Erreferentzia-sistema

Sistema osoan presente dagoen behatzaile berezi bat behar da, ${\displaystyle B}$, neurketa espazio-denboralak egiteko. Izatez, behatzaile hori omnipresentea (toki guztietan dagoena) eta ahalguztiduna (edozer egiteko gai dena) dela imajinatuko dugu, “jainko” moduko bat, aldiune guztietan espazioko puntu guztien posizio espazio-denboralak neurtzeko gai izango dena. Neurketa horiek eginez, behatzaileak unibertsoko objektuen higidurei erreferentzia-sistema horretan dagozkien magnitude zinematikoak definitu ahalko ditu.

Koordenatu-sistemak espazio tridimentsionaleko zenbait elementu geometrikoz daude osatuta. Lehenik eta behin, espazioko puntu bat definitzen da, zeinari jatorria deritzon eta ${\displaystyle O}$ sinboloaz adierazten den. Puntu horretatik abiatuta, jatorritiko distantzia metrikoak adierazten dituzten hiru lerro kontsideratzen dira, espazioko hiru norabide nagusitan: horiexek dira espazio tridimentsionaleko ardatz koordenatuak. Horietan oinarriturik, behatzaileak puntu materialen koordenatuak neurtuko ditu, ardatz bakoitzaren norabidean jatorritik punturainoko distantziak neurtuz. Horrela, unibertsoko puntu bakoitzean eta aldiune bakoitzean partikulak duen posizioa adieraziko du, hiru zenbakiren bitartez. Zenbaki horiek dira puntuaren koordenatuak, puntuaren posizio zehatza adierazten dutenak. Adibidez, koordenatu kartesiarren kasuan, hiru zenbakiok ${\displaystyle x,y,z}$ sinboloez idazten dira. Beraz, puntuaren ${\displaystyle P}$ posizioa ${\displaystyle (x,y,z)}$ hirukotearen bidez adierazten da.

Erreferentzia-sistemak behar du, baita ere, espazioko puntu guztietako gertaerak noiz jazotzen diren neurtzeko erloju berezi bat. Erloju hori, izatez, erloju multzo bat da, honelaxe imajina dezakeguna praktikan: puntu guztietan erloju bat dago, eta erloju horiek guztiak elkarrekin sinkronizaturik daude. Horrela izanik, ordu bakarra izango dugu erreferentzia-sistema osoan.  Eta sinkronizazio horri esker, behatzaileak sistemako denbora neurtuko du edozein puntutan, eta gertakari fisiko bakoitza zein aldiunetan jazo den zehaztu ahalko du. Aldiune bakoitzeko denbora ${\displaystyle t}$sinboloaz idatziko den zenbaki batez adieraziko da.

Koordenatu-sistema kartesiarra: ${\displaystyle P}$ puntuko ${\displaystyle (x,y,z)}$ koordenatuak eta ${\displaystyle (e_{x},e_{y},e_{z})}$ ardatz koordenatuak eta ${\displaystyle ({\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}})}$ bektore unitarioak..

Fisikan, mota desberdinetako koordenatu-sistemak erabiltzen dira, aztergai den fenomeno fisikoak dituen ezaugarri geometrikoak kontuan hartuta. Sistema guztiak baliokideak dira fisikaren ikuspuntutik, baina, problemaren simetriaren arabera, kalkulu analitikoak erraztu egiten dira sistema egokia aukeratzean. Hiru dimentsioko espazio fisikoan ari garenez, espazioko puntu bakoitzaren posizioa zehazteko, hiru zenbaki edo parametro behar dira: puntuaren hiru koordenatuak.

Mekanika newtondarrean gehien erabiltzen diren sistemak aipatuko ditugu jarraian, puntu bakoitzeko ardatz koordenatuak nola definitzen diren azalduz. Sistema hauek guztiak ortogonalak dira; horrek esan nahi du, puntu bakoitzeko hiru ardatz koordenatuak elkarren perpendikularrak direla. Bestalde, ardatz koordenatuak binaka harturik, puntu bakoitzeko gainazal koordenatuak lortzen dira. Gainazal horiek bi dimentsioko objektu geometrikoak dira, batzuetan lauak (planoak) eta besteetan kurbadunak (zilindroak, konoak, esferak…).

