Ekuazio lineal

Ekuazio linealak hainbat modutara berridatz daitezke oinarrizko aljebra erabiliz.

Ekuazio linealen forma orokorra honela adierazten da:

${\displaystyle Ax+By=C,\,}$

non ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle B}$ zeroren desberdinak diren. Ekuazioaren grafikoa zuzen bat da, eta edozein zuzen aurreko ekuazioaren bidez adieraz daiteke. ${\displaystyle A}$ zeroren desberdina denean, zuzenak ${\displaystyle C/A}$ puntuan ebakiko du ${\displaystyle x}$ ardatza; ${\displaystyle B}$ zeroren desberdina bada, zuzenak ${\displaystyle C/B}$ puntuan ebakiko du ${\displaystyle y}$ ardatza, eta zuzenaren malda ${\displaystyle -A/B}$ izango da. Batzuetan, ekuazio linealaren forma orokorra honela idazten da:

${\displaystyle ax+by+c=0,\,}$

non ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ zeroren desberdinak diren. Ekuazioaren adierazpen batetik bestea lor daiteke konstantea mugituz.

${\displaystyle y=mx+b,\,}$

non ${\displaystyle m}$ konstantea zuzenaren malda den eta ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ardatzaren ebaki-puntua. Hori erraz ikus daiteke: ${\displaystyle x}$-ri zero balioa emanez, ${\displaystyle y=b}$ lortzen da, eta horrek esan nahi du zuzenak ${\displaystyle y}$ ardatza ${\displaystyle b}$ puntuan ebakitzen duela. Forma horren bidez, erraz ikus daiteke zuzena gorakorra edo beherakorra den. Zuzena beherakorra da ${\displaystyle m<0}$ denean, eta gorakorra ${\displaystyle m>0}$ denean.

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}),\,}$

non ${\displaystyle m}$ konstantea zuzenaren malda den eta ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ zuzeneko edozein puntu.

Zuzen baten malda

Forma honek erakusten du ${\displaystyle x}$ ardatzeko bi punturen arteko distantzia ${\displaystyle (x-x_{1})}$ ${\displaystyle y}$ ardatzeko bi punturen arteko distantziarekiko ${\displaystyle (y-y_{1})}$ proportzionala dela. Porportzionaltasun-konstantea ${\displaystyle m}$ da (zuzenaren malda).

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}),\,}$

non ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ eta ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$ baldintza betetzen duten zuzeneko bi puntu diren. Puntu bikoitzeko forma puntu-malda formaren baliokidea da, zuzenaren malda ${\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\,}$eran emanda baitago.

Ekuzioaren bi aldeak ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})}$ balioarekin biderkatuz, forma simetriko deritzon adierazpena lortzen da:

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})=(y_{2}-y_{1})(x-x_{1}).\,}$

Oinarrizko propietateak aplikatuz eta gaiak berrantolatuz, honako forma hau lortzen da:

${\displaystyle x\,(y_{2}-y_{1})-y\,(x_{2}-x_{1})=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}$.

Aurreko adierazpenetik determinante forma lor daiteke:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0\,.}$

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1,\,}$

non ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ zeroren desberdinak diren. Adierazpen honetatik erraz ondoriozta daiteke zuzenak ${\displaystyle y}$ ardatza ${\displaystyle b}$ puntuan ebakiko duela eta ${\displaystyle x}$ ardatza ${\displaystyle a}$ puntuan. Intersekzio-forma forma orokor bezala idatz daiteke ${\displaystyle A/C=1/a}$ eta ${\displaystyle B/C=1/b}$ aldaketak eginez. Jatorritik igarotzen diren zuzenak, zuzen bertikalak eta zuzen horizontalak ezin dira modu horretan adierazi.

Forma orokorretik abiatuta, hots, ${\displaystyle Ax+By=C}$ ekuaziotik hasita, forma matriziala lor daiteke:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C\end{pmatrix}}.}$

Gainera, adierazpen hori ekuazio linealen sistemetara heda daiteke.

