Erorketa aske

A. Igogailua geldi dagoela, baskulak pertsonaren pisua adierazten du. B. Igogailua erorketa askean dagoela, baskulak pisu nulua adierazten du.

Fisika klasikoan, lehenengo hurbilketa batean, Lurrean geldi dagoen erreferentzia-sistema inertzialtzat hartuz, hutsean gertatzen den erorketa aske bertikalean, gorputz orok eremu grabitatorioaren eraginez duen indarra masaren proportzionala da, ${\displaystyle m{\boldsymbol {g}}}$ baliokoa, ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ hori grabitatearen azelerazioa izanik. Hain zuzen ere, Lurrazaleko sistema inertzialean dagoen behatzaileak interpretatzen du ezen gorputzak pisuaren eraginez erortzen direla lurrazalerantz.

Baina zer gertatzen da erorketa askean dagoen gorputzarekin batera doan erreferentzia-sistema ez-inertzialetik gauzak aztertuz gero? Sistema hori ez-inertziala denez, hango behatzaileak kontuan hartu beharko du sistemaren azelerazioagatik gorputzak jasaten duen inertzia-indarra, ${\displaystyle -m{\boldsymbol {g}}}$ balioa izango duena. Ondorioz, behatzaile ez-inertzialak interpretatuko du gorputzak ez duela indar netorik jasaten, zeren ${\displaystyle m{\boldsymbol {g}}-m{\boldsymbol {g}}=0}$ baita, eta horregatik, bere sistematik partikula geldi ikusiko du, pisurik ez balu bezala: sistema horretatik ingrabitate-sentsazioa sortuko da behatzailearengan.

Ingrabitatea deritzo egoera berezi bati, zeinean m masadun gorputz bat indar grabitatoriorik ez balego bezala higitzen den. Batzuetan “grabitaterik ezeko egoera” ere esaten zaio, baina izendapen horren ordez, egokiagoa da ingrabitate terminoa erabiltzea. Izan ere, ingrabitateak ez du esan nahi gorputzak eremu grabitatorioaren eraginik jasaten ez duenik ("pisuarena", alegia), baizik eta gorputzean eragiten ari den indar grabitatorioa anulaturik dagoela berarekin batera erorketa askean higitzen ari den sistema ez-inertzialari dagokion inertzia-indarraz. Hortaz, sistema horretako behatzailearen ikuspuntutik, gorputzak "pisu nulua" du.

• Lurraren inguruan biraka dabiltzan satelite artifizialetan doazen astronautek ingrabitate-egoera hori sentitzen dute.
• Grabitate murriztuko aireontziaren hegaldian ere esperimentatzen da.

Erorketa aske idealaren azterketa matematikoa egiteko, alboko irudiko erreferentzia-sistemaz baliatuko gara, zeinean ${\displaystyle B}$ behatzailea geldi dagoen lurrazalean, eta ${\displaystyle Oy}$ ardatza bertikala den, noranzko positiboa goranzkoa izanik.

Erorketa bertikala aztertzeko, abiadurak osagai bakarra duela kontsideratuko dugu, ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v{\boldsymbol {j}}}$, eta grabitatearen azelerazioa konstantetzat hartuko dugu, ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {g}}=-g{\boldsymbol {j}}}$ baliokoa (${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$ hori ${\displaystyle Oy}$ norabideari dagokion bektore unitarioa da, eta ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ grabitatearen azelerazioa). Hortaz, abiadurari dagokion ekuazio bektoriala honakoa izango da:

Erorketa aske ideal eta bertikala Lurrean aztertzeko erreferentzia-sistema.

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}=-g{\boldsymbol {j}}.}$$

Azelerazioak osagai bakarra duenez (${\displaystyle Oy}$ norabidean), honelaxe adieraz daiteke abiaduraren osagairen ekuazioa:

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=-g.}$$

Ekuazio hori ebatziz, abiaduraren ekuazioa lor daiteke:

$${\displaystyle {\text{d}}v=-g{\text{d}}t\rightarrow \int _{v_{0}}^{v}{\text{d}}v=-g\int _{t_{0}}^{t}{\text{d}}t.}$$

Integrazioa eginez, abiaduraren balioa lortzen da edozein ${\displaystyle t}$ aldiunetan:

$${\displaystyle v=v_{0}-g(t-t_{0}).}$$

Erorketa askea hasierako abiadura nuluz hasten den kasuan ―alegia, ${\displaystyle v_{0}=0}$  denean― hauxe izango da abiaduraren balioa t  aldiunean:

$${\displaystyle v=-gt.}$$

Espero bezala, partikularen abiadura handituz doa denborarekin grabitatearen azelerazioaz.

