Eraztun (matematika)

Aljebra abstraktuan $(A,+,\cdot )$ eraztuna da $A$ multzorako $+$ (gehiketa) eragiketak elkartze eta trukatze propietatea eta elementu alderantzizko eta neutroaren existentzia betetzen dituen, eta $\cdot$ (biderketa edo produktua) elkartze propietatea eta banatze propietateak betetzen dituen egitura aljebraikoa.

Artikulu hau matematika-terminoari buruzkoa da; beste esanahietarako, ikus «Eraztun».

Definizioa:

$(A,+,\cdot )$ Eraztuna da baldin:

$+$ eragiketa $A$ -ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: $\forall a,b,c\in A:(a+b)+c=a+(b+c)$
$+$ Propietate trukakorra betetzen du, hau da: $\forall a,b\in A:a+b=b+a$
Existitzen da $0_{A}\in A$ non $\forall a\in A:a+0_{A}=a$ . $0_{A}$ $+$ eragiketarekiko elementu neutroa moduan denotatuko dugu.
$A$ -ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa (simetrikoa), hau da: $\forall a\in A,\exists a'\in A:a+a'=0_{A}$
$\cdot$ eragiketa $A$ -ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: $\forall a,b,c\in A:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
$\cdot$ eragiketa banatze propietatea betetzen du, hau da: $\forall a,b,c\in A:a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Eraztunak definitzeko era sinpleagoa existitzen da:

$(A,+,\cdot )$ Eraztuna da baldin:

$(A,+)$ talde abeldarra da.
$\cdot$ eragiketa $A$ -ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: $\forall a,b,c\in A:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
$\cdot$ eragiketa banatze propietatea betetzen du, hau da: $\forall a,b,c\in A:a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Adibideak:

$(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ Eraztuna da, gehiketa eta biderketarekin:

$(i)$ $(\mathbb {Z} ,+)$ Talde abeldarra da.

$(ii)$ Biderketa propietate elkarkorra betetzen du.

$(iii)$ Biderketa propietate banakorra betetzen du.

Beraz $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ eraztuna da.

$(\mathbb {N} ,+,\cdot )$ ez da eraztuna $(\mathbb {N} ,+)$ ez delako talde abeldarra.

Eraztunak: $(\mathbb {Z} ,+,\cdot ),(\mathbb {Q} ,+,\cdot ),(\mathbb {R} ,+,\cdot ),(\mathbb {C} ,+,\cdot )$

Eraztun tribialak:

Eraztun mota berezi bat existitzen da, eraztun tribiala deiturikoa, non multzoaren elementu bakarra elementu neutroa den (elementu bakarreko multzoa):

$(\{0\},+,\cdot )$ Eraztun bat da, $0$ elementu bakarra duen multzoarekin.

$\forall a,b,c\in \{0\},a=b=c=0:(0+0)+0=0+(0+0)$ gehiketak elkartze propietatea betetzen du.
$\forall a,b\in \{0\},a=b=0:0+0=0+0$ gehiketak trukatze propietatea betetzen du.
Elementu neutroa existitzen da, $0$ non $\forall a\in \{0\},a=0:0+0=0$
$0$ elementuaren alderantzizkoa $0$ bera da.
$\forall a,b,c\in A,a=b=c=0:(0\cdot 0)\cdot 0=0\cdot (0\cdot 0)$ biderketak elkartze propietatea betetzen du.
$\forall a,b,c\in A,a=b=c=0:(0+0)\cdot 0=0\cdot 0+0\cdot 0$ biderketak banatze propietatea betetzen du.

Beraz $(\{0\},+,\cdot )$ eraztuna da, gainera tribiala elementu bakarreko multzoa eratzen duelako.

Kanpo estekak

Datuak: Q161172

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.