Erreferentzia-sistema inertzial

Fenomeno fisiko konkretu bat aztertzeko, funtsezkoa da erreferentzia-sistema egokia aukeratzea, batez ere horrela fisikaren legeen formulazio matematikoa erraztu daitekeelako. Aukera horretarako, aztertu beharreko problemaren baldintzak kontuan izanik, zenbait irizpide finkatu behar dira. Besteak beste, batetik, koordenatu-sistemen jatorria eta ardatzak (koordenatu kartesiarrak, koordenatu zilindrikoak, koordenatu esferikoak…) eta, bestetik, denboraren jatorria (${\displaystyle t=0}$ aldiunea) zehaztu beharko dira, neurketa espazio-denboralak finkatzeko. Halaber, behatzailea geldi dagoen sistema osoaren higidura ere kontuan izan beharko da, zeren, adibidez, higiduraren dinamika aztertzeko erreferentzia-sistematzat ez baita gauza bera tren geltokiko nasa aukeratzea, edo azeleratzen ari den tren hartzea; edota, zaldiko-maldikoaren gainean dagoen gorputzaren higidura aztertzeko, ez da berdin begiratokitzat parkeko puntu finkoa hartzea edo biraka ari den plataforma bera.

Bestalde, sistema desberdinetatik fenomeno fisikoak aztertzean, kontzeptu bereziak landu behar izaten dira, espazioko puntu eta norabide guztiak ez baitira baliokideak. Baina erreferentzia-sistema “pribilegiatu” batzuk existitzen dira, zeinetan espazioa homogeneoa (puntu guztiak dira baliokideak) eta isotropoa (norabide guztiak baliokideak) den, eta denbora uniformea (aldiune guztiak baliokideak): erreferentzia-sistema inertzialak edo galilearrak. Beraz, lehenengo pauso modura, mota horretako sistema pribilegiatuak definitu beharko ditugu.

Ezer baino lehen, erreferentzia-sistema inertzial bat definituko dugu, ezaugarri hau duela esanez: sistema horretan edozein puntu material askek higidura zuzen uniformea du, edo geldi dago; eta aldi berean esango dugu puntu materiala partikula askea dela, inolako indarren eraginik jasaten duena. Definizio hori eta inertziaren printzipioa baliokideak dira; azken batez, printzipio horrek gorputz materialek beren abiaduran irauteko joera adierazten du. Beraz, inertziaren printzipioa honelaxe eman daiteke: «Partikula askeak abiadura konstantez higitzen dira erreferentzia-sistema inertzialetan»; hau da, partikula askeen azelerazioa nulua da sistema inertzialetan. Printzipio hori da Newtonen lehenengo legearen muina; horregatik, inertziaren legea ere esaten zaio. Dena den, definizioa eman ondoren, oraindik ebatzi gabeko arazo bat daukagu: nola aurkitu “partikula aske” bat?

Eguzki-sistemako planeten ibilbide eliptikoen eskema, Merkuriotik Jupiterrera

Dakigunez, naturako materian eragiten duten distantzia handietara eragiten duten elkarrakzio edo indarrak moteldu egiten dira distantzia handitu ahala; zehazki esanda, distantziaren karratuaren araberako alderantzizko proportzionaltasunez. Hortaz, gaueko zeruan ikusten ditugun eta elkarrengandik distantzia izugarrietara dauden izar finkoak partikula asketzat har ditzakegu; eta izar finkoekin loturiko erreferentzia-sistema hori inertziala dela kontsidera dezakegu, hurbilketa oso ona eginez.

Lurreko sistema geozentrikoa, ${\displaystyle S_{\text{G}}}$, eta Eguzkiko sistema heliozentrikoa, ${\displaystyle S_{\text{E}}}$.

Eguzkia bera ere izar bat da, gugandik hurbilen dagoena, eta kalkula daitekeenez, oso azelerazio txikiz higitzen da gure galaxiaren zentroarekiko: ${\displaystyle 3\times 10^{-8}{\text{cm/s}}^{2}}$baliokoaz. Azelerazio hori hain txikia izanik, Eguzkiarekin eta izan finkoekiko biratu gabe doan erreferentzia-sistema ere inertziala dela esan dezakegu.

Sistema horri sistema heliozentrikoa ere baderitzo, jatorria Eguzkiaren zentroan baitu eta ${\displaystyle S_{\text{E}}}$ sinboloaz adieraziko dugu; arlo gehienetan oso hurbilketa ona da sistema inertzialtzat hartzeko, jatorriak oso azelerazio txikia izateaz gain, sistema bera ez baitago biraka izar finkoekiko. Sistema horretan eguzki-sistemako planeten higidurak azter ditzakegu, eta bertan planeta guztien orbitak Eguzkia barnean duten planoetan gertatzen dira, eta eszentrikotasun oso txikiko ibilbide eliptikoak (ia-ia zirkunferentziak) dituzte, Eguzkia elipsearen foku batean egonik. Horiek dira izatez Kepler-en legeak.

