e (zenbakia)

Eulerren zenbakia ez zen XVII. mendera arte deskubritu. Eta naturan hainbat esparrutan agertuagatik, diru irabaziei begira deskubritu zen e zenbakia. Jacob Bernouilli matematikaria interes konposatuari begira ari zen. Interes konposatuak honela funtzionatzen du: demagun euro bat daukagula eta urtebeteren buruan dugunaren %100 emango digutela. Orduan, daukagun kopuru hori urtebeteren buruan begiratzen badu bankuak, 1 izatetik 2 izatera pasako gara.[1]

Baina zer gertatzen da %100 hori urtean zehar bi zatitan ematen badigute? Hau da, seigarren hilean dugunaren %50 eta handik sei hilera dugunaren %50, berriz. Orduan, ekainean 1,5 euro izatera pasako gara, eta abenduan 2,25 izango ditugu. Irabazten atera gara, beraz, interes konposatua bi zatitan bereizita. Eta hilabetero egingo bagenu? Orduan 2,61 eurorekin bukatuko genuke urtea.[1]

Pentsa liteke urtea zatitzen jarraituta etengabe gehiago irabazten amaituko dugula. Baina badu muga bat prozesu honek. Ez gara sekula urte amaieran 3 euro izatera iritsiko. Egunero eginda, adibidez, 2,7145 euro irabaziko genituzke. Nanosegundutan zatituko bagenu urtea, ez ginateke kopuru horretatik apenas urrunduko: 2,7182... Eta hori da e zenbakia: interes konposatuaren epeekin jokatuta ere, irabaziek muga bat dutela adierazten digun zenbakia.[1] Hortik dator goian eman den lehenengo definizoa

Behin zenbakia deskubrituta, beste hainbat propietate dituela ikusi zuten. Baita beste hainbat egoeratan agertzen dela ere. Probabilitateen teorian, esaterako, erruleta batean 37 zenbakitik bat hautatu eta huts egiteko probabilitatea 0,97 da. Bada, 37 aldiz jokatu, eta denetan huts egitekoa 0,3628. Gutxi gorabehera 1/e dena, hain zuzen ere.[1] Hortik dator goian eman den bigarren definizioa.

Edozein ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ -rako ${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$segida konbergentea da. Limite hau ${\displaystyle {\text{e}}^{x}}$ modura idatz dezakegu:

${\displaystyle {\text{e}}^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}$ Funtzio esponentziala, funtzio erreal bati deritzo non bere aldagai independenteak ${\displaystyle \mathbb {R} }$ osoa zeharkatzen duen. Honako hau da:

${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} &\to \mathbb {R^{+}} \\x&\mapsto {\text{e}}^{x}\end{aligned}}}$

Funtzio esponentzialaren ezaugarri nagusia da funtzioa eta bere deribatua berdinak izatea.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

Gainera, deribatua ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ko puntu guztietan existitzen da.

Deribatuaren ezaugarri horretatik ondorioztatzen da funtzio esponentzialaren integrala eta funtzioa berdinak direla.

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$ non C integraleko konstante bat den.

Gainera, deribatuaren propietate hori betetzen duen funtzioa bakarra da edozein ${\displaystyle x}$ baliorako zero balioa hartuko ez duena (edozein ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle e^{x}\neq 0}$). Horregatik, analisi matematikoko funtzio garrantzitsuena da; bereziki, ekuazio diferentzialetarako.

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ funtzioaren seriea, Maclauriren formula bidez lortzen da.

${\displaystyle f(x)=f^{'}(x)=f^{''}(x)=...=f^{n+1}(x)={\text{e}}^{x},}$ (1)

${\displaystyle f(0)=f^{'}(0)=f^{''}(0)=...=f^{n+1}(0)=1,}$ (2)

Maclauriren formula ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}\,x^{k}+R_{k}(x)}$ denez, aurreko (1) eta (2) berdintzak kontuan hartuz, honako hau dugu:

${\displaystyle {\text{e}}^{x}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}\,x^{k}+R_{k}(x)=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...+{\frac {x^{n}}{n!}}+O(x^{n+1})}$

${\displaystyle x=1}$ hartuz, e zenbakiaren hurbilpen bat lortzen da,

${\displaystyle {\text{e}}\approx 1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...+{\frac {1}{n!}}}$

non ≈ -k balio hurbildua adierazten duen.[8]

${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$-ren maximo absolutuko puntua ${\displaystyle x=e}$ da.

