Einsteinen tentsore

Newtonen Grabitazio Unibertsalaren Legeak ia berrehun urtez egon ziren zalantzapean jarri gabe. Newtonen formulaziotik mende batera, behaketa astronomiko garrantzitsu batzuk agertu ziren, teoria eta behaketen artean azaldu ezin zirenak. Newtonen ereduan grabitatea objektu masiboen arteko indar erakarle baten emaitza izan zen. Indar horren izaera ezezagunak Newton bera ere kezkatzen bazuen ere, oinarrizko teoria oso arrakastatsua izan zen planeten dinamika deskribatzeko. Anomalia horietako bat Merkurioren orbiten higidura izan zen.

Albert Einstein espazio-denboraren kurbaduraren jatorri fisikoa aztertzen aritu zen. 1913an, Marcell Grossgam matematikariarekin elkarlanean jardun ondoren, naturaren legeak orokorrean modu kobariantean adierazten zituen grabitazio teoria eraiki zuen. Teoria honi Entwurf izena jarri zioten. [1]

"Einsteinen teoria" baieztatu zen 1919an. Argazki honetan The New York Times aldizkariko berria.

Einstein, ordea, ez zen gustora geratu egindako lanarekin; 1913ko abuztuaren 16an Lorentzi idatzitako eskutitzean aitortu zion Entwurf teoriak "ugly dark spot" bat zuela [2]. Arazoa zen, azken teoria honen oinarrizko ekuazioak (eremu grabitatorioaren ekuazioak), ez zirela osotasunean kobarianteak. Izan ere, ekuazio hauen limite Newtondarrean Newtonen Grabitazio legea berreskuratzeko konplikazio matematikoak eduki zituztenez, eremu grabitatorioen ekuazioen adierazpenetik Ricciren tentsoreak kentzea erabaki zuten.

Hau da bere hasierako hipotesi okerra:

${\displaystyle R_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }}$

Hipotesi honen bidez Merkurioren perihelioaren prezesioa ondo finkatuta geratzen zen. Einsteinek uste zuen lortu zuela hainbeste urteetan ezezagunak ziren dinamika batzuk definitzea, baina bizkor konturatu zen ez zela teoria oso sendoa. Izan ere, energia-momentu lokalaren kontserbazioa ez zen betetzen unibertsoaren dentsitatea konstantea ez bazen. Beste hitz batzuetan, unibertsoa osatzen zuen objetu orok dentsitate berdina izan behar zuela, eta jakina, hori ez da erreala.

Gaur egun badakigu akats bat izan zela, adierazpen zuzena Ricciren tentsoreen bidezkoa baita. Buruhaustez beteriko hiru urteren ondoren, 1915eko azaroan Einsteinen eremu-ekuazio arrakastatsuak aurkeztu zituen Berlingo Königlich-Preußische Akademie der Wissenschaften-en (Zientzien Prusiar Akademia). [3] Ekuazio hauek idazteko Einsteinen tentsorea deiturikoa definitu zuen.[4]

Hala ere, teoria guztien atzean beti dago norbait lehenago aurkitu zuela esango duena. Nahiz eta Einsteinek eremu ekuazioak aurkitu, David Hilbert matematikari alemaniarrak artikulu batean argitaratu zituen Einsteinen artikulua baino lehen. Horrek Einsteinen aurkako plagio salaketak ekarri zituen, baina ez Hilberten aldetik. Ondorioz, Einsteinen ekuazioak moduan ezagutzen ditugun ekuazio horiek "Einstein-Hilberten eremu ekuazioak" moduan esan behar direla esaten da.[5] Hala ere, Hilbertek ez zuen bere lehentasuna eskatu, eta batzuk esan zuten Einsteinek aurkeztu zituela ekuazio zuzenak, Hilbertek bere lana zuzendu aurretik. Horrek iradokitzen du Einsteinek garatu zituela lehenengo eremu-ekuazio zuzenak, nahiz eta Hilbertek, agian, geroago beregain iritsi.

Korrespondentzia printzipioetatik abiatuz, Einsteinen tentsoreak eduki behar dituen propietateak ondorioztatu daitezke.[6]

Ikus artikulu nagusia : Ricciren tentsorea, Riemannen tentsorea

Lehenik eta behin ezinbestekoa da tentsorea definitzea. Tentsore bat aukeratzen den marko edo erreferentzia sistemarekiko independentea den konposatu matematiko bat da. Orokorrean matrize baten bidez adierazten dira, eta adibide garbiak dira eskalarrak,bektoreak edo matrizeak; orden nulua eskalarrek, orden batekoa bektoreek eta matrizeek bigarren ordena dute.

Einsteinen tentsorea bigarren ordenako tentsorea da, eta ekuazioa lortzeko eta ulertzeko Riemannen eta Ricciren tentsoreak erabili behar dira. Honela definitzen da Einsteinen tentsorea:[6]

${\displaystyle \mathbf {G_{\mu \nu }} =\mathbf {R_{\mu \nu }} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g_{\mu \nu }} R}$

${\displaystyle R^{\mu \nu }}$ Ricciren tentsorea da, ${\displaystyle R}$ kurbadura-eskalarra edo Ricciren eskalarra, eta ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ tentsore metrikoa. Ondorioz, Einsteinen matrizeek tentsore hauen propietateak izango dituzte.

