Fourierren transformatu

${\displaystyle f(x)}$ "denboraren eremuko" funtzioa izanik, ${\displaystyle f}$ren Fourierren transformatua deritzo (Jean Baptiste Joseph Fourierren omenez) ${\displaystyle {\hat {f}}}$ funtzioari,

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx,}$

bezala definitzen dena. Berau ${\displaystyle f}$ funtzio integragarriarentzat definitua dagoelarik, non

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx<\infty .}$

Transformatu honen bidez funtzioa "maiztasun eremura" aldatzen da denboraren eremuan argi azaltzen ez den informazioa lortzeko.

${\displaystyle {\hat {f}}}$ transformatua funtzio jarrai eta bornatu bat da. ${\displaystyle {\hat {f}}}$-k ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|d\xi <\infty ,}$ betezten badu, bere alderantzizko transformatua:

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi i\xi x}d\xi }$ izango da.

Bere propietateak direla eta:

${\displaystyle {\widehat {\frac {df}{dx}}}(\xi )=2\pi i\xi {\hat {f}}(\xi )\quad {\mbox{ eta }}\quad {\widehat {xf}}(\xi )=-{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d}{d\xi }}{\hat {f}}(\xi ),}$

Fourier transformatua oso garrantzitsua da ekuazio diferentzialen soluzioak lortzeko.