Dimentsio

Gorputz baten gaineko espazio bektorialak n dimentsioa duela esaten da n kardinala duen oinarria badu.  Espazio bektorial batean, oinarri guztiek kardinal bera dute, eta horrek aljebra linealaren lehen inbariantea bihurtzen du dimentsioa. Intuizioz hitz eginez, espazio bektorial baten dimentsioak esaten digu zenbat elementu behar ditugun espazioko edozein elementu adierazteko; lehenengoen konbinazio linealen arabera, hau da, espazioaren zenbat elementu behar ditugun espazioko elementu guztiak elementu horien multiploen batura gisa adierazteko. Dimentsio finituko espazio bektorialak oso ohikoak dira zientziaren arlo askotan, baina matematika eta fisika kuantikoan dimentsio infinituko espazio bektorialen kasu garrantzitsuak ere agertzen dira.

Puntu batez osatutako espazio baterako, dimentsio topologikoa 0 da, zuzen errealerako 1, plano euklidearrerako 2, eta abar.

Lehenengo lau dimentsio espazialak adierazten dituen diagrama.

Formalki idatzita, objektu batek m dimentsio topologikoa du; objektu horren edozein estaldurak gutxienez dimentsio topologiko bat duenean = m+1 (aldez aurretik puntuak dimentsio topologikoa = 0 duela ezarriz).

Are formalago, 0 dimentsio topologikoa duten multzoen definizioa hau da: F multzo batek 0 dimentsio topologikoa, ${\displaystyle D_{T}(F)=0}$, duela esaten da baldin eta soilik baldin F-ren x orotarako eta U-ren edozein multzo irekirentzat (F-ren topologia erlatiborako) a x duen edozein multzotarako, V ireki bat badago, non x  V-koa den eta V-ren eta F-ren elkargunearen arteko muga hutsik baitago.

Aldaera aljebraiko baten dimentsioa zenbait forma baliokidetan defini daiteke. Forma intuitiboena, seguruenik,  espazio ortogonalaren dimentsioa da, aldaera aljebraiko baten edozein gune erregularretan.Beste modu intuitibo bat dimentsioa definitzeko honako hau da: hiperplanoak eta barietateak duten ebakidura dimentsioko puntu kopuru mugatu batera murrizteko behar diren hiperplano kopurua da.Definizio hori honako honetan oinarritzen da: barietate baten eta hiperplano baten ebakidurak dimentsio bat txikitzen da barietatea hiperplanoaren barruan badago

Multzo aljebraiko bat barietate aljebraikoen bildura finitua izanik, bere  dimentsioa barietate aljebraiko hoien dimentsioetatik maximoa da. Emandako multzo aljebraikoaren azpi-barietate kateen V0⊊V1⊊…⊊Vd luzera maximoaren berdina da (kate horren luzera ⊊ kopurua da).

Barietate bakoitza pila aljebraikotzat har daiteke, eta barietate gisa duen dimentsioarekin bat dator. Hala ere, pila aljebraiko asko ez datoz bat barietateekin, eta horietako batzuek dimentsio negatiboa dute. Zehazki, V m dimentsioko barietatea bada eta G n dimentsioko talde aljebraikoa bada, orduan [V/G] zatiduraren pilak m–n dimentsioa du[3].

Dimentsio hori Kolmogóroven entropiarekin edo Minkowski Bouligand-en dimentsioarekin nahastu izan da. Hausdorff-Besicovitch-en dimentsioa Hausdorff-en luzeran aukeratutako potentziaren balioaren inflexio-puntu gisa lortzen da, potentzia infinitua izatetik nulua izatera pasatzen denean. Hausdorff-en luzera da objektuaren estaldura osoaren "s" potentzia batera igotzen den diametro topologikoaren batura, delta-diametroa edo objektuaren beraren diametroa baino txikiagoa duten inguruneetatik edo estalduretatik abiatuta.