Lur planetan erreferentziatzat hartu ohi diren bi sistema ia-inertzialak, problemaren hurbilketaren mailaren arabera erabiliak.

Lurreko erreferentzia-sistema ${\displaystyle P}$ puntuan, ${\displaystyle S_{\text{L}}}$, eta sistema geozentrikoa, ${\displaystyle S_{\text{G}}}$.

Defini ote dezakegu bizi garen Lur planetarekin loturiko sistema inertzialik? Kasu honetan ere, hurbilketa bat egin beharko dugu, alboko irudian grafikoki adierazten den modura. Kontuan izanik Lurrak Eguzkiaren inguruan duen ibilbide eliptikoan (ia zirkularra dena) azelerazio zentripetuak gutxi gorabehera ${\displaystyle 0,6{\text{ cm/s}}^{2}}$ balio duela, azelerazio hori oso txikia denez, hurbilketa modura esan dezakegu jatorria Lurraren zentroan duen eta Eguzkiko ${\displaystyle S_{\text{E}}}$ sistemarekiko paraleloki kokaturik dagoen ${\displaystyle S_{\text{G}}}$ erreferentzia-sistema ere inertzialtzat har dezakegula.  Beraz, goialdeko ezkerraldeko irudiko ${\displaystyle S_{\text{G}}}$ sistema ere inertzialtzat hartuko ditugu praktikan, hurbilketa nahiko ona eginez; sistema horri sistema geozentrikoa ere esaten zaio.

Dena den, badakigu Lurra biraka ari dela, Ipar polotik Hego polora doan ardatzaren inguruan, eta gu-geu, Lurrean bizi garenok, biraketa horretan gabiltzala birabetea eginez egun osoan, hots, ${\displaystyle \omega =7,27\times 10^{-5}{\text{rad·s}}^{-1}}$balioko abiadura angeluarraz. Abiadura angeluar hori oso txikia denez, hurbilketa modura onartuz, gu bizi garen tokiko ${\displaystyle S_{\text{L}}}$ sistema arrunta ere inertzialtzat hartuko dugu.

Sistema honen jatorria Lurraren zentroan kontsidera daiteke, baina eguneroko problema arrunten kasuan ohikoagoa da jatorria gu bizi garen tokian (ezkerraldeko irudiko ${\displaystyle P}$ puntuan) bertan hartzea. Praktikan, tokiko koordenatu kartesiarrak aukeratzean, ${\displaystyle Px}$ ardatza norabide horizontalean eta hegoalderanzko noranzkoan hartu ohi da; ${\displaystyle Py}$ ardatza, horizontala eta ekialderantz eta ${\displaystyle Pz}$ ardatza, tokiko bertikala gorantz. Erreferentzia-sistema hori inertzialtzat hartzea oso hurbilketa ona da gure bizimoduko objektu arrunten dinamika aztertzean, baina ez da egokia naturan gertatzen diren tamaina handiko higiduretan, hala nola itsasoko korronte nagusien edo atmosferako haize-korronteen eta fenomeno metereologikoen  kasuan.

Mekanika newtondarrean, bi sistema inertzialen arteko erlazio zinematikoak Galileoren transformazioaren bidez adierazten dira. Adibide sinple baten bidez jarraian ikusiko dugunez, oso modu errazean lortuko ditugu zein diren erlazio horiek. Eskuinaldeko irudiko adibidean, ${\displaystyle S'}$ sistema ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}}$ abiadura konstantez higitzen ari da ${\displaystyle S}$ sistemaren ${\displaystyle Ox}$ norabidean eta, gauzak errazteko, kontsideratuko dugu hasierako aldiunean bi sistemen jatorriak puntu berean egon direla eta bi erlojuek ordu berbera markatu dutela: ${\displaystyle t=t'=0}$. Gauzak horrela, erlazio hau dago ${\displaystyle P}$ partikula puntualak bi sistema horietan dituen posizio-bektoreen artean:

$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {V}}t.}$$

Erlazio hori bi sistemetako osagai kartesiarretan bananduta idatzirik:

$${\displaystyle {\begin{cases}x'=x-Vt\\y'=y\\z'=z\end{cases}}}$$

Bestalde, kontuan harturik denbora absolutua dela, eta bi behatzaileen erlojuak sinkronizaturik daudela,

$${\displaystyle t'=t}$$

ere idatz ditzakegu. Lau erlazio zinematiko horiek osatzen dute Galileoren transformazioa, modu trinkoagoan era honetan idatzi ohi dena:

$${\displaystyle {\begin{cases}x'=x-Vt\\y'=y\\z'=z\\t'=t\end{cases}}}$$

edo era matrizialean idatzita, honelaxe:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}1&0&0&-V\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}}.}$$

