Ekuazio diferentzial arrunt

Matematikan, ekuazio diferentzial arrunta (EDA) ekuazio diferentzial[1][2] bat da. Ekuazio diferentzial horretan ezezaguna aldagai independente bakarreko funtzio bat edota aldagai independente bakarreko hainbat funtzio dira, eta ekuazioan bertan ageri da bai funtzio ezezaguna[k] eta bai funtzio ezezagun horren edo horien deribatuak.[3][4] Arrunta terminoa erabiltzen da ekuazio diferentzial partzial terminoarengandik bereizteko, izan ere, ekuazio diferentzial partzialetan funtzio ezezagunean hainbat aldagai independente ager daitezke, hau da, aldagai independente bat baino gehiago izan ditzake eta aldagai horietako bakoitzarekiko deribatu partzialez hitz egin beharko genuke.[5]

Ekuazio diferentzialak

Ekuazio diferentzial arrunten artean, ekuazio diferentzial linealek garrantzi nabarmena dute zenbait arrazoirengatik. Fisikan eta matematika aplikatuan dauden funtzio gehienak, bai oinarrizkoak eta bai bereziak, ekuazio diferentzial linealen ebazpenak dira (ikus funtzio holonomikoa). Fenomeno fisikoak ekuazio ez-linealen bidez modelizatzen direnean, gehienetan ekuazio diferentzial linealen bidez hurbiltzen dira, ebazpena errazago lortzeko. Esplizituki ebatz daitezkeen EDA ez-lineal gutxi horiek ebazteko, ekuazioa EDA lineal baliokide bihurtzen da normalean (ikus, adibidez, Riccati ekuazioa).

Ekuazio diferentzial lineala ekuazio diferentzial bat da, funtzio ezezagunean eta haren deribatuetan polinomio lineal batek definitzen duena, hau da, honako itxura duen ekuazioa:

a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+r(x)=0,

non $a_{0}(x),a_{1}(x),\cdots +a_{n}(x)$ eta $r(x)$ edozein funtzio diferentziagarri diren (ez dute linealak izan beharrik), eta $y,y',+\cdots y^{(n)}$ funtzio ezezaguna eta funtzio ezezagunaren $x$ aldagaiarekiko deribatuak diren.

Hainbat EDA esplizituki ebatz daitezke funtzio eta integral ezagunen bidez. Hori ezinezkoa denean, soluzioaren Taylor seriea konputatzeko ekuazioa erabilgarria izan daiteke. Problema aplikatuetarako, ekuazio diferentzial arruntetarako zenbakizko metodoek soluzioaren hurbilketa bat eman dezakete, esate baterako Runge-Kutta metodoek.

Testuingurua

parabolic projectile motion showing velocity vector

Kanoi batetik jaurtitako jaurtigai baten ibilbideak Newtonen bigarren legetik ondorioztatzen den ekuazio diferentzial arrunt batek zehaztutako kurba bati jarraitzen dio.

Ekuazio diferentzial arruntak (EDA) matematikaren eta gizarte- eta natura-zientzien testuinguru askotan sortzen dira. Aldaketen adierazpide matematikoa deribatuen eta diferentzialen bidez egiten da eta ekuazio batek erlaziona ditzake hainbat diferentzial, deribatu eta funtzio. Horrela, ekuazio diferentzial batek deskribatzen du dinamikoki aldatzen den fenomeno bat, bere bilakaera edota aldaketa. Askotan, kantitateak definitzen dira beste kantitate baten aldaketa-tasa moduan (adibidez, desplazamenduaren deribatuak denborarekiko) edo kantitateen gradiente moduan, eta horrela ekuazio diferentzialak sortzen dira.

Ekuazio diferentzialak agertzen diren alorrak dira, matematika-eremuetan, geometria eta mekanika analitikoa, eta zientzia-alor ezberdinetan aipa genitzake, besteak beste, fisika orokorrean, astronomia (zeruko mekanika), meteorologia (modelizazio meteorologikoa), kimika (erreakzio-tasak), biologia (gaixotasun infekziosoak, aldakuntza genetikoa), ekologia eta populazioaren modelizazioa (populazioaren lehia), ekonomia (erreserben joerak, interes-tasak eta merkatuko prezioen aldaketak).

Matematikari askok ekuazio diferentzialak aztertu izan dituzte eta gaiari aurrerapen nabarmenak eskaini dizkiote, aipatzeko modukoak dira, Newton, Leibniz, Bernoulli familia, Riccati, Clairaut, d'Alembert eta Euler.

