Fourierren serie

${\displaystyle f(t)\,}$funtzioa ${\displaystyle t}$ aldagai errealaren funtzioa izanik, ${\displaystyle [t_{0}-T/2,t_{0}+T/2]}$ tartean integragarria, tarte horretan ${\displaystyle f\,}$-ren Fourier-en serieko garapena lor daiteke..Tartetik kanpo, seriea periodikoa da, ${\displaystyle T\,}$ izanik bere periodoa.

${\displaystyle f(t)\,}$ zuzen erreal osoan periodikoa bada, Fourier-en serieen bidezko hurbilketak ere balioko du ${\displaystyle t\,}$-ren balio guztietarako.

Beraz, ${\displaystyle f(t)\,}$-ri lotutako Fourierren seriea ondokoa da:

${\displaystyle f(t)\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)\right]}$

non ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ eta ${\displaystyle b_{n}}$, ondoko balio hauek hartzen dituzten Fourier-en koefizienteak diren:

${\displaystyle a_{0}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)dt,\qquad a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\cos \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)dt,\qquad b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\operatorname {sen} \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)dt.}$

Fourier-en seriea definitzeko beste modu bat hau da:

${\displaystyle f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos {{\omega _{n}}{t}}+b_{n}\operatorname {sen} {{\omega _{n}}{t}}\right)}$

non ${\displaystyle \omega _{n}=n\omega }$ eta ${\displaystyle \omega =2{\pi }f={\frac {2{\pi }}{T}}}$izanik:

${\displaystyle a_{0}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt,\qquad a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos {{\omega _{n}}{t}}dt,\qquad b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\operatorname {sen} {{\omega _{n}}{t}}dt.}$

Fourier-en seriearen forma horri Fourier-en serie trigonometriko deritzo.

Fourier-en serieek beren izena Jean-Baptiste Joseph Fourier-engandik (1768-1830) jaso zuten, zeinak ekarpen garrantzitsuak egin baitzituen serie trigonometrikoen azterketan. Aurrez Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert eta Daniel Bernoulli ere aritu ziren lan horretan. Fourierrek serieak sartu zituen beroaren eroapenaren ekuazioa metalezko xafla batean ebazteko, 1807an bere emaitzak argitaratuz Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ('Oroimena gorputz solidoetan beroaren hedapenari buruz') lanean, eta bere Théorie analytique de la chaleur ('Beroaren teoria analitikoa') 1822an argitaratuz. Funtzio periodiko bat oszilazio-funtzio sinpleen batura gisa deskonposatzeko ideiak askoz lehenagoakoak dira hala ere, K.a-ko III. mendean antzinako astronomoek epizikloan oinarritutako planeta-mugimenduaren eredu enpirikoa proposatu baitzuten.

Beroaren ekuazioa deribatu partzialetako ekuazio bat da. Fourier-en lanaren aurretik, ez zen ezagutzen beroaren ekuaziorako irtenbiderik oro har, nahiz eta irtenbide partikularrak ezagutzen ziren bero-iturriak modu sinplean jokatzen bazuen, bereziki iturria sinu- edo kosinu-uhin bat bazen. Irtenbide sinple horiei, batzuetan, balio propioak deritze. Fourier-en ideia bero-iturri konplexu baten eredua osatzea zen, uhin sinusoidal sinpleak gainjarriz (edo konbinazio lineala eginez), eta ebazpena balio propioen gainjartze gisa idatziz. Gainjartze edo konbinazio linealari Fourier-en seriea deitzen zaio.

Gaur egungo ikuspegitik Fourier-en emaitzak nahiko informalak dira, XIX. mendearen hasieran funtzio matematikoaren eta integrazioaren nozioaren zehaztasun falta dela eta. Ondoren, Peter Gustav Lejeune Dirichletek[1] eta Bernhard Riemannek[2][3][4] zehaztasun eta formaltasun handiagoz adierazi zituzten Fourier-en emaitzak.

Abiapuntua beroaren ekuazioa ebaztea zen arren, handik denbora batera nabaria izan zen teknika bera erabil zitekeela problema fisiko eta matematiko multzo handi batean, bereziki koefiziente konstanteko ekuazio diferentzial linealak erabiltzen zituztenetan, haien soluzio bakarrak sinusoidalak baitziren. Fourier-en serieek aplikazio ugari dituzte ingeniaritza elektrikoan, bibrazioen analisian, akustikan, optikan, seinaleen prozesamenduan, ukitu fotografikoan, mekanika kuantikoan, ekonometrian, kasko mehea duten egituren teorian eta abarretan.

Funtzio periodiko baten grafikoa.

Lehenengo 5 harmonikoen baturaren animazioa.

Ikus dezagun adibide bat:

${\displaystyle f(x)=x,\quad \mathrm {para} -\pi <x<\pi ,}$

${\displaystyle f(x+2\pi )=f(x),\quad \mathrm {para} -\infty <x<\infty .}$

Kasu horretan, Fourier-en koefizienteek hau ematen digute:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\b_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\operatorname {sen}(nx)\,dx=-{\frac {2}{n}}\cos(n\pi )=2\,{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1\end{aligned}}}$

Fourier-en serieak puntu desberdinetara egiten badu konbergentzia:${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\operatorname {sen} \left(nx\right)\right]\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\operatorname {sen}(nx),\quad \mathrm {para} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$

• Anplitude aldakorreko osziladore elektrikoek sortutako sinusoideen gainjartzearen bidez korronte-uhinen edo tentsio elektrikoaren formak sortzea, horien maiztasunak zehaztuta badaude.
• Seinale baten portaera harmonikoaren analisia.
• Seinaleak indartzea.
• Sarrera-seinalea sinusoidala edo kosinusoidala ez den zirkuitu elektriko baten erantzuna denboran aztertzea, Laplace-ren transformatuak eta/edo erregimen iraunkor sinusoidaleko soluzioa erabiliz maiztasunaren eremuan.
• Ekuazio diferentzial batzuk deribatu partzialetan ebaztean, erraz zenbatu daitezkeen Fourier-en serieen formako soluzio partikularrak onartzen dira, eta irtenbide praktikoak lortzen dira, bero-transmisioaren teorian, plaken teorian eta abarretan.