Oinarrizko talde

X espazio topologikoa izanik, oinarri-puntua ${\displaystyle x_{0}}$ duen begizta honako funtzio jarraitua da:

${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$

non ${\displaystyle \gamma (0)}$ iturburu-puntua (begiztaren hasierakoa) eta ${\displaystyle \gamma (1)}$ helburu-puntua (amaierakoa) ${\displaystyle x_{0}}$ puntuaren berdinak diren.

Begizten homotopia

Homotopia bi begizten arteko interpolazio jarraitua da. Zehatzago esanda, ${\displaystyle x_{0}}$ oinarri-puntu bereko ${\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X}$ bi begizten arteko homotopia, horrelako aplikazio jarraitu bat da:

${\displaystyle h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,}$

non,

• ${\displaystyle h(0,t)=x_{0}}$ den ${\displaystyle t\in [0,1]}$ guztietarako, hau da, homotopiaren abiapuntua ${\displaystyle x_{0}}$ da t guztietarako (denbora-parametro moduan hartu ohi da t).
• ${\displaystyle h(1,t)=x_{0}}$ den ${\displaystyle t\in [0,1]}$ guztietarako, hau da, homotopiaren helburu-puntua ${\displaystyle x_{0}}$ da t guztietarako.
• ${\displaystyle h(r,0)=\gamma (r),\,h(r,1)=\gamma '(r)}$ den, ${\displaystyle r\in [0,1]}$ guztietarako.

Halako h homotopia bat existitzen bada, ${\displaystyle \gamma }$ eta ${\displaystyle \gamma '}$ homotopikoak direla esaten da. " ${\displaystyle \gamma }$ eta ${\displaystyle \gamma '}$ homotopikoak dira " erlazioa baliokidetasun-erlazioa da. Ondorioz, honako zatidura-multzoa (baliokidetasun-klaseen multzoa) har daiteke:

.${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\{x_{0}{\text{ puntuan oinarritutako }}\gamma {\text{ begizta guztiak }}\}/{\text{homotopia}}}$

Zatidura-multzo horri (ondoren deskribatzen den talde-egiturarekin batera) X espazio topologikoaren oinarrizko taldea deitzen zaio ${\displaystyle x_{0}}$ oinarri-puntuan. Begizten baliokidetasun-klaseak homotopiarekiko hartzen dira, zatidura-multzo hori erabilgarriagoa eta konputagarriagoa gertatzen delako askotan. Bestela, begizta guztiek osatutako multzoa hartzen da zatidura-multzoan (X-ren begizta-espazioa esaten dena), zenbait helburutarako erabilgarria dena.

Begizten batura

Aurreko definizioaren arabera, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ multzo bat besterik ez da. Talde bihurtzen da begiztak kateatzearen ondorioz. Hortik datorkio oinarrizko talde izena. Zehatzago esateko, bi begizta ${\displaystyle \gamma _{0}}$ eta ${\displaystyle \gamma _{1}}$ izanik, haien arteko biderketa horrela definitutako begizta da:

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]\to X}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}}$

Hala, ${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}}$ begiztan aurrena ${\displaystyle \gamma _{0}}$ begizta zeharkatzen da "abiadura bikoitzarekin", eta gero ${\displaystyle \gamma _{1}}$ "abiadura bikoitzarekin".

Ondorioz, begizten ${\displaystyle [\gamma _{0}]}$ eta ${\displaystyle [\gamma _{1}]}$ bi homotopia-klaseen biderketa definitzen da, ${\displaystyle [\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]}$. Froga daiteke, biderketa hori ez dagoela ordezkarien aukeraketaren mende eta, beraz, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ multzoan ondo definitutako eragiketa dela. Eragiketa horrek ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ multzoa talde bihurtzen du. Haren elementu neutroa begizta konstantea da, ${\displaystyle x_{0}}$ puntuan dagoena t parametroaren balio guztietarako (une oro). Begizta baten homotopia baliokodetasun-klase baten alderantzizkoa begizta bera da, baina kontrako noranzkoan zeharkatzen dena. Formalki,

.${\displaystyle \gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)}$

Hiru begizta ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$ eta ${\displaystyle \gamma _{2}}$ izanik, honako biderketa

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}}$

hiru begizten kateatzea (uztartzea) da, hasteko ${\displaystyle \gamma _{0}}$ zeharkatuz, ondoren ${\displaystyle \gamma _{1}}$ abiadura laukoitzean eta gero ${\displaystyle \gamma _{2}}$ abiadura bikoitzean. Modu berean, hiru begizten biderketa moduan sortutako beste begizta honetan,

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})}$

bide bera zeharkatzen du (ordena berean), baina ${\displaystyle \gamma _{0}}$ abiadura bikoitzean eta ${\displaystyle \gamma _{1}}$ eta ${\displaystyle \gamma _{2}}$ abiadura laukoitzean. Ondorioz, abiadurak desberdinak direnez, bi bideak ez dira berdinak. Elkartze-propietatearen axioma

${\displaystyle [\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]}$

beraz, zatidura-multzoa homotopiarekiko kontsideratu izanaren mendekoa da. Izan ere, aurreko bi kateatzeak ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$ eta ${\displaystyle \gamma _{2}}$ begiztak abiadura hirukoitzarekin zeharkatzen dituen begiztarekin homotopikoak dira. Hortaz, homotopiarekiko baliokide diren oinarrizko begiztak, aurreko eragiketarekin hornituak, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ multzoa talde bihurtzen dute.