Adibide sinple bat Newtonen bigarren mugimendu-legea da. Horren arabera, F indarraren pean dagoen gorputzaren desplazamenduaren eta t denboraren arteko erlazioa ekuazio diferentzial baten bidez adierazten da:

m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,

Ekuazioak m masa konstanteko partikula baten mugimendua mugatzen du. Oro har, denboraren t unean partikularen x(t) posizioaren funtzio bat da F. Funtzio ezezaguna, hau da, x(t) funtzioa, ekuazio diferentzialaren bi aldeetan ageri da, eta F(x(t)) notazioan adierazten da.[6] [7] [8] [9]

Definizioak

Aurrerantzean, y mendeko aldagai bat izango da, eta x aldagai independentea, horrela, y = f(x) izango da x aldagaiaren mende dagoen funtzio ezezaguna. Diferentziazioaren notazioa aldatu egiten da autoreen eta lan eremuen arabera. Testuinguru horretan, Leibnizen notazioa (dy/dx, d²y/dx², …, dⁿy/dxⁿ) erabilgarriagoa da diferentziazioan eta integrazioan baina Lagrangeren notazioa (y′, y′′, …, y⁽ⁿ⁾) erabilgarriagoa da edozein ordenatako deribatuak adierazteko. Bestalde, Newtonen notazioa $({\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}})$ fisikan asko erabiltzen da denborarekiko ordena txikiko deribatuak adierazteko.

Definizio orokorra

Izan bedi F funtzioa x-ren, y-ren eta y-ren deribatuen funtzio bat. Horrela, n ordenako ekuazio diferentzial arrunt esplizitu deritzo [10] honako ekuazioari:

F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}

Oro har, n ordenako ekuazio diferentzial arrunt inplizitu bat honelakoa da:[7]

F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0

Beste sailkapen batzuk ere badaude:

Autonomo

x aldagaiarekiko dependentziarik ez duen ekuazio diferentziala

Lineal

Ekuazio diferentziala lineala dela esaten da baldin eta F idatz badaiteke y-ren deribatuen konbinazio lineal gisa:

y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)

non a _i (x) eta r (x) funtzioak x aldagaiarekiko jarraituak diren.

r(x) funtzioaren arabera ondoko bi klasifikazio garrantzitsu egin daitezke:

Homogeneo: r(x) = 0 denean, eta ondorioz, soluzio "automatikoa" daukanean y = 0 soluzio tribiala.
Ez-homogeneo: r(x) ≠ 0 denean.

Ez-lineal: Konbinaziolineal baten moduan idatzi ezin den ekuazio diferentziala.

EDAen sistema

Elkar nahasian dauden hainbat ekuazio diferentzialek ekuazio sistema bat osatzen du. Baldin eta y bektore bat bada eta bere elementuak funtzioak badira, hau da, y bektorearen osagai bakoitza funtzio bat bada,: y(x) = [y₁(x), y₂(x),..., y_m(x)], eta F funtzio bektorial bat bada, hau da, F bektoreko elementu bakoitza y-ren eta haren deribatuen funtzio bat bada, orduan, n ordenako eta m dimentsioko ekuazio diferentzial arrunten sistema esplizitua da:

\mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)

Zutabe-bektore gisa:

{\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}

Funtzio bektorialeko f₁(), f₂(),..., f_m() funtzioek ez dute nahitaez linealak izan beharrik. Horren pareko sistema inplizitua da:

\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}

non 0= (0, 0, ..., 0) zero bektorea den. Matrize gisa

{\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}

$\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}$ itxurako sistema baterako, iturri batzuek eskatzen dute EDA [sistema] inplizitua izendatzeko matrize jacobiarra ${\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}$ ez-singularra izatea: ez-singularra izateko baldintza betetzen duen EDA inplizituen sistema transforma daiteke EDA esplizituen sistema batean. Iturri berberetan, jacobiar singularra duten EDA inplizituen sistemei ekuazio aljebraiko diferentzial (EAD) deritze. Bereizketa hori ez da terminologia hutsa; EADek funtsean ezaugarri desberdinak dituzte, eta, oro har, EADen sistemak ebaztea zailagoa da EDAen sistemak (ez-singularrak) ebaztea baino. Irizpide honi jarraituz, ordena altuagoko ekuazio sistemetan, hurrengo deribatuak, matrize Hessiarra eta hurrengoak, ez-singularrak izatea eska daiteke, Dena den, 1 ordena baino altuagoko edozein EDA alda daiteke eta berridatz daiteke (gainera, ohikoena horixe egitea da) lehen ordenako EDAen sistema gisa[11]. Ondorioz, jacobiarraren singularitatearen irizpidea nahikoa da ordena edozein dela ere.

EDO sistema baten portaera fase-aldaketen bidez ikus daiteke.

Soluzioak

Ekuazio diferentzial bat emanda

F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0

u funtzioa, u: I ⊂ R → R non I tarte bat den, F-ren soluzio edo kurba integral bat izango da baldin eta u n aldiz diferentziagarria bada I tartean eta

F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.