Sistema kartesiarra da sinpleena, espazio euklidearretan gehien erabiltzen dena eta beste sistemen zehaztapenerako baliagarria dena. Ardatz koordenatuak jatorritik pasatuz elkarrekiko perpendikularrak diren hiru lerro zuzen dira ( ${\displaystyle Ox,Oy,Oz}$ ardatzak), eta espazioko puntu bakoitzari dagozkion koordenatuak jatorritik ${\displaystyle P}$ punturako distantzien proiekzio ortogonalen luzerak dira, ${\displaystyle (x,y,z)}$ koordenatuak. Korrdenatu kartesiarrak erabiliz gero, honelaxe adierazten dira ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}$bektorea eta ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ distantzia:

$${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}={\boldsymbol {r}}=x{\boldsymbol {i}}+y{\boldsymbol {j}}+z{\boldsymbol {k}},}$$

$${\displaystyle {\overline {OP}}=r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}$$

Puntu bakoitzean, sistema kartesiarretako gainazal koordenatuak hiru plano dira, elkarrekiko perpendikularrak, jatorriko hiru plano koordenatuen paraleloak direnak, banaka harturik. Horien arteko ebakidurak hiru lerro zuzen dira, ${\displaystyle P}$ puntutik pasatzen direnak eta elkarrekiko perpendikularrak direnak; horiexek dira ${\displaystyle P}$ puntutik pasatzen diren hiru ardatz koordenatuak: ${\displaystyle e_{x},e_{y},e_{z}.}$Ardatz koordenatuen norabideetako bektore unitarioak berberak dira espazioko puntu guztietan: ${\displaystyle ({\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}})}$ edo ${\displaystyle ({\boldsymbol {u}}_{x},{\boldsymbol {u}}_{y},{\boldsymbol {u}}_{z})}$. Kordenatu kartesiarretako bektore unitarioek balio berbera dute espazioko puntu guztietan. Askotan, horrek erraztu egiten ditu kalkuluak

Koordenatu-sistema zilindrikoa: ${\displaystyle P}$ puntuko koordenatuak, ardatz koordenatuak eta bektore unitarioak.

Mota honetako koordenatuak erabili zituen lehena René Descartes (1596-1650) izan zen, eta horregatik deitzen dira “kartesiarrak”.

Honelaxe definitzen dira sistema zilindrikoaren gainazal koordenatuak eta ${\displaystyle P}$ puntuko koordenatuak, jatorri bereko sistema kartesiarrean oinarriturik.

• Lehenengo gainazal koordenatuak ${\displaystyle Oz}$ ardatzaren inguruko ${\displaystyle \rho }$ erradiodun zilindroak dira. Erradio horren balioa da sistema honetako lehenengo koordenatua, eta hortik datorkio sistemari “zilindrikoa” deitzea. Lehenengo ardatz koordenatua erradioaren norabideko lerro zuzen horizontala da: ${\displaystyle e_{\rho }.}$Norabide horretako bektore unitarioa ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{\rho }}$ da.
• Bigarren gainazal koordenatua hauxe da: ${\displaystyle Oz}$ ardatza barnean edukirik ${\displaystyle Oxz}$ plano bertikalarekin ${\displaystyle \varphi }$ angelua osatzen duen plano bertikala. Bi plano horien arteko ${\displaystyle \varphi }$ angelua da, hain zuzen, sistema honetako bigarren koordenatua. Eta puntuko bigarren ardatz koordenatua ${\displaystyle e_{\varphi }}$ da. Norabide horretako bektore unitarioa ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{\varphi }}$ da.
• Hirugarren gainazal koordenatua ${\displaystyle P}$ puntutik pasatzen den plano horizontala da. Sistemako hirugarren koordenatua plano horren altuera kartesiarra da: ${\displaystyle z}$. Eta ardatz koordenatua puntutik pasatzen den lerro zuzen bertikala da: ${\displaystyle e_{z}.}$Norabide horretako bektore unitarioa ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{z}}$ da.

Kasu honetan, honelaxe adierazten dira ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ bektorea eta ${\displaystyle r}$ distantzia hiru koordenatu zilindrikoen bidez:

$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho \cos \varphi {\text{ }}{\boldsymbol {i}}+\sin \varphi {\text{ }}{\boldsymbol {j}}+z{\text{ }}{\boldsymbol {k}},}$$

$${\displaystyle r^{2}={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}.}$$

Bestalde, ikus daitekeenez, lehenengo bi bektore unitarioak aldatu egiten dira puntutik puntura.        

Koordenatu-sistema esferikoa: ${\displaystyle P}$puntuko koordenatuak, ardatz koordenatuak eta bektore unitarioak.

Sistema esferikoaren gainazal koordenatuak eta ${\displaystyle P}$ puntuko koordenatuak honakoak dira, jatorri bereko sistema kartesiarrean oinarriturik.

