Fibonacciren segida

Honako ekuazio hauek definitzen dituzte Fibonacci zenbakiak:

${\displaystyle f_{0}=0}$

${\displaystyle {\displaystyle f_{1}=1}}$

${\displaystyle {\displaystyle f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}\,}}$

Horrek ondorengo zenbaki hauek sortzen ditu:

${\displaystyle f_{2}=1}$

${\displaystyle {\displaystyle f_{3}=2\,}}$

${\displaystyle {\displaystyle f_{4}=3\,}}$

${\displaystyle {\displaystyle f_{5}=5\,}}$

${\displaystyle {\displaystyle f_{6}=8\,}}$

${\displaystyle {\displaystyle f_{7}=13\,}}$

${\displaystyle {\displaystyle f_{8}=21\,}}$

eta horrela hurrenez hurren.

Definitzeko modu hori (algoritmikoa) ohikoa da matematika diskretuan.

Garrantzitsua da definitzea ${\displaystyle f_{0}=0}$ honako propietate garrantzitsu hau betetzeko:

${\displaystyle f_{n}}$-k ${\displaystyle {\displaystyle f_{m*n}}}$ zatitzen du edozein ${\displaystyle {\displaystyle m,n>=1}}$-entzat.

Leonardo Pisano, Leonardo de Pisa, edo Leonardo Bigollo, Fibonacci izenez ere ezaguna, 1170ean jaio zen eta 1240an hil zen. Mendebaldean ezagutu aurretik, Fibonacciren segida Indiako matematikan deskribatuta zegoen, sanskrito-prosodiarekin lotuta.

Susantha Goonatilakek ohartarazten du Fibonacciren sekuentziaren garapena, baina neurri batean, Pingalari egozten zaiola (200. urtea) garapen hori, geroago Virahanka (700 inguruan), Gopāla (1135 inguruan) eta Hemachandra (1150 inguruan) autoreei lotuta zegoen. Parmanand Singhek Pingala aipatzen du (450 inguruan) sekuentziaren aurkikuntzaren aitzindari gisa.

Oinordetza Fibonaccik deskribatu eta ezagutarazi zuen mendebaldean, untxi-hazkuntzaren arazo baten konponbide gisa.

Horrela, Fibonaccik oinordetza 1202an argitaratutako Liber Abaci liburuan aurkeztu zuen. Fibonacciren oinordekotzaren propietate asko Édouard Lucasek aurkitu zituen, gaur egun ezagutzen den bezala izendatzearen arduraduna.

Keplerrek ere Fibonacciren zenbakiak deskribatu zituen, eta Robert Simson matematikari eskoziarrak 1753an aurkitu zuen {\displaystyle n} n segidako Fibonacci-ren bi zenbakiren arteko erlazioa, {\displaystyle f_ {n+1}/f_ {n}} f_ {n+1}}}/f_ {n}}/f_ áurea fi ({\displaystyle\phi}\phi) erlaziora hurbiltzen dela, {\displaystyle n} n infinitora jotzen duenean; are gehiago: bi ordenako segida errepikatzaile ororen segidako bi terminoren kozienteak muga berera jotzen du. Segida honek ospea izan zuen XX. mendean, batez ere musikaren esparruan, non Béla Bartók, Olivier Messiaen, Tool eta Delia Derbyshire bezalako konpositoreek akordeak eta musika-esaldien egitura berriak sortzeko erabili zuten.

Fibonacciren segida (eta, oro har, edozein segida) aztertzeko, matematikoki irudikatzeko beste modu batzuk lortzea komeni da.

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}={\frac {b}{a}}={\frac {c}{b}}},\ non\ c=a+b;\ a\neq 0;\ b\neq 0;\ b>a}$

${\displaystyle {\displaystyle bb=ac}}$

${\displaystyle {\displaystyle b^{2}=ac}}$

${\displaystyle {\displaystyle b^{2}=a*(a+b)}}$

${\displaystyle {\displaystyle b^{2}=a^{2}+ab}}$

${\displaystyle {\displaystyle a^{2}-b^{2}+ab=0}}$

Aldagaiak Fibonacci-ren segidako balio bikoteen bidez ordeztuz (${\displaystyle a=1;\ b=2}$ edo ${\displaystyle a=3;\ b=5}$), hau ikus daiteke:

${\displaystyle {\displaystyle (1)^{2}-(2)^{2}+(1)*(2)=-1}}$

${\displaystyle {\displaystyle (3)^{2}-(5)^{2}+(3)*(5)=-1}}$

Formula honen bidez, bi zenbakiren arteko urrezko erlazioa zein den ezar daiteke: 0 urrezko erlazio perfektua da, eta muturretako 1 eta -1 zenbakiak Fibonaciren ${\displaystyle {\displaystyle -1<=a^{2}-b^{2}+ab<=1}}$ segidako zenbakiak dira.