Ricciren tentsorea Riemannen kurbadura tentsoreen kontrakzio bat da, eta honela definitzen da.[6]

${\displaystyle R_{\mu \nu }=R_{\mu \lambda \nu }^{\lambda }}$

Aldi berean, kurbadura-eskalarra Ricciren tentsorearen kontrakzioa da:

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=R_{\mu }^{\mu }}$

Ricciren tentsorearen deribatu kobarianteak eta kurbadura eskalarrak erlazio berezi bat betetzen dute:[9]

${\displaystyle (R_{\sigma }^{\nu }-{\frac {1}{2}}R\delta _{\sigma }^{\nu })_{;\nu }=0}$

Eta horregatik dira Ricciren tentsoreak egokiak Einsteinen tentsorea adierazteko (parentesi artekoa Einsteinen tentsorea da).

Ricciren tentsoreek indizeen arteko simetria hau dute: ${\displaystyle R_{\mu \nu }=R_{\nu \mu }}$

Eta ondorioz, Einsteinen matrizeek propietate hau izango dute:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }}$

Baldintza honek tentsoreen osagaien kopurua murrizten digu; izan ere, bi indize ditugu, indize bakoitzak lau osagai izanik (bat denborarena eta beste hirurak espazioarena) eta tentsoreek 16 osagai izatea ahalbidetzen du. Simetria honek, aldiz, 10 osagaietan uzten du tentsorea.

Badago Einsteinen tentsorea adierazteko beste modu bat: energia-momentu tentsorearen bidez. Horretarako bi heineko tentsore orokorrena hartzen da, betiere metrikaren deribatu altuenak bigarrenak dituena, eta hauek bakarrik modu linealean dituena:

${\displaystyle K_{\mu \nu }=\alpha R_{\mu \nu }+\beta Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }}$

Kasu honetan ${\displaystyle \Lambda }$=0 hartuko dugu; bestela, ez da desagertzen azken gaia grabitaziorik gabeko espazio-denbora mikowskiarrean, eta korrespondentzia printzipioaren aurka doa. Energia-momentu tentsorearekin lotuta dagoenez bere propietateak jarraituko ditu. Horietako garrantzitsuena, deribatu kobariantearena.

${\displaystyle T_{;\nu }^{\mu \nu }=0}$

Gure tentsoreari hau aplikatuz honetara heltzen gara:

${\displaystyle ({\frac {1}{2}}\alpha +\beta )R_{;\nu }g^{\mu \nu }=0}$

Ondorioz, gure konstanteen balioak finka genitzake: ${\displaystyle \beta ={\frac {-\alpha }{2}}}$

Eta gure ekuazioa honela geratuko litzateke:

${\displaystyle K_{\mu \nu }=\alpha G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$ non ${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$ den.

${\displaystyle \alpha }$=1 moduan hartuko dugu (limite newtondarra ), eta Einsteinen tentsorearen eta energia-momentuaren tentsorearen arteko erlazio bat lortuko dugu:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

Azken adierazpen honetan dauden ekuazioak Einsteinen eremu-ekuazioak izenez ezagutzen dira.

Traza matrize karratu baten diagonaleko osagaien batura da

Erlatibitate orokorrean traza erabiltzen da, baina aljebran aztarna izenez ere ezagutzen da. Matrize karratu baten traza bere diagonal nagusiko elementuen batura da.

Einsteinen tentsorearen traza lortzeko, metrika tentsoreakin egingo dugu kontrakzioa, n dimentsiotan. Hau da:

${\displaystyle g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }}$

Definizioak kontuan hartuz,[10] Riemannen eskalarra ekuazioaren eskuma aldeko lehenengo zatia da. Ezkerreko aldean, formatu berdina du. Bestetik metrika tentsoreen arteko biderkadura dimentsioaren arabera geratuko da.

${\displaystyle G=R-{\frac {1}{2}}nR={\frac {2-n}{2}}R}$

Formula honetatik atera dezakegun ondorio garbiena n=4 denekoa da. Izan ere, lau dimentsiotan ${\displaystyle G=-R}$ da, hau da, Einsteinen tentsorearen traza lau dimentsiotan Ricciren tentsorearen aurkakoa da. Hori dela eta, Einsteinen tentsoreari "aztarna alderantzizkatuko Ricciren tentsorea" deritzogu.

Einsteinen tentsorea metrikaren dibergentziarik gabekoa da, eta soilik metrikaren lehenengo eta bigarren ordenako deribatu partzialak ditu. 1971an David Lovelock-ek lau dimentsioko barietate diferentziagarrian baldintza hauek betetzen dituen tentsore bakarra Einsteinen tentsorea dela frogatu zuen. [13]

Einsteinen eremu-ekuazioek hiru oinarrizko baldintza betetzen dituzte:

1. Newton-Poissonen ekuazio grabitazionalaren orokorpen bat izatea, eta limite Newtondarrean berau berreskuratzea
2. Edozein koordenatu sistemetan aplikagarria izatea
3. Edozein metrikatarako energia-momentuaren kontserbazio kobariante lokala bermatzea

Badaude hiru baldintza hauek betetzen dituzten beste ekuazio alternatibo batzuk, esaterako, Einstein-Cartan teorian deskribatzen direnak. Azken teoria hau erlatibitate orokorretik bereizten da espazio-denboraren kurbaduran tortsio ez nuluko baldintza ezartzean. [14]