Bi soluzio emanda, u: I ⊂ R → R eta v: J ⊂ R → R, u izango da v-ren luzapena baldin eta J ⊂ I eta

u(x)=v(x)\quad x\in J.\,

Luzapenik ez duen soluzio bati soluzio maximal deritzo. $\mathbf {R}$ osoan definitutako soluzio bati soluzio global deritzo.

n ordenako ekuazio baten soluzio orokor batek n integrazio-konstante independente arbitrario edukiko ditu. Soluzio partikular bat soluzio orokorretik eratortzen da, integrazio-konstanteei balio partikularrak ezarriz; balio partikular hauek aukeratzen dira ekuazioari ezarritako "hasierako baldintzak edo mugako baldintzak" bete daitezen. Soluzioa singularra izango da baldin eta soluzioa ezin bada lortu soluzio orokorreko konstante arbitrarioei balio definituak ezarriz .[6]

EDA linealaren testuinguruan, soluzio partikular terminoa EDAren edozein soluziori ere badagokio (hasierako baldintzak bete ez arren), zeina soluzio homogeneoari gehitzen zaion (EDA homogeneoaren soluzio orokor bat); Eta honek, jatorrizko EDAren soluzio orokor bat eratzen du. Terminologia hori erabiltzen da artikulu honetako asmatze-metodoaren atalean, eta maiz erabiltzen da koefiziente zehaztugabeen metodoa eta parametroen aldaketa eztabaidatzen direnean.

Lehenengo ordenako EDA baten soluzioa

Har dezagun lehen ordenako ekuazio diferentzial arrunta:

$y'=F\left(x,y\right)$

Bere soluzio orokorrak K konstante arbitrario baten menpekotasuna izango du, eta soluzio hori honako itxurako soluzioa izango da:

$y=\varphi \left(x,K\right).$

K konstantearen edozein baliorentzat ekuazio diferentzialaren baldintza bete egingo du soluzioak. Gainera, ekuazio diferentzialak hasierako baldintzaren bat bete behar badu, esate baterako

$y(x_{0})=y_{0}$

baldintza bada, orduan beti aurkitu ahal izango dugu K konstante arbitrarioarentzat K₀ balioa zeinarentzat $y=\varphi \left(x,K_{0}\right)$ funtzioak, ekuazio diferentziala betetzeaz gain, hasierako baldintza ere bete egingo duen. Beti ere suposatzen da $(x_{0},y_{0})$ puntua soluzioaren esistentzia eta bakartasuna betetzen den tarteren batean dagoela.

Iraupen mugatuko soluzioak

EDA autonomo ez-linealen kasuan, posible da, zenbait baldintzatan, iraupen finituko soluzioak garatzea.[12] Horrek esan nahi du, beren dinamikatik abiatuta, sistemak zero balioa lortuko duela azken unean, eta zeroan egongo dela gero betirako. Iraupen finituko soluzio horiek ezin dira funtzio analitikoak izan lerro erreal osoan, eta, amaierako denboran Lipschitz-funtzioak ez direnez, ez dute beteko soluzio bakarra izatearen propietatea, Lipschitzen ekuazio diferentzialen soluzioek duten berezitasuna.

Adibidez, ekuazio honek:

y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1

Iraupen mugatuko soluzioa onartzen du:

y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}

Hasierako baldintzak

Orokorrean, ekuazio diferentzialak bete beharreko hasierako edo mugako baldintzarik zehazten ez bada, ekuazioak ez du soluzio [partikular] bakarra izango. Ekuazio diferentzial lineal baten ordena n bada, hasierako edo mugako n baldintza behar dira ekuazio diferentziala eta hasierako edo mugako baldintza guztiak betetzen dituen soluzio bakarra egon dadin.

Ebazpen metodoak

Mota askotako Ekuazio Diferentzial Arruntak daude, mota bakoitzak ebazpena lortzeko bide ezberdina du. Ordenaren arabera bereiztea komeni da, izan ere lehen ordenakoak ebaztea errazagoa izan ohi da.

Soluzio analitikoak

Badaude hainbat metodo Ekuazio Diferentzial Arrunt linealen soluzio analitikoak lortzea ahalbidetzen dutenak. Bereziki, ekuazio linealeko koefizienteak konstanteak edota periodikoak direnean, soluzioa eratzea ez da zaila izaten. Koefizienteak ez direnean konstanteak edo periodikoak, baina Taylor Serieen edo Laurenten serieen bidez adieraz daitezkeenean, hainbat murrizpen betetzen direnean Frobeniusen metodoa aplika daiteke. Beste aukera bat izan daiteke n ordenako ekuazio diferentzial arrunta n ekuazio diferentzial lineal dituen sistema batean bihurtzea.

Ezkuazio diferentzial arrunta ez bada lineala ez dago metodo orokorrik.

Zenbakizko metodoak

Besterik ezin denean, zenbakizko metodoak erabiltzen dira Ekuazio Diferentzial Arrunten soluzioen hurbilketak lortzeko. Metodo hauek ere asko dira[13] eta problemaren arabera metodo egokiena aukeratzea komeni da.

Teoriak

Soluzio singularrak

Ekuazio diferentzial arrunten eta partzialen soluzio singularren teoria Leibnizen garaitik ikertu zen, baina XIX. mendearen erdialdetik aurrera bakarrik jaso du arreta berezia. Gaiari buruzko lan baliotsua, baina ez oso ezaguna, Houtainena da (1854). Darboux (1873) teoriaren buru izan zen, eta soluzio horien interpretazio geometrikoaren inguruko ikerketa lerroa ireki zuen. Hainbatek ekin zion bide horri, aipagarrienak Casorati eta Cayley. Azken horri zor zaio (1872) lehen ordenako ekuazio diferentzialen soluzio singularren teoria, 1900 inguruan onartutakoa.