Erorketa aske bertikalean higitzen ari den partikularen posizioa kalkulatzeko, aurrerago kalkulaturiko abiaduraren abiaduraren ekuaziotik abiatuko gara (kasu honetan ${\displaystyle t_{0}=0}$ eginez), aldi berean kontuan izanik abiaduraren definizioa:

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}y}}\equiv v=v_{0}-gt,}$$

$${\displaystyle {\text{d}}y=v_{0}{\text{d}}t-gt{\text{d}}t,}$$

$${\displaystyle \int _{y_{0}}^{y}{\text{d}}y=v_{0}\int _{0}^{t}{\text{d}}t-g\int _{0}^{t}t{\text{d}}t,}$$

$${\displaystyle y=y_{0}+v_{0}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}.}$$

Kasu honetan ${\displaystyle y_{0}=h}$ eta ${\displaystyle v_{0}=0}$ eginez, hauxe da ${\displaystyle t}$ aldiuneko posizioa:

$${\displaystyle y=h-{\frac {1}{2}}gt^{2}.}$$

Ekuazio horretatik, partikulak lurrazalera iristeko behar duen denbora ere kalkula daiteke. Horretarako, y = 0  egin behar dugu:

$${\displaystyle 0=h-{\frac {1}{2}}gt^{2},}$$

$${\displaystyle t={\sqrt {\frac {2h}{g}}}.}$$

Emaitza hori lehenago lorturiko abiaduraren ekuaziora eramanik, erorketa askean ${\displaystyle h}$ altueratik jausi den partikulak lurrazalera iristean izango duen abiadura bertikala kalkula dezakegu:

$${\displaystyle v=-gt=-g{\sqrt {\frac {2h}{g}}}=-{\sqrt {2gh}}.}$$

Zeinu negatiboak abiadura hori beheranzkoa dela adierazten du, noski.

Erorketa aske ideal eta bertikalean, abiaduraren osagai horizontala nulua da. Baina zer gertatzen da hasierako abiaduraren osagai hori nulua ez denean, baizik eta ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{0x}=v{\boldsymbol {i}}}$ balio duenean?

Erorketa aske parabolikoa hasierako abiadura horizontalaren kasuan.

Erorketa askean partikulak jasaten duen azelerazioa ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {g}}=-g{\boldsymbol {j}}}$ denez, eta horrek norabide bertikalean duen osagaia nulua denez, ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{x}=0}$ da, osagai horizontalak balio berbera izango du denbora guztian eta ibilbide osoan zehar:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v{\boldsymbol {i}}.}$$

Bestalde, norabide bertikaleko azelerazioa grabitatearena izanik, ${\displaystyle t}$ aldiuneko abiaduraren osagai bertikala higidura bertikaleko berbera izango da, hots:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{y}=-gt{\boldsymbol {j}}}$$

Hortaz, abiaduraren ekuazioa honako hau izango da:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v{\boldsymbol {i}}-gt{\boldsymbol {j}}.}$$

Erorketa aske parabolikoaren posizio eta ibilbidearen eskema.