Fibonacciren segidak ondoko propietateak ditu:

• Segidako gai baten eta bere aurrekoaren arteko arrazoi edo zatidura etengabe aldatzen da, baina estabilizatu egiten da urrezko zenbakian; hau da: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}=\varphi }$

Limite hau ez da Fibonacciren segidarentzako esklusiboa. Edozein 2ko ordenako segida errepikakor limite berdinerantz hurbiltzen da. Hau frogatu zuten Barr eta Schooling Londreseko The Field izeneko aldizkari batean publikatutako artikuluak 1912ko abenduaren 14an. Arrazoaiak oszilatzaileak dira; hau da, zatidura bat limitea baino txikiagoa da eta hurrengoa, aldiz, handiagoa.

• Edozein zenbaki arrunt idatz daiteke Fibonacciren segidako gai kopuru mugatu baten batuketa gisa, horietako bakoitza besteen desberdina delarik.
• Hiru terminotatik bakarra da bikoitia, lautik bakarra da hiruren multiploa, bostetik bakarra da bosten multiploa... Hau orokortu daiteke, beraz Fibonacciren segida periodikoa da (mod m) kongruentzientzat, edozein m-rentzat.
• Segida Binet-en forma izeneko formularekin adieraz daiteke: Izan bitez ${\displaystyle \textstyle \alpha ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ eta ${\displaystyle {\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}\textstyle }$, orduan ${\displaystyle f_{n}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}}$ eta ${\displaystyle f_{n}\approx {\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {5}}}\,}$
• Fibonacciren zenbaki bakoitza bi posizio atzerago dagoen eta posizio bat aurrerago dagoen terminoen batez bestekoa da. Hau da, ${\displaystyle f_{n}={\frac {f_{n-2}+f_{n+1}}{2}}}$ edo beste modu batean adierazita ${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}*2-f_{n-2}}$
• Lehen n gaien batura n+2 posizioan dagoen gaiaren balioa ken bat da. Hau da, ${\displaystyle f_{0}+f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}=f_{n+2}-1}$
• Fibonacciren segidako bi gaien arteko zatitzaile komunetako handiena segidako beste gai bat da, zehazki ${\displaystyle {\mathrm {mcd} }\left(f_{n},f_{m}\right)=f_{{\mathrm {mcd} }\left(n,m\right)}}$.
• Izan bedi ${\displaystyle f_{p}=a}$, ${\displaystyle a}$ edozein zenbaki lehen izanda, orduan ${\displaystyle p}$ ere zenbaki lehena da, ${\displaystyle f_{4}=3}$ gaia izan ezik (3 zenbaki lehena dela, baina 4 ez) .
• ${\displaystyle \textstyle {\frac {f_{n}}{10^{n}}}}$ segidaren terminoen batuketa infinitua ${\displaystyle \textstyle {\frac {10}{89}}}$ da.
• Fibonacciren segidako elkarrek ondoko hamar zenbakiren batura serieko zazpigarren zenbakia baino 11 aldiz handiagoa da beti.
• Zenbaki bakoitzeko azken digitua 60 zenbakiro errepikatzen da periodikoki. Azken biak 300 zenbakiro eta hortik aurrera ${\displaystyle 15\times 10^{n-1}}$ zenbakiro.
• Fibonacciren segidaren oinarrian Pascalen piramidearen biderketen batuketa dago. Batuketa hauetan oinarrituz, urrezko zenbakia ${\displaystyle \varphi }$ karakterizatu daiteke triangeluko diagonal bikoitien batuketen eta diagonal bakoitien batuketen zatiduraren limitea infinituan adieraziz, modu honetan: ${\displaystyle {\displaystyle \varphi =\displaystyle \lim _{n\to {+}\infty }{\left({\dfrac {{\binom {2n-1}{0}}+{\binom {2n-2}{1}}+{\binom {2n-3}{2}}+...+{\binom {n}{n-1}}}{{\binom {2n-2}{0}}+{\binom {2n-3}{1}}+{\binom {2n-4}{2}}+...+{\binom {n-1}{n-1}}}}\right)}}}$ edo ${\displaystyle {\displaystyle \varphi \,\approx {}\,{\dfrac {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\,\displaystyle {\binom {2n-1-k}{k}}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\,\displaystyle {\binom {2n-2-k}{k}}}}}}$.

• Fibonacciren zenbakiak