Koadraturetara murriztea

Ekuazio diferentzialekin jarduteko lehen saiakerek ekuazio diferentziala koadraturetara murriztean oinarritu ziren. XVIII. mendeko algebraistek n graduko ekuazio orokorra ebazteko metodo bat aurkitzeko itxaropena izan zuten bezala, analisten itxaropena zen edozein ekuazio diferentzial integratzeko metodo orokor bat aurkitzea. Gauss-ek (1799), ordea, ekuazio diferentzial konplexuek zenbaki konplexuak behar dituztela erakutsi zuen. Hala, analistek funtzioen azterketa ordezkatu zuten, eremu berri eta emankorra sortuz. Cauchy izan zen ikuspegi horren garrantzia azpimarratzen lehena. Hortik aurrera, benetako kontua ez zen ea soluzio bat posible ote zen funtzio ezagunen edo integralen bidez, baizik eta emandako ekuazio diferentzial bat nahikoa ote zen aldagai askearen edo askeen funtzio bat definitzeko, eta, hala bada, zein diren propietate bereizgarriak.

Fuchsiar teoria

Fuchsen bi memoriek beste ikuspegi berri bat sustatu zuten, gerora Thomék eta Frobeniusek landutakoa. Collet-ek asko eragin zuen 1869tik aurrera. Sistema ez-lineal bat integratzeko bere metodoa Bertrand-i jakinarazi zitzaion 1868an. Clebschek (1873) integral abeliarren teorian bezala ekin zion teoriari. Azken hori eraldaketa arrazional baten pean aldatu gabe dagoen oinarrizko kurbaren propietateen arabera sailka daitekeen legez, ekuazio diferentzialen bidez definitutako funtzio transzendenteak ere antzera sailkatzea proposatu zuen Clebsch-ek, hau da, bakoitzari dagokion f = 0 gainazalen propietate inbarianteen arabera, bat-batiko transformazio arrazionalen pean.

Lieren teoria

1870etik aurrera, Sophus Lieren lanak oinarri sendoagoak eman zizkion ekuazio diferentzialen teoriari. Frogatu zuen antzinako matematikarien integrazio-teoriek, Lieren taldeak erabiliz, jatorri berekoak direla, eta transformazio infinitesimal berak onartzen dituzten ekuazio diferentzial arruntek integratzeko zailtasun konparagarriak dituztela. Kontaktuen transformazioen gaia ere nabarmendu zuen.

Lieren taldeen teoria ekuazio diferentzialetan ziurtatu egin da: (1) ekuazio diferentzialak ebazteko ezagutzen diren ad hoc metodo asko bateratzen ditu, eta (2) soluzioak aurkitzeko modu berri eta indartsuak ematen ditu. Teoriak ekuazio diferentzial arrunt nahiz partzialetarako aplikazioak ditu. [14]

Soluzio orokorraren ikuspegi batek ekuazio diferentzialen simetriaren propietatea erabiltzen du, soluzioen transformazio infinitesimal jarraitua soluzioetara (Lie teoria). Talde teoria jarraitua, Lie algebrak eta geometria diferentziala baliagarri dira ekuazio diferentzial linealen eta ez-linealen (partzialen) egitura ulertzeko, ekuazio integragarriak sortzeko, Lax pareak, errekurtsio-eragileak eta Bäcklund-en transformatua aurkitzeko, eta, azkenik, Ekuazio Diferentzialen soluzio analitiko zehatzak aurkitzeko.

Simetria-metodoak matematikan, fisikan, ingeniaritzan eta beste hainbat alorretan sortzen diren ekuazio diferentzialei aplikatzen zaizkie.

Sturm–Liouvilleren teoria

Sturm–Liouvillen teoria bigarren ordenako ekuazio diferentzial lineal mota berezi baten teoria da. Bere soluzioak autobalioetan eta dagozkien autofuntzioetan oinarritzen dira, bigarren mailako ekuazio lineal homogeneoen bidez definitutako eragile linealen autofuntzioetan hain zuzen ere. Problemak Sturm-Liouville Problemak (SLP) izenarekin identifikatzen dira XIX. mendearen erdialedean inguruan J.C.F. Sturmek. eta J. Liouvillek, aztertu zituztenetik. SLPek autobalio-kopuru infinitua dute, eta dagozkien autofuntzioek multzo osotua eta ortogonala osatzen dute, eta horrek hedaketa ortogonalak egiteko aukera ematen du. Ideia hori funtsezkoa da matematika aplikatuan, fisikan eta ingeniaritzan.[15] SLPak ere erabilgarriak dira ekuazio diferentzial partzial batzuk aztertzeko.

Soluzioen existentzia eta bakartasuna

Zenbait teorema daude esaten dutenak hasierako balioaren problemek, tartean EDAek, soluzioa dutela eta soluzioa bakarra dela, bai lokalki eta bai globalki. Hauek dira bi teorema nagusiak:

Teorema	Suposizioa	Ondorioa
Peano existentzia teorema	F jarraitua	existentzia lokala
Picard–Lindelöf teorema	F Lipschitz jarraitua	existentzia lokala eta bakarra

Oinarrizko moduan, bi teoremek soluzio lokalak baino ez dituzte bermatzen, baina hedatu egin daitezke eta soluzio globalak bermatzeko egokitu, adibidez, Grönwall-en desberdintasunaren baldintzak betetzen badira.

