bat, Hodgeren aierua, geometria aljebraikoaren eremua da[55]. Fermaten azken teoremaren Wilesen probak geometria aljebraikoaren metodo aurreratuak erabiltzen ditu zenbakien teoriaren antzinako problema bat ebazteko.

Oro har, geometria aljebraikoak geometria aztertzen du aljebra kommutatiboaren kontzeptuak erabiliz, hala nola, aldagai anitzeko polinomioak[56]. Arlo askotan ditu aplikazioak, hala nola kriptografian[57] eta korden teorian[58].

Geometria konplexuak egitura geometriko modelatuen edo plano konplexutik eratorrien izaera aztertzen du[59][60]. Geometria konplexua geometria diferentzialaren, geometria aljebraikoaren eta aldagai konplexu batzuen analisiaren elkargunean dago, eta korden teorian eta simetria espekularrean aplikazioak aurkitu ditu[61].

Geometria konplexua azterketa-eremu independente gisa agertu zen lehen aldiz, Bernhard Riemannek Riemannen gainazalen azterketan egindako lanetatik abiatuta[62][63]. XX. mendearen hasieran, geometria aljebraikoaren eskola italiarrak Riemannen ildoan lan egin zuen. Geometria konplexuaren trataera garaikidea Jean-Pierre Serreren lanekin hasi zen. Azken horrek sorten kontzeptua sartu zuen gaian eta geometria konplexuaren eta geometria aljebraikoaren arteko erlazioak argitu zituen[64][65]. Geometria konplexuaren aztergai nagusiak barietate konplexuak, barietate aljebraiko konplexuak eta barietate analitiko konplexuak dira, baita holomorfo bektorialak eta espazio horien gaineko sorta koherenteak ere. Geometria konplexuan aztertutako espazioen adibide bereziak Riemannen gainazalak eta Calabi-Yauren barietateak dira, eta espazio horiek korden teorian erabiltzen dira. Zehazki, korden unibertso-orriak Riemann-en gainazalen bidez modelatzen dira, eta superkorden teoriak aurreikusten du 10 dimentsioko espazio-denboran 6 dimentsio gehigarriak Calabi-Yau-ren kolektoreen bidez modelatu daitezkeela.

Esferen paketatzearen ikerketa geometria diskretuaren eremuetako bat da.

Geometria diskretua geometria konbexuarekin estua duen materia da[66][67][68]. Objektu geometriko sinpleen posizio erlatiboaren gaiez arduratzen da nagusiki, hala nola, puntuak, lerroak eta zirkuluak. Adibide batzuk esferen paketatzeen azterketa, triangulazioak, Kneser-Poulsenen aierua, etab. dira[69][70]. Metodo eta printzipio asko partekatzen ditu konbinatoriarekin.

Geometria konputazionala algoritmoez eta objektu geometrikoak manipulatzeko aplikazioez arduratzen da. Historikoki problema garrantzitsuak planteatu izan dira, hala nola bidaiariaren problema, zuhaitz estaltzaile minimoa, ezkutuko lerroak kentzearena edo programazio linealarena[71].

Geometriaren arlo gaztea bada ere, aplikazio asko ditu ikusmen arfizialean, irudiak prozesatzeko, ordenagailuz lagundutako diseinurako, irudigintza medikoetarako, etab[72].

Talde-geometriaren teoria eskala handiko teknika geometrikoak erabiltzen ditu finituki sortutako taldeak aztertzeko[73]. Oso lotuta dago dimentsio txikiko topologiarekin, hala nola Grigori Perelmanen Geometrizazioaren aieruaren frogapenean, Poincaréren aieruaren froga barne hartzen zuena, Milurteko Sariaren Problemetako bat[74].

Taldeen teoria geometrikoa askotan Cayleyren grafoaren ingurukoa da, hau da, talde baten irudikapen geometrikoaren ingurukoa. Beste gai garrantzitsu batzuk kuasi-isometriak, Gromoven talde hiperbolikoak eta angelu zuzeneko Artin taldeak dira[73][75].

Geometria konbexuak euklidear espazioko forma konbexuak eta horien analogorik abstraktuenak ikertzen ditu, sarritan analisi errealeko eta matematika diskretuko teknikak erabiliz. Lotura estua du analisi konbexuarekin, optimizazioarekin eta analisi funtzionalarekin, eta aplikazio garrantzitsuak ditu zenbakien teorian[76].