• Lehenengo gainazal koordenatuak ${\displaystyle O}$ puntuan zentraturiko ${\displaystyle r}$ erradiodun esferak dira. Erradio horren balioa da sistema honetako lehenengo koordenatua, eta hortik datorkio sistemari “esferiko” deitzea. Lehenengo kordenatua erradio hori da, , eta berari dagokion ardatz koordenatua puntutik eta jatorritik pasatzen den norabideko lerro zuzen erradiala da: ${\displaystyle e_{r}.}$
• Bigarren gainazal koordenatua hauxe da: erpina jatorrian eta ardatza ${\displaystyle Oz}$ ardatzean daukan konoa, ${\displaystyle Oz}$ ardatzarekin ${\displaystyle \theta }$ angeluko irekiera duena. Hain zuzen ${\displaystyle \theta }$ angelua da sistema honetako bigarren koordenatua. Eta puntuko bigarren ardatz koordenatua honako hau da: ${\displaystyle P}$puntua eta ${\displaystyle Oz}$ ardatza barnean dauzkan plano bertikalaren eta esferaren arteko ebakidura, hots, jatorrian zentraturiko zirkunferentzia bertikala: ${\displaystyle e_{\theta }}$. Norabide horretako bigarren bektore unitarioa ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{\theta }}$ da.
• Hirugarren gainazal koordenatua hauxe da: ${\displaystyle Oz}$ ardatza barnean daukan eta ${\displaystyle Oxz}$planoarekin ${\displaystyle \varphi }$ angelua osatzen duen plano bertikala. Plano horren eta ${\displaystyle Oxz}$planoaren arteko ${\displaystyle \varphi }$ angelu diedroa da, hain zuzen, sistema honetako hirugarren koordenatua. Eta puntuko hirugarren ardatz koordenatua konoaren eta esferaren arteko ebakidura da, alegia, ${\displaystyle e_{\varphi }}$ zirkunferentzia horizontala. Norabide horretako bektore unitarioa ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{\varphi }}$ bektore horizontala da.

Kasu honetan, honelaxe adierazten da ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ bektorea hiru koordenatuen bidez:

$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=r\sin \theta \cos \varphi {\text{ }}{\boldsymbol {i}}+r\sin \theta \sin \varphi {\text{ }}{\boldsymbol {j}}+r\cos \theta {\text{ }}{\boldsymbol {k}},}$$

Bestalde, hiru bektore unitarioak aldatu egiten dira puntutik puntura.

Koordenatu-sistema guztiak baliokideak dira fenomeno fisikoak deskribatzeko, eta erlazio zehatzak daude sistema bateko koordenatuen beste sistemetako koordenatuekin erlazionatzeko. Hori dela eta, sistema desberdinetan higidura jakin bat deskribatzen duten ekuazio matematikoak desberdinak izan arren, guztiak dira baliokideak. Kalkuluak egiteko zein sistema aukeratu, hori problemaren simetria geometrikoak kontuan hartuz erabakiko da.

Fenomeno fisikoak aztertzeko oinarrizkoak diren denborari eta espazioari ezaugarri berezia du esleitzen zaie.

Mekanika newtondarrean, denbora kontzeptu absolutua da. “Absolutua” dela esatean adierazi nahi da, denbora modu berean pasatzen dela erreferentzia-sistema guztietan, eta sistema desberdinetako erlojuek modu berean neurtzen dutela. Alegia, bi puntu desberdinetan jazoriko bi gertaera puntualen arteko denbora-tartea berbera dela edozein erreferentzia-sistematan neurturik; bestela esanda, posible dela erreferentzia sistema guztietako erlojuak sinkronizatzea, eta behatzaile guztiek ordu berbera neurtzea. Besteak beste, horrek esan nahi du denbora-tarteak ez daukala menpekotasunik partikula materialen posizio eta abiadurarekiko.

Mekanika newtondarrean espazioa ere kontzeptu absolutua da. Horrekin adierazi nahi da, espazioko puntuak finko daudela, nahiz eta erreferentzia-sistema higitu, eta edozein behatzailek espazioko bi punturen artean neurtutako distantzia berbera izango dela edozein erreferentzia-sistematatik neurtuta.