Bestalde, bakartasun-teoremak ez zaizkie aplikatzen EAD sistemei, beren zati aljebraikotik (ez-lineala) abiatuta hainbat soluzio izan baititzakete.[16]

Existentzia lokalaren eta bakartasunaren teorema sinplifikatuta

Teorema era sinplifikatuan honela azal daiteke.[17] Izan bedi hasierako balioaren problema bat ekuazio diferentzial baten bidez eta hasierako balio baten bidez adierazia:

y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})

Izan bedi, era berean R laukizuzena x-y planoan definitua:

R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]

non a eta b errealak diren (sinbolikoki: $a, b \in R$ ), $\times$ ikurrak biderkadura cartesiarra adierazten duen eta kortxeteek tarte itxia adierazten duten. F eta ∂F/∂y jarraituak baldin badira R laukizuzenean, orduan, existitzen da $h \in R$ balio bat zeinak definitzen duen tarte bat

I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]

eta tarte horretan hasierako balioaren problemak soluzioa dauka. Hau da, soluzioa dauka eta gainera bakarra da. F lineala izateko murrizketarik ez dagoenez, F(x, y) forma hartzen duten ekuazio ez-linealei ere aplika dakieke, bai eta ekuazio-sistemei ere.

Bakartasun globala eta soluzioaren domeinu maximoa

Picard-Lindelöfen teoremaren hipotesiak betetzen direnean, existentzia lokala eta bakartasuna izaera global batera heda daitezke. Zehatzago esanda:[18]

Hasierako (x0, y0) baldintza bakoitzerako, $I_{\text{max}}$ tarte ireki maximo bakarra dago (ziur aski infinitua):

I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }

eta hasierako baldintza hori betetzen duen edozein soluzio izango da $I_{\max }$ domeinuan hasierako baldintzak betetzen dituen soluzioaren murrizketa (funtzio murriztua).

Baldin eta $x_{\pm }\neq \pm \infty$ , orduan bi aukera daude:

leherketa denbora mugatuan: $\limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty$
Definizio-eremutik irtetea: $\lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}$

non $\Omega$ den F definituta dagoen tarte irekia, eta $\partial {\bar {\Omega }}$ bere muga.

Kontuan izan soluzioaren gehienezko domeinua

tarte bat da beti (bakartasun baldintza bete dadin)
$\mathbb {R}$ baino txikiagoa izan daiteke
(x0, y0) aukeraren araberakoa izan daiteke.

Adibidez,

y'=y^{2}

Horrek esan nahi du $F(x,y)=y^{2}$ dela eta hori $C^{1}$ denez, lokalki Lipschitz jarraitua da, beraz, Picard-Lindelöf teorema betetzen du.

Ingurune sinple honetan ere, soluzioaren domeinu maximoak ezin du $\mathbb {R}$ osoa izan, soluzioa hau baita:

y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}

eta horren domeinu maximoa da:

{\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}\right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end{cases}}

Horrek argi erakusten du tarte maximoa hasierako baldintzen araberakoa izan daitekeela. y-ren domeinutzat har liteke $\mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0}),$ baina horrek tartea ez den domeinua suposatzen du; ondorioz, hasierako baldintzaren aldea kontrako aldetik deskonektatuta legoke eta, beraz, ezin du berak era bakarrean zehaztu.

Domeinu maximoa ez da $\mathbb {R}$ , izan ere

\lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,

hain zuzen ere aipatutako teoreman agertutako bi aukera posibleetako bat.

Ordena murriztea

Ekuazio diferentzialak errazago ebatz daitezke ekuazioaren ordena murriztu badaiteke.

Lehen ordenako sisteman bihurtzea

n ordenako edozein ekuazio diferentzial esplizitu,

{\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}

lehen mailako n ekuazio diferentzialen sistema gisa idatz daiteke, i = 1, 2,..., n balioentzat funtzio ezezagunen familia berri bat definituz

y_{i}=y^{(i-1)}.\!

Lehen ordenako ekuazio diferentzial akoplatuen sistema n-dimentsionala hau da:

\mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )

bektore-notazioarekin era trinkoagoan adieraz daiteke:

\mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )

non

\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).

Soluzio zehatzen laburpena

Ekuazio diferentzial batzuek soluzio zehatzak eta mugatuak dituzte. Honako tauletan hainbatt klase garrantzitsu daude.

Hurrengo taulan, $P (x)$ , Q(x), P(y), Q(y), eta M(x,y), N(x,y) funtzioak x-ren eta y-ren menpeko edozein funtzio integragarridira, bestalde, $b$ eta c zenbaki erreal konstanteak dira eta $C_{1},C_{2},\ldots$ edozein balio arbitrario izan ditzaketen konstanteak dira (orokorrean konplexuak izan daitezke). Ekuazio diferentzialak beren forma baliokideetan erakusten dira, integrazioaren bidez soluziora iristeko moduan.