Steiner-en problemaren helburua da, ${\textstyle f(x)=x^{1/x}}$ funtzioaren maximo absolutua aurkitzea. Maximo absolutua, ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia da hain zuzen.[9]

Bestalde, ${\textstyle 1/{\text{e}}}$ ${\textstyle f(x)=x^{x}\,}$ funtzioaren minimo absolutua da ${\textstyle x>0}$ kasurako.

Azken funtzio hori orokortuz, ${\textstyle \!\ f(x)=x^{x^{n}}}$ funtzioaren maximo absolutua ${\textstyle 1/{\text{e}}}$ puntua da ${\textstyle n<0}$ kasurako, eta minimo absolutua ${\textstyle {\text{e}}^{-1/n}}$  ${\textstyle n>0}$ denean.

Leonhard Euler-en teorema batetik ondokoa ondorioztatzen da:[10][11]

Tetrazio infinitua

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$edo ${\displaystyle {^{\infty }}x}$

konbergentea da baldin eta soilik baldin ${\displaystyle {\text{e}}^{-{\text{e}}}\leq x\leq {\text{e}}^{1/{\text{e}}}}$ betetzen bada.

Euler-en formularen irudikapen geometrikoa.

${\displaystyle {\text{e}}}$ Euler-en formulan zenbaki konplexuekin erlazionatuta agertzen den zenbaki garrantzitsuenetarikoa da.

${\displaystyle {\text{e}}^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!}$

Aurreko honetan ${\displaystyle x=\pi }$ denean, Eulerren identitatea izango dugu:

${\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Hemendik, hau ondorioztatzen da:

${\displaystyle \log _{e}(-1)=i\pi .\,\!}$

Gainera, esponentzialaren legeak aplikatuz, honako hau lor dezakegu:

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left({\text{e}}^{ix}\right)^{n}={\text{e}}^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}$

Hau, De Moivre-ren formula da.

Harvard-eko irakaslea den Benjamin Peirce-k ezagutarazi zuen formula hau, eta aditzera eman zuen, formulak aldi berean matematikan dauden bost zenbakirik garrantzitsuenak (0, 1, π, i eta e) batzen dituela.[12]

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia probabilitate-teoriaren aplikazioetan ere agertzen da. Horren adibide da subfaktorialaren problema, neurri batean Jacob Bernoulli-k Pierre Raymond de Montmort-en laguntzaz aurkitua, Txapelen problema ere deitzen zaio:[13] Festa bateko ${\textstyle n}$ gonbidatuk diskoteka bateko sarreran beraien txapelak maiordomoari uzten dizkiote; honek, gonbidatu bakoitzaren izena duten ${\textstyle n}$ konpartimentu desberdinetan uzten ditu txapelak. Baina maiordomoak gonbidatuak ezagutzen ez dituenez, txapelak modu aleatorioan uzten ditu konpartimentuetan. De Montmort-en probleman, hain zuzen, txapel bakoitza dagokion konpartimentuan kokatuta ez egoteko probabilitatea kalkulatzen da. Probabilitate hori ondorengoa da:

${\displaystyle P(n)=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}$ .

Gonbidatu kopuruak (${\textstyle n}$) infinitura jotzean, ${\textstyle P(n)}$ balioa ${\textstyle 1/e}$-ra hurbilduko da ${\displaystyle (\lim _{n\to \infty }P(n)={\frac {1}{e}})}$. Are gehiago, ${\textstyle n!/e}$-ren gertueneko zenbaki arrunta da txapel guztiak dagokien konpartimentuetan kokatuta ez egoteko aukera kopurua .[14]

Azken emaitza hau, beste modu honetan ere defini daiteke: izan bedi ${\textstyle P(n)}$ ausazko funtzio batek puntu finko bat izateko probabilitatea non n${\displaystyle \in }${${\textstyle {1,2,...,n}}$} den. Orduan,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(n)=1-{\frac {1}{e}}=0.6321205588...}$

Probabilitatean, ondorengo probleman ere ageri da ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia: izan bitez ${\textstyle X_{1},}$${\textstyle X_{2},...}$${\textstyle X_{n}}$ [0,1] tarteko banaketa uniformea duten ausazko aldagaien segida bat, eta N, ${\textstyle {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1}}$ desberdintza betetzen deneko ${\textstyle n}$ zenbaki txikiena:

${\displaystyle N=\min {\left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}}.}$