Denboraren eta espazioaren absolututasuna onarturik, banandurik azter daitezke bi erreferentzia-sistematako denboraren dimentsioa, ${\displaystyle (t)}$, espazioaren hiru dimentsioak, ${\displaystyle (x,y,z)}$, eta horiei buruko neurketen arteko erlazioak; hots, denbora eta espazioa elkarrekiko independenteak dira mekanika newtondarrean. Hain zuzen ere, denboraren eta espazioaren izaera absolutuari buruz aurreko lerroetan esandakoak laburbiltzeko, kontsidera ditzagun bi gertaera puntual ${\displaystyle S}$ eta ${\displaystyle S'}$ sistema inertzialen behatzaileen ikuspuntuetatik:

• ${\displaystyle S}$ sisteman lehenengo gertaera ${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}$ puntuan gertatuko da ${\displaystyle t_{1}}$ aldiunean; bigarren gertaera, ${\displaystyle P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})}$ puntuan gertatuko da ${\displaystyle t_{2}}$ aldiunean.
• Bestalde, ${\displaystyle S'}$ sisteman lehenengo gertaera ${\displaystyle P'_{1}(x'_{1},y'_{1},z'_{1})}$ puntuan gertatuko da ${\displaystyle t'_{1}}$ aldiunean; bigarren gertaera, ${\displaystyle P'_{2}(x'_{2},y'_{2},z'_{2})}$ puntuan gertatuko da ${\displaystyle t'_{2}}$ aldiunean.

Denbora absolutua izateak esan nahi du ezen bi gertaera horien arteko denbora-tartea berbera dela bi sistematan neurturik, hau da,

$${\displaystyle \Delta t=(t_{2}-t_{1})=\Delta t'=(t'_{2}-t'_{1})}$$

betetzen dela. Halaber, espazioa absolutua izateak esan nahi du ezen bi gertaera jazo diren puntuen arteko arteko distantzia berbera dela bi sistematan neurturik, hau da

$${\displaystyle d_{12}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}=d'_{12}={\sqrt {(x'_{2}-x'_{1})^{2}+(y'_{2}-y'_{1})^{2}+(z'_{2}-z'_{1})^{2}}}.}$$

dela. Horregatik, denboraren eta espazioaren absolututasuna onarturik, banandurik azter daitezke bi erreferentzia-sistematako denboraren dimentsioa, ${\displaystyle (t)}$, espazioaren hiru dimentsioak, ${\displaystyle (x,y,z)}$, eta horiei buruko neurketen arteko erlazioak; hots, denbora eta espazioa elkarrekiko independenteak dira mekanika newtondarrean.

${\displaystyle S}$ sistema inertziala bada, ${\displaystyle S'}$ sistema ez da inertziala, ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ abiadura angeluarraz ari baita biraka. ${\displaystyle S''}$ sistema inertziala ez da inertziala, ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ azelerazio linealaz higitzen ari baita.

Inertziaren printzipioa betetzen duten erreferentzia-sistemak bereziak direla esan dezakegu, zeren sistema horietan inolako indarren eraginik jasaten ez duen gorputz puntuala higidura zuzen uniformearekin higitzen baita: erreferentzia-sistema inertzialak dira. Sistema hauei Galileoren sistemak ere esaten zaie.

Inertziaren printzipioa betetzen ez dutenei erreferentzia-sistema ez-inertzialak deritze. Sistema ez-inertzialak azelerazioz edo biraka higitzen dira sistema inertzialekiko.

Fisikaren legeen adierazpena baliozkoa izan behar du errefererentzia-sistema guztietan, baina mekanika newtondarrean arazo txiki bat dago, zeren, Newtonen legeak sistema inertzialei baitagozkie bakarrik, bertan agertzen diren indar "errealak" kontuan hartuz gero. Lege horiek sistema ez-inertzialetan ere erabili ahal izateko, inertzia-indarrak gehitu behar izaten dira. Indar horiei indar "irudikari" edo "fiktizio" ere esaten zaie, baina nahitaezkoak dira Newtonen legeak sistema ez-inertzialetan aplikatzeko; horien artean daude indar zentrifugoa eta Coriolis-en indarra, besteak beste.

Lurreko ${\displaystyle S_{\text{L}}}$ erreferentzia-sistema ${\displaystyle P}$ puntuan, Lurraren zentroko ${\displaystyle S_{\text{G}}}$ sistema geozentrikoarekinn batera.

Fisika newtondarrean, hiru erreferentzia-sistema hauek erabiltzen dira gehienbat, besteak beste.