Geometria konbexua Antzinarokoa da[76]. Arkimedesek eman zuen konbexutasunaren lehen definizio zehatza. Problema isoperimetrikoa, geometria ganbilaren kontzeptu errepikakorra, greziarrek ere aztertu zuten, horien artean Zenodorok. Arkimedesek, Platonek, Euklidesek eta, geroago, Keplerrek eta Coxeterrek politopo konbexuak eta haien propietateak aztertu zituzten. XIX. mendetik aurrera, matematikariek matematika konbexuaren beste arlo batzuk aztertu dituzte, hala nola politopo handienak, gorputz konbexuen bolumena eta azalera, Gaussen kurbadura, algoritmoak, teselatzeak eta saretak.

Ispahango meskitako sabaia, eta bere forma geometrikoak, oso ohikoak arte islamiarrean.

Matematika eta artea era askotara daude lotuta. Adibidez, perspektibaren teoriak erakutsi zuen geometria ez dela figuren propietate metrikoetara mugatzen: perspektiba geometria proiektiboaren jatorria da[77].

Artistek denbora asko daramate diseinuan proportzio kontzeptuak erabiltzen. Vitruviok giza irudiarentzako proportzio idealen teoria konplexu bat garatu zuen[78]. Kontzeptu horiek erabili eta egokitu dituzte artistek, Michelangelotik hasi eta komikietako marrazkilari modernoetaraino[79].

Urrezko proportzioa artean paper eztabaidagarria izan duen proportzio berezia da. Sarritan esaten da estetikoki atseginagoa den luzera-proportzioa dela, eta sarritan baieztatzen da artelan ospetsuetan txertatuta dagoela, nahiz eta adibide fidagarri eta zalantzarik gabekoenak nahita egin zituzten legenda horretaz jabetzen ziren artistek[80].

Teselatuak artean erabili izan dira historian zehar. Arte islamiarrak maiz jotzen du haietara, M. C. Escherren arteak bezala[81]. Escherrek geometria hiperbolikoa ere erabili zuen.

Cezannek proposatu zuen irudi guztiak esferatik, konotik eta zilindrotik eraiki daitezkeela. Gaur egungo artearen teorian hori erabiltzen jarraitzen da, nahiz eta formen zerrenda zehatza autore batetik bestera aldatzen den[82][83].

Geometriak aplikazio asko ditu arkitekturan. Izan ere, geometria diseinu arkitektonikoaren oinarria dela esan izan da[84][85]. Geometriak arkitekturari egiten dizkion aplikazioek barne hartzen dute geometria proiektiboa erabiltzea ikuspegi behartua sortzeko[86], kupulak eta antzeko objektuak eraikitzeko sekzio konikoak erabiltzea, teselazioak erabiltzea eta simetria erabiltzea[87].

Astronomiaren eremua, batez ere izarren eta planeten zeru-esferako posizioen kartografiari eta zeruko gorputzen mugimenduen arteko erlazioaren deskribapenari dagokienez, problema geometrikoen iturri garrantzitsua izan da historian zehar[88].

Geometria riemanndarra eta geometria pseudo-riemanndarra erlatibitate orokorrean erabiltzen dira[89]. Korden teoriak geometriaren hainbat aldaera erabiltzen ditu[90], informazioaren teoria kuantikoak bezala[91].

Geometriak eragin handia izan zuen kalkuluan. Adibidez, René Descartesek koordenatuak sartzeak eta aljebra aldi berean garatzeak etapa berri bat markatu zuten geometriarentzat, kurba lauak bezalako irudi geometrikoak analitikoki irudika zitezkeelako funtzio eta ekuazio moduan. Horrek berebiziko garrantzia izan zuen XVII. mendeko kalkulu infinitesimalaren agerpenean. Geometria analitikoak aurre-kalkuluko eta kalkuluko ikasketa-planen zutabeetako bat izaten jarraitzen du[92].

Beste aplikazio-eremu garrantzitsu bat zenbakien teoria da[93]. Antzinako Grezian, pitagorikoek zenbakiek geometrian zuten papera aztertu zuten. Hala ere, luzera neurtezinen aurkikuntzak kontraesanean jarri zituen haien iritzi filosofikoak[94]. XIX. mendetik aurrera, geometria zenbakien teoriaren problemak ebazteko erabili izan da, adibidez, zenbakien geometriaren bidez edo, oraintsuago, eskemen teoriaren bidez, Fermaten Azken Teoremaren Wilesen frogapenean erabilia[95].