Orduan, N-ren itxaropena ${\textstyle E(N)={\text{e}}}$ da[15]. Emaitza horrekin, konstantearen balioa estima dezakegu ausazko simulazioak eginez.[16]

Azkenik, esan beharra dago ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiak matematikako arlo honetan agerpenik garrantzitsuena duela μ batezbestekoa eta σ desbideratze estandarreko banaketa normalaren probabilitatearen dentsitate-funtzioan; hau, gauss-en integraletik lortzen da:[17]

${\displaystyle \phi (x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,{\text{e}}^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}.}$

Bi lotura hauek zenbaki lehenen teoremaren korolarioak dira.[18]

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}\#)}}}$

non ${\displaystyle p_{n}}$ n. zenbaki lehena eta ${\displaystyle p_{n}\#}$ n.zenbaki lehenaren eta ${\displaystyle p_{n}}$ baino zenbaki lehen txikiagoen arteko biderkadura diren.

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}$

non ${\displaystyle \pi (n)}$ n baino zenbaki lehen txikiagoen kontagailua den.

α angeluko espiral angeluberdina

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia planoko kurba jakin bati lotutako kantitateen arteko zatidura gisa interpreta daiteke, ${\displaystyle \pi }$ zenbakia bezala. Izan bedi ${\displaystyle \gamma }$ kurba bat non jatorritik datorren edozein zuzenerdik kurba mozten duen ${\displaystyle \pi /4}$ radianeko angelua osatuz.[19][20] Radian bateko banaketa angeluarra duten bi puntu hartzen baditugu, P1 eta P2, eta ${\displaystyle r_{i}=\operatorname {dist} (P_{i},O),r_{1}<r_{2},}$ definituz, orduan,

${\displaystyle {\frac {r_{2}}{r_{1}}}={\text{e}}.}$

Formula hori lortzeko radian bat neurtu behar denez, konplexua dela iruditu daiteke. Baina zirkunferentzia bat zuzen baten gainean mugitzen badugu, oso erraz lor daiteke. Aurretik aipatutako propietatea duen kurba, espiral logaritmikoa da, eta kurba horrek angelu guztiak berdinak dituenez, erraz egiazta daiteke koordenatu polarretako bere ekuazioa ondorengoa dela:

${\displaystyle r(\theta )=Ae^{\theta },\qquad \theta \in \mathbb {R} ,A>0.}$

Espiral logaritmikoak ${\displaystyle 0<\alpha \leq \pi /2}$ -ko angelua badu, koodenatu polarretako ekuazioa ${\displaystyle r(\theta )=Ae^{\cot(\alpha )\cdot \theta }}$ da.

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia irrazionala denez, ezin da bi zenbaki osoren arteko zatidura gisa idatzi.[21] Horixe frogatu zuen 1737an Euler-ek. Frogapen horretan, Eulerrek ${\displaystyle {\text{e}}}$ zatiki jarraitu gisa jarri zuen, horrela, infinitua izatean, bazekien ez zegokiola zenbaki arrazional bati. Hala ere, frogapen ezagunena Fourier-ek egindakoa izan zen, eta zenbaki-seriearen garapenean oinarritu zen horretarako. 1768an J.H. Lambert-ek ${\displaystyle {\text{e}}^{p/q}}$ irrazionala zela frogatu zuen ${\displaystyle p \over q}$ zenbaki arrazional positiboa izanik.

Gainera, ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia zenbaki traszendentea da, hau da, ez da koefiziente osoak dituen polinomio baten erroa. Zenbaki traszendentetzat hartu zen lehenengo zenbakia izan zen eta Charles Hermitek frogatu zuen mota horretako zenbakia zela.

Hona hemen ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia barne hartzen duten formula batzuk:

${\displaystyle {\frac {1}{\text{e}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}.}$[22]

${\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}.}$

${\displaystyle {\frac {{\text{e}}+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\ddots }}}}}}}}}.}$

${\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}-1={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

${\displaystyle 2={\frac {{\text{e}}^{1}}{{\text{e}}^{1/2}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/3}}{{\text{e}}^{1/4}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/5}}{{\text{e}}^{1/6}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/7}}{{\text{e}}^{1/8}}}\cdots ,}$ formula hau ${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\cdots }$ identitatetik lortzen da.