Hilberten espazio bakoitzak oinarri ortonormal bat onartzen du, eta bi oinarri hauetako edozeinek kardenalitate bera du espazio jakin baterako. Ezaugarri horri Hilbert espazioaren dimentsioa deitzen zaio. Dimentsio hori mugatua da baldin eta espazioko Hamelen dimentsioa mugatua bada, eta, kasu horretan, bi dimentsioak berdinak badira.

Kolmogóroven entropia deitzen zaio kalkuluak erraz egiteko lortutako dimentsioari, hala nola eraldaketagatik objektu batean aurkitutako barne-homotezien kopuruaren eta homotezia horren arrazoiaren alderantzizkoaren arteko zatidura logaritmikoa. Kutxen zenbaketa bidezko dimentsioa ere esaten zaio, eta definizio intuitiboagoa du, baina luzeagoa horri dagokionez.

Horrela, bada, objektu euklidear bereizgarriek bat egiten dute balio dimentsional topologikoan, kaxen kontaketaren dimentsioan eta Hausdorff-Besicovitch-en dimentsioan. Hori ez da gertatzen fraktalekin, non Benoit Mandelbrot-ek honela definitzen baititu:

Hausdorff - Besicovitch-en dimentsioa bere dimentsio topologikoa baino zorrotzagoa duten objektuak.

Azkenik, badakigu zenbait fraktal ez direla definizio horretan sartzen; horietako bat deabruaren kurba da, Cantor-en multzotik eratorritako fraktala.

Eraztun konmutatibo baten Krull dimentsioa eraztuneko ideal nagusien kateen luzera maximoa da, n luzera-kate bat, inklusioarekin lotutako ideal lehenen ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{0}\subsetneq {\mathcal {P}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathcal {P}}_{n}}$ sekuentzia bat izanik. Oso lotuta dago aldaera aljebraiko baten tamainarekin, polinomioen eraztunaren azpibarietate eta ideal lehenen arteko korrespondentzia naturalari esker.

Gorputz baten gaineko aljebra baterako, dimentsioa espazio bektorial gisa mugatua da baldin eta Krull dimentsioa 0 bada soilik.

Fisikako teoria klasikoek hiru dimentsio fisiko deskribatzen dituzte: espazioaren puntu jakin batetik mugitzeko oinarrizko norabideak gora/behera, ezkerrera/eskuinera eta aurrera/atzera dira. Beste edozein norabidetako mugimendua hiru norabide horietan oinarrituta adieraz daiteke. Beherantz mugitzea eta gorantz distantzia negatiboarekin mugitzea gauza bera dira. Diagonalean gorantz eta aurrerantz mugitzea, norabidearen izenak adierazten duen bezala, gora eta aurrera mugitzearen konbinazio lineala da. Forma sinpleenean: lerro batek dimentsio bat deskribatzen du, plano batek bi dimentsio deskribatzen ditu eta kubo batek hiru dimentsio deskribatzen ditu. (Ikus Espazioa eta koordenatu kartesiarren sistema).

Dimentsio zenbakia	Sistema koordenatuen adibideak
1	Zuzena Angelua
2	Kartesiarra Polarra Latitudea eta longitudea
3	Kartesiarra Ziklikoa Esferikoa

Denbora dimentsioa denbora aldagaiari dagokion dimentsioa da, alegia, denboraren aldaketaren dimentsioa. Arrazoi horregatik, askotan, denbora kontzeptua hartzen da espazioaren laugarren dimentsiotzat, baina horrek ez du esan nahi dimentsio espaziala denik. Denbora dimentsioa aldaketa fisikoa neurtzeko modu bat da. Alabaina, espazioko hiru dimentsioetan ez bezala, hemen dimentsio bakarra dago eta ezin gara denboran libreki mugitu, norabide batean mugitzen gara.