Integralen soluzioetan, $\lambda$ eta $\varepsilon$ integrazioko alegiazko aldagaiak dira (batutze-indizeen analogo jarraituak), eta $\int x F (λ) dλ$ notazioak adierazten du $F(\lambda )$ funtzioaren integrala egin λ aldagaiarekiko, eta integratu ondoren λ = x aldaketa egin, konstanterik gehitu gabe.

Ekuazio bereizgarriak

Ekuazio diferentziala	Ebazpen-metodoa	Soluzio orokorra
Lehenengo ordena, x eta y bereizgarriak (kasu orokorra, ikus aurrerago kasu bereziak)[19] ${\begin{aligned}P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\P_{1}(x)Q_{1}(y)\,dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,dy&=0\end{aligned}}$	Aldagaiak bereiztea ( $P_{2}Q_{1}$ -en bidezko zatiketa).	$\int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,d\lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,d\lambda =C$
Lehen ordena, x-ean bereizgarria[17] ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(x)\\dy&=F(x)\,dx\end{aligned}}$	Zuzeneko integrazioa.	$y=\int ^{x}F(\lambda )\,d\lambda +C$
Lehen ordena, autonomoa, y-ean bereizgarria[17] ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(y)\\dy&=F(y)\,dx\end{aligned}}$	Aldagaiak bereiztea (F bidezko zatiketa).	$x=\int ^{y}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )}}+C$
Lehen ordena, x eta y etan bereizgarria[17] ${\begin{aligned}P(y){\frac {dy}{dx}}+Q(x)&=0\\P(y)\,dy+Q(x)\,dx&=0\end{aligned}}$	Orotan integratzea.	$\int ^{y}P(\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}Q(\lambda )\,d\lambda =C$

Lehen ordenako ekuazio orokorrak

Ekuazio diferentziala	Ebazpen-metodoa	Soluzio orokorra
Lehen ordenakoa, homogeneoa[17] ${\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)$	y = ux ezarri, eta, ondoren, u eta x aldagaiak bereiziz ebatzi.	$\ln(Cx)=\int ^{y/x}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }}$
Lehen ordena, bereizgarria[19] ${\begin{aligned}yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\yM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy&=0\end{aligned}}$	Aldagaiak bereizi (xy bidezko zatiketa).	$\ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}$ N = M bada, emaitza xy = C da.
Diferentzial zehatza, lehen ordena[17] ${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}$ non ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$	Orotan integratu.	${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d\lambda \\&=\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{aligned}}$ non $Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda$ eta $X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda$
Diferentzial zehaztugabea, lehen ordena[17] ${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}$ non ${\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}$	$\mu (x,y)$ integrazio-faktorea honakoa betetzen duena ${\frac {\partial (\mu M)}{\partial y}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial x}}$	$\mu (x,y)$ era egoki batean lor badaiteke, orduan: ${\begin{aligned}F(x,y)=&\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d\lambda \\=&\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{aligned}}$ non $Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda$ eta $X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda$

Bigarren ordenako ekuazio orokorrak

Ekuazio diferentziala	Ebazpen-metodoa	Soluzio orokorra
Bigarren ordena, autonomoa[20] ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)$	Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2dy/dx-z, ordeztu $2{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$ , ondoren bi aldiz integratu.	$x=\pm \int ^{y}{\frac {d\lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\varepsilon )\,d\varepsilon +C_{1}}}}+C_{2}$

n. ordenarainoko ekuazio linealak

Ekuazio diferentziala	Ebazpen-metodoa	Irtenbide orokorra
Lehen ordena, lineala,ez-homogeneoa,koefizienteak funtzioak[17] ${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$	Faktore integratzailea: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }.$	Armour formula: $y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda +C\right]$
Bigarren ordena, lineala, ez-homogeneoa,koefizienteak funtzioak ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2p(x){\frac {dy}{dx}}+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=q(x)$	Faktore integratzailea: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }$	$y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}\left(\int ^{\xi }e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda \right)d\xi +C_{1}x+C_{2}\right]$
Bigarren ordena, lineala, ez-homogeneoa, koefiziente konstanteak[21] ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)$	Funtzio osagarria ${\text{y}}_{c}$ : hartu y_c = e^αx, ordeztu eta ebatzi α-ren polinomioa, linealki independenteak diren $e^{\alpha _{j}x}$ funtzioak lortzeko. Integral partikularra ${\text{y}}_{p}$ : oro har, parametroak aldatzeko metodoa, nahiz eta r(x) oso sinpleetarako ikuskapenak funtzionatu dezakeen.[17]	$y=y_{c}+y_{p}$ Baldin $b^{2}>4c$ , orduan $y_{c}=C_{1}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}+C_{2}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b-{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}$ $b^{2}=4c$ bada, orduan $y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}$ Baldin $b 2 < 4 c$ , orduan $y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)+C_{2}\cos \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)\right]$
n. ordena, lineala, ez-homogeneoa, koefiziente konstanteak[21] $\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)$	Funtzio osagarria ${\text{y}}_{c}$ : hartu y_c = e^αx, ordeztu eta ebatzi α-ren polinomioa, linealki independenteak diren $e^{\alpha _{j}x}$ funtzioak lortzeko. Integral partikularra ${\text{y}}_{p}$ : oro har, parametroak aldatzeko metodoa, nahiz eta r(x) oso sinpleetarako ikuskapenak funtzionatu dezakeen.[17]	$y=y_{c}+y_{p}$ α_j balioak n graduko polinomioen soluzioak direnez: ${\textstyle \prod _{j=1}^{n}(\alpha -\alpha _{j})=0}$ , orduan: α_j ezberdin guztientzat, $y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}$ k_j errepikapen dituen α_j erro bakoitzeko, $y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{j,\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}$ α_j konplexuentzat, ezarri α = χ_j + iγ_j, eta Eulerren formula erabiliz, aurreko emaitzetako termino batzuk honela idatz daitezke: $C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\varphi _{j})$ non ϕ_j konstante arbitrarioa baita (fase-aldaketa).