${\displaystyle {\text{e}}-{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

${\displaystyle {\text{e}}+{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Euler-en formula: ${\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Stirling-en formula: ${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\text{e}}}\right)^{n}.}$

Gosperren formula: ${\displaystyle -{\frac {\pi ^{2}}{12{\text{e}}^{3}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right).}$

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren hurbilketa bat, aldi berean urrezko zenbakia eta π erabiliz, honako hau da:

${\displaystyle e\sim \left({\frac {\pi }{5}}\phi \right)^{({\frac {600}{\pi ^{2}}})}.}$

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren definizioa: ${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

1975ean, Felix A. Keller suitzarrak limite simetrikoa lortu zuen:[23] [24]${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right].}$

Stirling-en formulatik ondorengoa lortzen da: ${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$[25]

${\displaystyle p_{n}}$ n. zenbaki lehena eta ${\displaystyle p_{n}\#}$ n. zenbaki lehenaren eta ${\displaystyle p_{n}}$ baino zenbaki lehen txikiagoen arteko biderkadura izanik, ${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}\#)}}}$ frogatu zen.

Azkenik, ${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}$ adierazpena lortu zen ${\displaystyle \pi (n)}$ n baino zenbaki lehen txikiagoen kontagailua izanik.

${\displaystyle {\text{e}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}}$ non ${\displaystyle B_{n}}$ Bell-en n. zenbakia den.

Azkeneko karakterizazioaren adibide batzuk:

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}}{52(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{6}}{203(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{7}}{877(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia <<Wallisen erako>> biderkadura infinitu gisa ere adieraz daiteke hainbat modutan:[26]

Pippenger-en biderkadura:[27][28]

${\displaystyle {\text{e}}=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\left({\frac {8}{9}}\;{\frac {10}{9}}\;{\frac {10}{11}}\;{\frac {12}{11}}\;{\frac {12}{13}}\;{\frac {14}{13}}\;{\frac {14}{15}}\;{\frac {16}{15}}\right)^{1/16}\cdots ,}$

Catalán-en biderkadura:

${\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {4}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots ,}$

eta Guillera-ren biderkadura:[29][30]

${\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}$

n. faktorea n. erroa izanik

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},}$

eta azkenik, biderkadura infinitu gisa

${\displaystyle {\text{e}}={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}$

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren hamartarrek ez dute patroi erregular bat jarraitzen. Hala ere, normalizatu daitezkeen zatiki jarraituei esker, zatiki jarraitu normalizatu gisa lor dezakegu:

${\displaystyle {\text{e}}=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}},}$

eta ${\displaystyle {\text{e}}=[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ]}$ moduan idazten da. Azken propietate hau Leonhard Euler-ek[31] lortu zuen. Zatiki jarraitu ez normalizatuaren adierazpena, berriz, ${\displaystyle {\text{e}}=2+{\frac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+{\cfrac {7}{7+\cdots }}}}}}}}}}}}}$ da.

Bi kasutan, argi ikusten da ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren hamartarrek ez dutela patroi bat jarraitzen.

Poster bat e zenbakiaren lehen 10.000 digituak jasotzen dituena.

(1+1/n) eta (1+1/n) sekuentzien bidez e zenbakia kalkulatzeko diagrama

Azken hamarkadetan, asko handitu da ezagunak diren ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren digitu dezimalen kopurua. Ordenagailuen errendimendua handitzeari eta hobekuntza algoritmikoei zor zaie hori.[32] [33]1949an, J. Von Neumann eta bere taldeak ENIAC erabili zuten 2010 hamartar lortzeko.

1961ean, D. Shanks eta J.W. Wrecnch-ek 2,5 ordu behar izan zituzten 100.265 hamartar lortzeko Eulerren formularekin. 1994an, R.Nemiroff eta J.Bonellek 10.000.000 hamartar topatu zituzten.

Azken hamarkadetan, ordenagailuek hamartar kopuru handiak dituzten zenbakiak lortu dituzte. 2000. urtean, esaterako, Pentium III 800 ordenagailuko PiFast33 programa erabiliz, 12884901000 zifra hamartar lortu ziren eta hau lortzeko 167 ordu behar izan zituzten.

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren lehenengo 100 hamartarrak ondorengoak dira:

${\displaystyle {\text{e}}\approx 2,7182818284}$ ${\displaystyle 5904523536}$ ${\displaystyle 0287471352}$ ${\displaystyle 6624977572}$ ${\displaystyle 4709369995}$ ${\displaystyle 9574966967}$ ${\displaystyle 6277240766}$ ${\displaystyle 3035354759}$ ${\displaystyle 4571382178}$ ${\displaystyle 5251664274}$