Oinarrizko taldea, oro har, hautatzen den oinarri-puntuaren mendekoa den arren, X espazioa bideen bidez konexua bada (path-connected), isomorfismoari (barne-isomorfismoari) dagokionez oinarri-puntuaren aukeraketak ez du alderik eragingo. Hori dela eta, bideen bidez konexu diren X espazioak adierazteko, autore askok ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ notazioa erabiltzen dute ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ erabili ordez.

Bideen bidez konexua (path-connected) den espazio baten oinarrizko taldea nabaria bada, guztiz konexua deritzo (ingelesez, simply connected). Adibidez, irudiko ${\displaystyle S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$ 2-esfera, eta baita dimentsio handiagoko esfera guztiak ere, guztiz konexuak dira. Irudiak homotopia bat erakusten du, begizta bat begizta konstantera uzkurtuz. Ideia hori ${\displaystyle \gamma }$ begiztaren irudian ez dauden ${\displaystyle (x,y,z)\in S^{2}}$ puntuak dituzten ${\displaystyle \gamma }$ begizta guztietara egokitu daiteke. Hala ere, begizta batzuetan ${\displaystyle \gamma ([0,1])=S^{2}}$ betetzen denez, (Peano-ren kurbaren bidez eraikitzen direnetan, adibidez), froga egiteko topologia aljebraikoko tresnak erabili behar dira, Seifert-van Kampen teorema edo cellular approximation teorema.

Zirkulua edo 1-esfera, ${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$, ez da guztiz konexua. Homotopia-klase bakoitzean, zirkuluaren inguruan hainbait aldiz biratuz lortzen diren begizta guztiak daude (positiboak edo negatiboak izan daitezke, biraketaren noranzkoaren arabera). m bira eman dituen begizta baten eta n bira eman dituen beste baten biderketaren emaitza m + n bira eman dituen begizta bat da. Beraz, zirkuluaren oinarrizko taldea zenbaki osoen multzoak eta batuketa eragiketak ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ osatzen duten taldearekin isomorfoa da. Hori erabil daiteke Brouwer-en puntu finkoaren[3] teoremaren eta Borsuk-Ulam-en teoremaren frogak 2 dimentsiotan egiteko.[4]

Zortziko-irudiaren oinarrizko taldea bi letren talde librea da. Hori horrela frogatzen da: bi zirkuluen ebaki-puntua (irudian puntu beltz baten bidez adierazten dena) oinarri-puntu moduan aukeratuz, ${\displaystyle \gamma }$ begizta oro horrela deskonposa daiteke:

${\displaystyle \gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$

non a eta b bira ematen duten bi begiztak diren (irudiko begizta gorria eta urdina) eta ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}}$ zenbaki osoak berretzaileak diren. ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$ ez bezala, zortziko-irudiaren oinarrizko taldea ez da talde abeldarra: a eta b konposatzeko bi moduak ez dira elkarren artean homotopikoak:

${\displaystyle [a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a].}$

Oro har, r zirkulu-sortaren oinarrizko taldea r letretako talde librea da.

Bideen bidez konexuak (path-connected) diren X eta Y espazioen puntu bateko baturaren (wedge sum) oinarrizko taldea, haien oinarrizko taldeen biderkadura libre moduan kalkula daiteke:

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

Horrek aurrekoak orokortzen ditu, zortziko-irudia bi zirkuluren puntu bateko batura baita.

n puntutan zulatutako planoaren oinarrizko taldea n sortzaile dituen talde librea da. i. sortzailea i. zulotik doan begiztaren klasea da, beste zulo batetik pasa gabe.

Oinarrizko taldea egitura diskretuetarako ere defini daiteke. Izan bitez G = (V, E) grafo konexua eta V erpinen multzoko v₀ erpina. G grafoan begiztak v₀ erpinean hasten eta amaitzen diren zikloak dira. Izan bedi G grafoaren T hedapen-zuhaitz bat. G-ko begizta sinple guztiek ertz bat dute E \ T-n; G-ko begiztak begizta sinpleen kateatzeak dira. Beraz, grafo baten oinarrizko taldea talde libre bat da, eta duen sortzaile kopurua E \ T-n dagoen ertz kopurua da, hau da, |E| − |V| + 1 ertz.[5]

Demagun, adibidez, G-k 16 erpin dituela, 4 erpineko 4 errenkadetan antolatuta, eta horizontalki edo bertikalki alboko diren erpinak ertzen bidez konektatuta daudela. Hortaz, G-k 24 ertz ditu guztira, eta hedapen-zuhaitz bakoitzean duen ertz-kopurua 16 − 1 = 15 da; beraz, G-ren oinarrizko taldea 9 sortzaileko talde librea da.[6] Kontuan izan behar da, G grafoak 9 "zulo" dituela, oinarrizko talde bera duen 9 zirkuluko sorta batek bezala.

Definizioz, korapilo-taldeak ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ espazioan txertatutako K korapilo baten osagarriaren oinarrizko taldea dira. Adibidez, hiruorriko korapiloaren korapilo-taldea ${\displaystyle B_{3}}$ adaxka-taldea da, oinarrizko talde ez-abeldarra.