Sistema inertzialak erabiltzean, sistema fisikoen kontserbazio-printzipioak  aztertzeko magnitude interesgarri bat definitzen da: momentu lineala. Definizioz, partikula baten momentu lineala beraren masaren eta abiaduraren arteko biderkadura da:

$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}.}$$

Agerikoa denez, magnitude bektoriala da, abiaduraren norabide eta noranzko  berberak dituena. Ondorioz, inertziaren printzipioa honelaxe ere adieraz dezakegu: Partikula askeak momentu lineal konstantez higitzen dira sistema inertzialetan. Hau da:

$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}={\text{kte}}.}$$

Zer gertatzen da sistema inertzial batetik beste sistema inertzial batera pasatzean? Aurreko adibidean aipatu dugun Galileoren transformazioa erabiliz, erraz lor dezakegu bi sistemetako behatzaileek neurtutako partikularen abiaduraren bi balioen arteko erlazioa:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}'={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}'}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {V}}t)}{{\text{d}}t}}={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {V}}.}$$

Alegia, abiadura neurtzean bi behatzaileek balio desberdina lortzen dute: ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}'\neq {\boldsymbol {v}}}$. Dena den, ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}}$ abiadura konstantea denez, ${\displaystyle S'}$ sisteman ere beteko da partikula askeen momentu linealaren kontserbazioaren printzipioa:

$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}'=m{\boldsymbol {v}}'=m({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {V}})={\text{kte}}.}$$

Abiaduren arteko erlazioa berriro deribatuz, bi sistema inertzialetan neurturiko azelerazioaren bi balioen arteko erlazioa lortzen da:

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}'={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}'}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {V}})}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\boldsymbol {a}}.}$$

Beraz, bi sistema inertzialetako behatzaileek azelerazioaren balio berbera neurtzen dute. Kontuan izanik ${\displaystyle S}$ sistema inertziala dela, bertatik partikula aske bat behatzen ari bagara, partikula horren azelerazioa nulua izango da; hau da, ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=0}$izango da. Orduan ${\displaystyle S'}$ sistematik neurtuko dugun azelerazioa ere nulua izango da: ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}'=0}$. Horrela behar du izan, inertziaren printzipioa betetzen baita sistema inertzial guztietan.

Sistema inertzial batean partikula baten abiadura aldatzen ari bada, horrek esan nahi du partikula hori ez dela askea. Zergatik gertatzen da hori? Fisikarien hitzetan esanez, partikula horrek eraginen bat jasaten duelako, alegia elkarrekintza bat jasaten duelako kanpotik. Mekanikaren arloan, elkarrekintzari ematen zaion izena indarra da.

Nola definitzen da indar terminoak adierazten duen kontzeptua? Horretarako, aurreko atalean definitutako partikularen momentu lineala hartuko dugu abiapuntutzat. Definizioz, sistema inertzial batean denbora-unitatean gertatzen den momentu linealaren aldakuntzari esango diogu indarra; bestela esateko, indarra da partikulak sistema inertzial batean duen momentu linealaren denborarekiko deribatua. Indarraren sinboloa ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ da, magnitude bektoriala da, eta honelaxe adierazten da modu sinbolikoan:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\operatorname {d} {\boldsymbol {p}} \over \operatorname {d} t}.}$$

Izatez, definizio hori Newtonen bigarren legea da. Momentu lineala masaren eta abiaduraren bidez azalduz, honelaxe adieraz dezakegu lege hori ekuazio modura idatzita:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {{\text{d}}(m{\boldsymbol {v}})}{{\text{d}}t}}=m{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}=m{\boldsymbol {a}}.}$$

Galileoren transformazioaren arabera dakigunez, partikularen azelerazioak balio berbera du sistema inertzial guztietan. Ondorioz, horrek esan nahi du partikularen gainean eragiten duten indarrek balio berbera dutela sistema inertzial guztietan:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}'=m{\boldsymbol {a}}'=m{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {F}}.}$$

Horrela definituriko indarrei indar errealak edo elkarrekintza-indarrak ere esaten zaie, erreferentzia-sistema guztietan hartu behar baitira kontuan, sistemak inertzialak izan edo ez. Ekuazio hau da dinamikaren oinarria. Ekuazio bektoriala da eta esan nahi du partikula baten gainean indar bat egitean partikula azelerazio berbera jasaten duela, edozein sistema inertzialetik behatuta. Alderantziz esanda, sistema inertzial batetik partikulak azelerazioa duela behatzen bada, horrek esan nahi du partikula horren gainean indar batek eragiten duela.

Hertsiki hitz eginez, inon ez dago benetako erreferentzia-sistema inertzialik, zeren unibertsoko puntu guztietan bertako partikula materialen arteko elkarrekintzak baitaude, eta horrek esan nahi du inon ez dagoela partikula askerik. Baina sistema horiek fisikaren arloan funtsezkoak direnez, nola edo hala komeni da horrelako sistemak definitzea, hurbilketa teoriko gisa baino ez bada ere.