Asmatze-metodoa

EDA ebazteko beste metodo guztiek huts egiten dutenean, edo Ekuazio Diferentzialaren soluzioa nolakoa izan daitekeen susmoa dugun kasuetan, batzuetan posible izan daiteke ED bat ebaztea soluzioa asmatuz eta ekuazioan ordezkatuz, betetzen ote duen ikusteko. Metodo hori erabiltzeko, ekuazio diferentzialaren soluzio bat asmatuko dugu, eta, ondoren, soluzioa ekuazio diferentzialean sartuko dugu, ekuazioa betetzen duen balioztatzeko. Asmatutako soluzioak ekuazioa bete egiten badu, EDaren soluzio partikular bat izango dugu esku artean; betetzen ez badu, berriz hasiko gara eta beste suposizio bat lortzen saiatuko gara. Adibidez, pentsa genezake ED baten ebazpenak $y=Ae^{\alpha t}$ , izan ere, oso ohikoa den soluzioa da, eta fisikoki portaera sinusoidala du.

Homogeneoa ez den lehen ordenako EDAren kasuan, lehenik eta behin, Ekuazio Diferentzialaren zati homogeneoari (ekuazio bereizgarria ere deitzen zaio) soluzio bat aurkitu behar diogu, eta, ondoren, asmatze metodoaren bidez, ekuazio ez-homogeneo osoari soluzio bat aurkitu behar diogu. Azkenik, bi soluzioak batzen ditugu EDAaren soluzio osoa lortzeko, hau da:

${\text{soluzio osoa}}={\text{soluzio homogeneoa}}+{\text{soluzio partikularra}}$

EDAk ebazteko softwarea

Maxima, kode irekiko aljebra konputazionaleko sistema bat.
COPASI, EDAk integratzeko eta aztertzeko software-pakete libreaa (Lizentzia Artistikoa 2.0).
MATLAB, aplikazio informatiko teknikoa (MATrix LABoratory)
GNU Octave, goi-mailako lengoaia, batez ere zenbakizko kalkuluetarako erabiltzen dena.
Scilab, zenbakizko kalkulurako kode irekiko aplikazioa.
Maple, kalkulu sinbolikoetarako aplikazio patentatua.
Mathematica, kalkulu sinbolikoetarako aplikazio patentatua.
SymPy, EDAk sinbolikoki ebatzi dizakeen Python paketea
Julia (programazio-lengoaia), batez ere zenbakizko kalkuluetarako erabiltzen den goi-mailako lengoaia.
SageMath, kode irekiko aplikazio bat, Python lengoaiaren antzeko sintaxia erabiltzen du eta matematikaren zenbait adar hartzen ditu gaitasun sorta zabal batekin.
SciPy, Python pakete bat, EDA integrazio-modulu bat barneratzen duena.
Chebfun, MATLABen idatzitako kode irekiko pakete bat.
GNU R, kode irekiko ingurune konputazionala, batez ere estatistikaren eremuan erabilia baina EDAk ebazteko paketeak dituena.