Abiaduraren ekuazioa integratuz, partikularen posizioa kalkula daiteke edozein aldiunetan. Alboko irudiko eskema arabera, ${\displaystyle t=0}$ denean hasierako puntua ${\displaystyle P_{0}(0,h_{0})}$ eta hasierako abiadura horizontala ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{0}=v{\boldsymbol {i}}}$ izanik (ikus alboko irudia), honelaxe egiten da integrazioa:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {j}}=v{\boldsymbol {i}}-gt{\boldsymbol {j}}\rightarrow {\begin{cases}{\text{d}}x=v{\text{d}}t\\{\text{d}}y=-gt{\text{d}}t\end{cases}}}$$

Bi ekuazio horiek integratuz, ${\displaystyle t}$ aldiuneko ${\displaystyle P(x,y)}$ posizioaren koordenatuk lor ditzakegu:

$${\displaystyle \int _{0}^{x}{\text{d}}x=v\int _{0}^{t}{\text{d}}t\rightarrow x=vt,}$$

$${\displaystyle \int _{h_{0}}^{y}{\text{d}}y=-g\int _{0}^{t}t{\text{d}}t\rightarrow y-h_{0}=-{\frac {1}{2}}gt^{2}.}$$

Hortaz, hauexek dira partikularen bi osagai kartesiarren ekuazioak:

$${\displaystyle {\begin{cases}x=vt\\y=h_{0}-{\frac {1}{2}}gt^{2}\end{cases}}}$$

Ibilbidearen ekuazioa lortzeko, denbora eliminatu behar da aurreko bi ekuazioak konbinatuz. Horretarako, lehenengo ekuaziotik denbora askatuz,

$${\displaystyle t={\frac {x}{v}}}$$

lortzen da, eta bigarrenean ordezkatuz:

$${\displaystyle y=h_{0}-{\frac {g}{2v^{2}}}x^{2}.}$$

Hain zuzen ere, hori parabola baten ekuazio kartesiarra da. Hortaz, erorketa askeak ibilbide parabolikoa du.

Aipaturiko bi indarrak kontuan harturik, honelaxe idatz dezakegu atmosferako erorketa askean partikulan eragiten duen indarra:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {g}}-k{\frac {\boldsymbol {v}}{v}}.}$$

Newtonen bigarren legea aplikatuz:

$${\displaystyle m{\boldsymbol {a}}=m{\boldsymbol {g}}-k{\frac {\boldsymbol {v}}{v}},}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=-g{\boldsymbol {i}}-{\frac {k}{mv}}{\boldsymbol {v}},}$$

Erorketa aske errealaren ibilbide ia-parabolikoa (berdez) eta erorketa aske idealarena (urdinez).

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {{\text{d}}{^{2}}y}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {j}}=-g{\boldsymbol {i}}-{\frac {k}{mv}}{\Bigl (}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {j}}{\Bigr )}.}$$

Horixe da higiduraren ekuazio diferentziala. Ekuazio bektorial hori bi osagai kartesiarretan bana daiteke:

$${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}=-g-{\frac {k}{mv}}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}\\{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}=-{\frac {k}{mv}}{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\end{cases}}}$$

Bi ekuazio horietatik erorketa errealaren ibilbidea lor daiteke. Alboko irudi eskematikoan ikus daitekeenez, ibilbide erreala ia-parabolikoa da, ibilbide ideal parabolikotik pixka bat desbideraturik baitago, airearen marruskaduraren kausaz.

Distantzia handietara, Lurraren eremu grabitatorioa esferikoa da eta altuera handietan grabitatearen modulua eta norabidea ez dira konstanteak. Oro har, atmosferaz kanpoko distantzietan ―satelite artifizialen kasuan adibidez―, ibilbidea eliptikoa da, Keplerren legeak adierazten duten moduan.

Bestalde, hasierako abiadura nulua izan duen erorketa aske ideal baten kasuan, ibilbidea lerro zuzen da eta erortzen ari den gorputzaren abiaduraren balioa, masak eragindako eremu grabitatorioaren zentrora dagoen distantziaren araberakoa:

$${\displaystyle v={\sqrt {2GM{\Bigl (}{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r_{0}}}{\Bigr )}}},}$$

non ${\displaystyle G}$ grabitazioaren konstante unibertsala den, ${\displaystyle M}$ Lurraren masa, eta ${\displaystyle r}$ eta ${\displaystyle r_{0}}$ ibilbideko edozein aldiuneko posiziotik eta hasierako posiziotik Lurraren zentroarekiko distantziak diren hurrenez hurren. [2]

Erorketa askean jauzi egin ondoren, bidean koreografiak egiteko elkartu diren paraxutistak.