Fisikan errealitatea modelatzeko erabiltzen diren ekuazioek ez dute denbora hautematen gizakiek egiten duten moduan. Mekanika klasikoaren ekuazioak simetrikoak dira denborarekiko, eta mekanika kuantikoaren ekuazioak simetrikoak izan ohi dira, denbora eta beste kantitate batzuk (karga eta paritatea, esaterako) alderantzikatzen badira. Eredu horietan, denbora noranzko batean doala hautematea termodinamikaren legeen arrazoia da (denbora entropia handitzearen norabidean doala hautematen dugu).

Ouspenskyren arabera, laugarren dimentsioa, gizakientzat kontzeptu oso zaila dena, denboraren dimentsioa da. Ouspenskyk bere ikerketan erantzun zuen denbora dela ulertzeko  zailen egiten zaigun kategoria. Haren arabera, denbora zirkularra izango litzateke. Horregatik, dena errepikatzearen sentsazioa ziklikoa izan daiteke, ez bakarrik gizakiaren bizitzan, giza historian, historia biologikoan, planetenean, eguzkian eta, oro har, unibertsoan ere. Horrela ulertu zuen Ouspenskyk denboraren eta laugarren dimentsioaren izaera zirkularra.

Fisikan, espazioaren hiru dimentsio eta denboraren dimentsio bakarra da onartutako araua. Hala ere, badira oinarrizko lau indarrak batu nahi dituzten teoriak, dimentsio gehigarriak/hiperespazioa sartuz. Nabarmenago, superkorden teoriak 10 dimentsio espazial behar ditu, eta 11 dimentsioko teoria oinarrizkoago batetik sortzen da; behin-behinean M teoria deiturikoa eta aldez aurretik desberdinak diren bost superkorden teoria batzen dituenak. Supergrabitatearen teoriak, halaber, 11D espazio-denbora = 7D hiperespazioa + 4 dimentsio komun sustatzen ditu. Orain arte ez dago dimentsio gehigarri horiek badirela bermatzen duen ebidentziarik edo behaketa zuzenik. Hiperespaziorik existitzen bada, mekanismo fisikoren batek gure ezkutuan du. Dimentsio gehigarriak eskala txikitan "kiribilduta" bizi ahal izatea ondo aztertutako aukera bat da, egungo esperimentuetan benetan ikusezin izateko bezain eskala txikitan.

1921ean, Kaluza-Kleinen teoriak 5D aurkeztu zuen, espazioaren aparteko dimentsio bat barne zuena. Eremu-teoria kuantikoaren mailan, Kaluza-Kleinen teoriak grabitatea eta Gaugeren interakzioak bateratzen ditu, dimentsio txiki eta konpaktuetan hedatzen den grabitatea distantzia luzeetako Gaugen interakzioekin baliokidea dela ulertzean oinarrituta. Batez ere, dimentsio gehigarrien geometria hutsala denean, elektromagnetismoa erreproduzitzen du. Hala ere, energia nahiko altuetan edo distantzia laburretan, grabitate kuantikoa deskribatzeko zuzeneko saiakerak oztopatzen dituzten patologia berberak ditu konfigurazio horrek. Beraz, eredu horiek oraindik ere UV osotasun bat behar dute, harien teoriak eman nahi duen motakoa. Bereziki, superkorden teoriak sei dimentsio trinko eskatzen ditu (6D hiperespazioa), Calabi-Yau barietate bat osatuz. Beraz, Kaluza-Kleinen teoria, bakarrik, osatu gabeko deskribapentzat har daiteke, edo harien teoriaren ereduak eraikitzeko azpimultzotzat.

Neurri txiki eta kiribildutakoez gain, beste dimentsio batzuk ere egon litezke, baina ikusgaiak ez liratekeenak, gure unibertso ikusgaiarekin lotutako materia (3 + 1)-dimentsioko azpieremu batean  baitago. Beraz, neurri osagarriek ez dute txikiak eta trinkoak izan behar; aldiz, neurri gehigarri handiak ere izan litezke.