Sistema hau da fisikan gehien erabiltzen dena, fenomeno fisikoa behatzen ari garen tokian, ${\displaystyle P}$ puntuan, koka baitaiteke beraren jatorria. Hiru ardatz koordenatuak honako hauek izan daitezke: lehena, hegoalderako norabidea, ${\displaystyle x}$; bigarrena, ekialderako norabidea, ${\displaystyle y}$; eta hirugarrena, tokiko bertikalaren norabidea, ${\displaystyle z}$. Gizakiok sistema honetan bizi gara, eta bertoko behatzaileok gara fenomeno fisikoak aztertzen dugunak; berdin dio lurrazaleko zein puntutan gauden esperimentua egiten. Irudietan ${\displaystyle S_{\text{L}}}$ sinboloaz adieraziko ddugu

Dakigunez, Lurrak birabetea osatzen du egunean zehar bere ardatzaren inguruan. Biraketa-higidura horri dagokion abiadura angeluarrak balio hau du:

$${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi {\text{ rad}}}{\text{86.600 s}}}=7,26\times 10^{-5}{\text{rad/s}}.}$$

Lurreko sistema, ${\displaystyle S_{\text{L}}}$, eta sistema geozentrikoa, ${\displaystyle S_{\text{G}}}$.

Argi dago, hortaz, ${\displaystyle S_{\text{L}}}$ sistema ez dela inertziala. Dena den, abiadura angeluarra hain txikia izanik, lurrazalaren gaineko higidura laburrak aztertzeko, inertzia-indarren efektua txikia da, eta arbuiatu egin daiteke lehenengo hurbilketa batean; ondorioz, horrelako kasuetan Lurreko sistema inertzialtzat hartzen da, hurbilketa modura. Baina higidura luzeak direnean, atmosferako haize-korronteak aztertzean, adibidez, oso kontuan hartu behar izaten da inertzia-indarren eragina kalkuluak egitean.

Sistema honen jatorria Lurraren zentroa dago, eta hiru ardatzak oso urruneko izarretarako norabideetan daude orientaturik. Hori dela eta, sistema honek ez du Lurraren biraketarik, baina Lurrarekin batera parte hartzen du Eguzkiaren inguruko higidura eliptikoan (ia zirkularra). Kasu honetan birabetea osatzeko urte bat behar duenez, batez besteko abiadura angeluarra honakoa da:

$${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi {\text{ rad}}}{365\times 86.600{\text{ s}}}}=1,989\times 10^{-7}{\text{rad/s}}.}$$

Sistema geodesikoa, ${\displaystyle S_{\text{G}}}$, eta sistema heliozentrikoa, ${\displaystyle S_{\text{E}}}$.

Agerikoa denez, Lurreko sistemaren abiadura angeluarra baino askoz txikiagoa. Ondorioz, sistema geozentrikoa inertzialtzat har daiteke higidura “ez oso luzeak” aztertu behar direnean, horrela oso hurbilketa ona lortzen baita kalkuluetan. Alboko irudian ${\displaystyle S_{\text{G}}}$ eran sinbolizatu dugu.

Kasu honetan, sistemaren jatorria Eguzkiaren zentroan dago, eta ardatzak, sistema geozentrikoan bezala daude definiturik, alegia, haiekiko paraleloak baitira. Zehaztasun handiz, sistema helizentrikoa inertziala dela kontsidera daiteke, zeren Eguzkiak galaxiaren zentroarekiko biraketan duen abiadura angeluarra oso-oso txikia baita. Sistema hau ${\displaystyle S_{\text{E}}}$ sinboloaz adierazi dugu.

Nolanahi dela, denboraren eta espazioaren erlatibotasun horiek hertsiki lotuta daude, eta biak batera kontuan harturik magnitude berri batek balio berbera hartzen du sistema inertzial guztietan. Magnitude horrek gertaera puntualen arteko distantzia espazio-denborala definitzen du erlatibitateko espazio tetradimentsionalean. Honelaxe definitzen dena edozein sistematan ${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1})}$ eta ${\displaystyle P_{1}(x_{2},y_{2},z_{2},t_{2})}$ gertaera puntualen arteko distantzia espazio-denboralaren karratua:

$${\displaystyle \Delta s^{2}=c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}.}$$

Adierazpen horretan ${\displaystyle c}$ sinboloak argiaren abiadura adierazten du. Erlatibitate berezian, magnitude hori aldaezina da. Horrek esan nahi du ezen bi gertaera puntual horien arteko ${\displaystyle \Delta s}$distantzia espazio-denborala ${\displaystyle S}$ eta ${\displaystyle S'}$ sistema inertzialetatik kalkulatzean, kasu bietan distantzia berbera neurtuko dela:

$${\displaystyle \Delta s^{2}=\Delta s'^{2}.}$$

Aldaezin espazio-denboralak erlatibitate bereziko espazio tetradimentsionalaren bi punturen arteko "distantzia" adierazten du, edo, beste hitz batzuekin esanda, Minkowskiren espazioaren metrika ez-euklidearra definitzen du.