Adibidez,

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y=C_{1},\,}$

${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y=C_{2},\,}$

ekuazio-sistema honela laburtu daiteke:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{1}\\C_{2}\end{pmatrix}}.}$

Adierazpen horren bidez erraz alda daiteke dimentsio handiagoetara; horregatik, aljebra linealean eta programazio matematikoan oso ohiko adierazpena da. Ekuazio linealen sistemak ebazteko metodoak, adibidez, Gauss-Jordan metodoa, matrizeko ilaren arteko eragiketak eginez adieraz daitezke.

${\displaystyle x=Tt+U\,}$ eta ${\displaystyle y=Vt+W.\,}$

Aldibereko bi ekuazio horiek ${\displaystyle t}$ parametroaren arabera idatzita daude. Zuzenaren malda ${\displaystyle V/T}$ izango da, ${\displaystyle x}$ ardatza ${\displaystyle (VU-WT)/V}$ puntuan ebakiko du eta ${\displaystyle y}$ ardatza ${\displaystyle (WT-VU)/T}$ puntuan.

Zuzen baten ekuazioa bi bektoreren arteko detemerminante gisa idatz daiteke. ${\displaystyle P_{1}}$ eta ${\displaystyle P_{2}}$ zuzeneko puntuak badira, orduan ${\displaystyle P}$ puntua zuzeneko parte izango da honakoa betetzen bada:

${\displaystyle \det({\overrightarrow {P_{1}P}},{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}})=0.}$

Formula ulertzeko modu bat da bi bektoreren arteko determinanteak puntuek osatzen duten paralelogramoaren azalera ematen digula jakitea. Gainera, determinantea zeroren berdina bada, paralelogramoak ez du azalerarik, eta bi bektoreak zuzen berdina osatzen dutela esaten da.

Zehatzago idatzita esan daiteke ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},\,y_{1})}$, ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},\,y_{2})}$ eta ${\displaystyle P=(x,\,y)}$ direla. Kasu horretan, ${\displaystyle {\overrightarrow {P_{1}P}}=(x-x_{1},\,y-y_{1})}$ eta ${\displaystyle {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}=(x_{2}-x_{1},\,y_{2}-y_{1})}$ direnez, aurreko ekuazioa honela idatz daiteke:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{pmatrix}}=0.}$

Adierazpena garatuz,

${\displaystyle (x-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(y-y_{1})(x_{2}-x_{1})=0.}$

Hau da,

${\displaystyle (x-x_{1})(y_{2}-y_{1})=(y-y_{1})(x_{2}-x_{1}).}$

Zuzen horizontala, y=b

Ekuazioaren bi aldeetan ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})}$ gaia biderkatuz puntu bikoitzeko forma lortzen da.

• ${\displaystyle y=b\,}$. Ekuazio hau ${\displaystyle A=0}$ eta ${\displaystyle B=1}$ direneko forma orokorraren kasu berezi bat da. Kasu honetan zuzenaren malda 0 dela esan daiteke; zuzena horizontala izango da eta, ekuazioak dioen bezala, ${\displaystyle y}$ ardatza ${\displaystyle b}$ puntuan ebakiko du. ${\displaystyle b\neq 0}$ den kasuetan esango dugu zuzenak ez duela ${\displaystyle x}$ ardatza ebakiko. ${\displaystyle b=0}$ denean, ordea, zuzeneko puntu guztiak ${\displaystyle x}$ ardatzean egongo dira.

Zuzen bertikala x=a

• ${\displaystyle x=a\,}$.Ekuazio hau ${\displaystyle A=1}$ eta ${\displaystyle B=0}$ direneko forma orokorraren beste kasu berezi bat da. Kasu honetan zuzenaren malda definitu gabea dela esan daiteke; zuzena bertikala izango da eta, ${\displaystyle a\neq 0}$ den kasuetan, esan daiteke zuzenak ez duela ${\displaystyle y}$ ardatza ebakiko. ${\displaystyle a=0}$ denean, ordea, zuzeneko puntu guztiak ${\displaystyle y}$ ardatzean egongo dira.

${\displaystyle y=f(x)}$ moduan adierazten den eta jatorritik igarotzen den ekuazio linealak honako bi propietate hauek betetzen ditu:

${\displaystyle f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})\ }$

eta

${\displaystyle f(ax)=af(x),\,}$

non ${\displaystyle a}$ eskalarra den. Aurreko bi propietateak betetzen dituen funtzioari funtzio lineal deritzo.