Erreferentziak

(itzultzailea) Agirre Basurko, Elena; Martinez Sagarzazu, Ernesto. (1991). Ekuazio diferentzialak. Aplikazioak eta ariketak. UEU ISBN 84-86967-63-5..
Arrizabalaga, Naiara; De Velasco, Maria Jose; Zarate, Maria Jose. (2014). Ekuazio diferentzialak. UPV/EHU Euskararen arloko sare-agitalpena ISBN 978-84-9860-972-1..
Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard. (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin, New York: Springer-Verlag ISBN 978-3-540-56670-0..
Zill, Dennis G.. (2013). A first course in differential equations with modeling applications. (10th ed. argitaraldia) Brooks/Cole, Cengage Learning ISBN 978-1-285-40110-2. PMC 945981736. (Noiz kontsultatua: 2022-12-13).
«What is the origin of the term "ordinary differential equations"?» hsm.stackexchange.com (Stack Exchange).
(Ingelesez) Kreyszig, Erwin. (1972). Advanced Engineering Mathematics. New York: John Wiley & Sons ISBN 0-471-50728-8..
(Ingelesez) Simmons, George F.. (1972). Differential Equations with Applications and Historical Notes. New York: McGraw-Hill.
(Ingelesez) Halliday, David; Resnick, Robert. (1977). Physics. New York: John Wiley & Sons ISBN 0-471-71716-9..
(Ingelesez) Tipler, Paul A.. (1991). Physics for Scientists and Engineers: Extended version. New York: Worth Publishers ISBN 0-87901-432-6..
Harper, Charlie; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard. (1976). Introduction to Mathematical Physics. New Jersey: Prentice-Hall ISBN 0-13-487538-9..
Ascher, U. M.. (1998). Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM, 3600 Market Street, Floor 6, Philadelphia, PA 19104) ISBN 978-1-61197-139-2. PMC 722506655. (Noiz kontsultatua: 2022-12-15).
Haimo, V.. (1985-12). «Finite time differential equations» 1985 24th IEEE Conference on Decision and Control (IEEE): 1729–1733. doi:10.1109/CDC.1985.268832. (Noiz kontsultatua: 2022-12-17).
Alberdi Celaya, Elisabete. (2020). Ekuazio diferentzialen ebazpenerako zenbakizko metodoak. UPV/EHU, Argitalpen Zerbitzua / Servicio Editorial ISBN 978-84-1319-180-5..
(Ingelesez) Dresner, Lawrence. (1999). Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations. Bristol and Philadelphia: Institute of Physics Publishing ISBN 978-0750305303..
Logan, J. (2013). Applied mathematics (Fourth ed.).
(Ingelesez) Ascher, Uri; Petzold, Linda. (1998). Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. SIAM ISBN 978-1-61197-139-2..
Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
(Frantsesez) Boscain, Ugo; Chitour, Yacine. (2011). Introduction à l'automatique. .
Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M. R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN 0-7135-1594-5
Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3

Ikus, gainera

Kanpo estekak

Datuak: Q465274
Multimedia: Ordinary differential equations / Q465274

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] (itzultzailea) Agirre Basurko, Elena; Martinez Sagarzazu, Ernesto. (1991). Ekuazio diferentzialak. Aplikazioak eta ariketak. UEU ISBN 84-86967-63-5..

[2] Arrizabalaga, Naiara; De Velasco, Maria Jose; Zarate, Maria Jose. (2014). Ekuazio diferentzialak. UPV/EHU Euskararen arloko sare-agitalpena ISBN 978-84-9860-972-1..

[3] Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard. (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin, New York: Springer-Verlag ISBN 978-3-540-56670-0..

[4] Zill, Dennis G.. (2013). A first course in differential equations with modeling applications. (10th ed. argitaraldia) Brooks/Cole, Cengage Learning ISBN 978-1-285-40110-2. PMC 945981736. (Noiz kontsultatua: 2022-12-13).

[5] «What is the origin of the term "ordinary differential equations"?» hsm.stackexchange.com (Stack Exchange).

[Izenik_gabekoa-1ž7dd-1-6] (Ingelesez) Kreyszig, Erwin. (1972). Advanced Engineering Mathematics. New York: John Wiley & Sons ISBN 0-471-50728-8..

[Izenik_gabekoa-1ž7dd-2-7] (Ingelesez) Simmons, George F.. (1972). Differential Equations with Applications and Historical Notes. New York: McGraw-Hill.

[8] (Ingelesez) Halliday, David; Resnick, Robert. (1977). Physics. New York: John Wiley & Sons ISBN 0-471-71716-9..

[9] (Ingelesez) Tipler, Paul A.. (1991). Physics for Scientists and Engineers: Extended version. New York: Worth Publishers ISBN 0-87901-432-6..

[10] Harper, Charlie; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard. (1976). Introduction to Mathematical Physics. New Jersey: Prentice-Hall ISBN 0-13-487538-9..

[11] Ascher, U. M.. (1998). Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM, 3600 Market Street, Floor 6, Philadelphia, PA 19104) ISBN 978-1-61197-139-2. PMC 722506655. (Noiz kontsultatua: 2022-12-15).

[12] Haimo, V.. (1985-12). «Finite time differential equations» 1985 24th IEEE Conference on Decision and Control (IEEE): 1729–1733. doi:10.1109/CDC.1985.268832. (Noiz kontsultatua: 2022-12-17).

[13] Alberdi Celaya, Elisabete. (2020). Ekuazio diferentzialen ebazpenerako zenbakizko metodoak. UPV/EHU, Argitalpen Zerbitzua / Servicio Editorial ISBN 978-84-1319-180-5..

[14] (Ingelesez) Dresner, Lawrence. (1999). Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations. Bristol and Philadelphia: Institute of Physics Publishing ISBN 978-0750305303..

[15] Logan, J. (2013). Applied mathematics (Fourth ed.).

[16] (Ingelesez) Ascher, Uri; Petzold, Linda. (1998). Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. SIAM ISBN 978-1-61197-139-2..

[EDEBVP-17] Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1

[18] (Frantsesez) Boscain, Ugo; Chitour, Yacine. (2011). Introduction à l'automatique. .

[MHFT-19] Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M. R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7

[20] Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN 0-7135-1594-5

[MMPE-21] Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3